专题02 指对幂比较大小5大考向（重难专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02指对幂比较大小 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年的高考中，该考点几乎每年都会出现，考查内容稳定，命题形式，以选择题和填空题为主，，难度中等偏上． 预测2026年：指对幂比较大小仍将以选择考重点考查的内容之一，难度中档，题加综合性和灵活性.更加注重综合推理能力. 考向01 利用函数单调性比较大小 比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 1．（25-26高三上·北京西城·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 故选：B 2．（24-25高三下·北京朝阳·月考）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【答案】B 【分析】求出已知两点的中点坐标及函数的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，即可得解. 【详解】如图所示，    设，的中点为， 点在函数的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确； 则，即， 即，故③正确，④错误. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京西城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可比较的大小，再根据中间量，可判断的大小. 【详解】因为指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递减，，所以， 又， 所以. 又，所以. 故选：B 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性与单调性可将函数值的比较转化为自变量的比较，结合指数函数与对数函数的性质可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称，且在上单调递减． 而， 所以， 故选：D. 考向02 中间值法比较大小 一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较 1．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】指数函数在上单调递增， ，即； 对数函数在上单调递增， ，即； 指数函数在上单调递减，且值域为， ，即. 综上所述，. 故选：A. 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助中间值比较大小. 由得到，由得到，由得到，从而得到. 【详解】，， ，， ，，. 故选：A. 3．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数， 因为，可得，即，可得； 又由，可得， 由函数为单调递减函数，可得，即， 所以. 故选：A. 考向03 构造函数法比较大小 构造函数法:构造函数，利用函数单调性比较大小 1．（21-22高三上·北京海淀·期中）下列不等关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据给定条件构造函数，借助导数探讨函数单调性判断作答. 【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然， 则，A不正确； 当时，令，，当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，都有， 则，成立 取，则，取，则，即， 于是得，B正确； 对于C，显然，，，C不正确； 当时，令，，则在上单调递减，，于是得， 所以，D不正确. 故选：B 2．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得是上的偶函数，由复合函数单调性可知关于在上单调递减，进一步比较对数、指数幂的大小即可求解. 【详解】注意到定义域为全体实数，且， 所以是上的偶函数， 从而， 因为在上单调递增， 所以关于在上单调递减， 而， 所以. 故选：B. 3．（2023·北京·模拟预测）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数字特征、对数的运算性质、同角的三角函数关系式、二倍角正弦公式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可. 【详解】构造函数，所以有， 因为，所以，所以此时函数单调递增， 故有，显然，所以有， 即； ， ，构造函数， 则有，因为，所以， 因此，所以函数是增函数， 于是有，而，所以， 即，于是有， 故选：A 【点睛】关键点睛：根据代数式的特征构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性进行判断是解题的关键. 考向04 数形结合法比较大小 是把变量转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到变量间的等量关系，判断即可确定选项. 1．（24-25高三上·北京房山·期末）已知实数，满足，，给出下列三个结论： ①；②；③. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数图象及反函数的概念确定的关系，即可得到；结合函数图象分析的范围即可得到；利用把不等式等价转化，通过构造函数求导即可证明不等式成立. 【详解】 如图，设函数与的图象交于点，函数与的图象交于点， 则点的横坐标为，即，点的横坐标为，即. ∵函数与互为反函数，与互为反函数， ∴点与点关于直线对称， ∴，②正确. ∵，， ∴，∴，①错误. 由得，∴等价于， 令，则，不等式等价于， 设，则， ∴在上为增函数， ∴，即， ∴，③正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到的等量关系，逐个判断即可确定选项. 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 考向05 基本不等式法比较大小 利用基本不等式可得，结合对数函数单调性比较大小. 1. （22-23高三上·北京顺义·月考）下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，； 对B，； 对C，由均值不等式得； 对D， 【详解】对A，，故，A错； 对B， ，B错； 对C，，故，C错； 对D，，，D对； 故选：D 2. （22-23高三上·北京·月考），若，，，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，利用基本不等式可得，结合对数函数单调性可比较得，即可得答案. 【详解】由题意得，， ， 因为，故， 函数在上单调递减，则， 所以，即， 故选：D 3. （2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C （建议用时：60分钟） 1．（25-26高三上·北京西城·月考）设和分别是方程和的根，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质，以及方程的根和函数图像交点之间的关系，画出函数图像，判断根的范围，判断结果. 【详解】由题意得， 在同一坐标系中，画出函数的图像，如下图， 可知； 由题意得，化简得， 在同一坐标系中，画出函数的图像，如下图， 可知，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的图象与性质可判断A；结合函数的图象与性质可判断B；举出反例说明可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】实数，满足，则， 对于A，因为在不单调， 所以、、都有可能，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，取，，，故C错误； 对于D，， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：D 3．（25-26高三上·北京·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、D，结合函数与的单调性可得B、C. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：由函数在上单调递减，故，故B错误； 对C：由，则，则，即， 又函数在上单调递增，故，故C正确； 对D：取，则，故D错误. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京·月考）已知，是函数图象上的两个不同的点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可求解AB，利用基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B, ,则，故B错误， 对于CD，，则，且，， 故，故D正确，C错误， 故选：D 5．（25-26高三上·北京·月考）已知，，则下列不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件可得，，故可判断B的正误，结合基本不等式可判断AC的正误，利用不等式的性质结合指数函数的单调性可判断D的正误. 【详解】因为，故，同理. 由题设有，故， 而，故即，故B必成立， 对于A，由基本不等式可得， 而，故等号不可取，故，故A必成立； 对于C，，故C必成立； 对于D，因为，故，， 故不成立，故D不成立. 故选：D. 6．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，即可判断；对于D，取即可判断；对于C，分析得知，只需证明恒成立即可，通过切线放缩即可得证. 【详解】对于AB，取，此时，故AB错误； 对于D，取，此时，故D错误； 对于C，不妨设，则，欲证， 只需证明，即只需证明，即只需证明， 设，只需证明恒成立即可； 设，求导得，令， 解得， 所以的斜率为1的切线方程为， 而的图象是下凸的， 从而恒成立， 因为， 所以， 所以恒成立， 综上所述，恒成立，即恒成立，故C正确. 故选：C. 7．（2025高三·北京·专题练习）设，则下列结论不正确的是（ ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，幂函数单调性比较大小，利用基本不等式比较大小即可. 【详解】对于A，，因为指数函数单调递增， ，即，故A正确； 对于B， ， 等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小， 所以最小值不可能为4，故B错误； 对于C，由已知，，，即，故C正确； 对于D，，因为幂函数单调递增，，即，故D正确， 故选：B. 8．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D. 【详解】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D. 9．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断 . 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 10．（2024·北京石景山·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项. 【详解】，， 而，则，即，所以. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02指对幂比较大小 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 分析考情·探趋势 锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标 破解重难·冲高分 方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化 拔尖冲优·夺满分 巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力 近三年：近三年的高考中，该考点几乎每年都会出现，考查内容稳定，命题形式，以选择题和填空题为主，，难度中等偏上． 预测2026年：指对幂比较大小仍将以选择考重点考查的内容之一，难度中档，题加综合性和灵活性.更加注重综合推理能力. 考向01 利用函数单调性比较大小 比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小. 1．（25-26高三上·北京西城·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·北京朝阳·月考）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；                 ② ； ③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 3．（25-26高三上·北京西城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 考向02 中间值法比较大小 一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较 1．（25-26高三上·北京海淀·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京西城·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京昌平·二模）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（    ）． A． B． C． D． 考向03 构造函数法比较大小 构造函数法:构造函数，利用函数单调性比较大小 1．（21-22高三上·北京海淀·期中）下列不等关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·模拟预测）设，，，则（    ）． A． B． C． D． 考向04 数形结合法比较大小 是把变量转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到变量间的等量关系，判断即可确定选项. 1．（24-25高三上·北京房山·期末）已知实数，满足，，给出下列三个结论： ①；②；③. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．② C．①③ D．②③ 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 考向05 基本不等式法比较大小 利用基本不等式可得，结合对数函数单调性比较大小. 1. （22-23高三上·北京顺义·月考）下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23高三上·北京·月考），若，，，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． （建议用时：60分钟） 1．（25-26高三上·北京西城·月考）设和分别是方程和的根，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26高三上·北京·期中）已知实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京·月考）设，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知，是函数图象上的两个不同的点，则（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·月考）已知，，则下列不成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·北京·专题练习）设，则下列结论不正确的是（ ） A． B．若，则的最小值为4 C． D． 8．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京石景山·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $