精品解析：甘肃省兰州市兰州新区多校2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二上学期期末学业水平质量测试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 等差数列中，已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3或 4. 甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 5. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 过直线上一点作圆两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点（2，1） B. 圆的半径为2 C. 存实数，使得直线与圆相切 D. 若，则直线被圆截得的弦长为2 10. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线交于点（其中），与的准线交于点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积为 D. 11. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ） A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C. 若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________ 13. 在的展开式中，若的系数为，则___________ 14. 已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在展开式中，第5项为常数项． （1）求的值和该常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和． 16. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 17. 已知数列中，，数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求的前项和． 18. 已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线方程； （3）若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期期末学业水平质量测试卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 等差数列中，已知，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求得结果. 【详解】因为为等差数列，所以有，所以． 故选：C. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化为标准方程,即可得抛物线的准线方程． 【详解】由得，所以，所以， 故抛物线的准线方程为． 故选：C. 3. 已知直线：，：若，则的值为（ ） A B. 3 C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质列出等式，求解出的值，再进行验证即可. 【详解】因为，所以，整理得，解得或. 当时，为，为，此时两直线平行； 当时，为，即，为，即，此时两直线重合，应舍去. 故选：B. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学可以随机地选修王老师、张老师、李老师中任何一位老师开设的课程，则不同的选课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四名同学每名同学选课均有王老师、张老师、李老师共3种选择，根据分步乘法计数原理共有种选择． 故选：D. 5. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据已知及双曲线的定义得到，进而得到，应用勾股定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率. 【详解】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 所以，则， 所以，则，可得， 所以. 故选：A 6. 过直线上一点作圆两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B. 7. 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】分在同一支上和在两支上两种情况讨论求解即可. 【详解】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即， 如果在两支上，则的最小值为实轴长，即． 因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图. 故选：D． 8. 如图1，四边形是一边长为的正方形．依次将，分成的两部分，得到正方形，依循相同的规律，依次将，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形．一只蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图2所示，则该蚂蚁所爬行的总距离最接近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给比例关系及勾股定理计算，根据比例关系可以求出，同理可以得到，再根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】依题意，则， 所以，而， 所以，同理可得，依次递推可得到， 令，则是以3为首项，为公比的等比数列， 其前项和， 当时，，则，所以最接近的值为. 故选： 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点（2，1） B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，则直线被圆截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，将直线方程变形为点斜式可判断；对于选项B，将圆的方程化为标准式可判断；对于选项C，通过判断直线所过定点与圆的关系可判断；对于选项D，时，直线过圆心，可判断直线被圆截得的弦长. 【详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误． 故选：AB 10. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线交于点（其中），与的准线交于点．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理判断A；结合弦长公式判断B；计算点到直线距离，根据计算判断C；由题知为等边三角形，进而根据，得到即可判断D． 【详解】由已知可得，，准线，直线的方程为． 联立直线与抛物线的方程，可得． 由根与系数的关系可得，，故A错误； 结合图象，由弦长公式得，故B正确； 点到直线，即的距离为， 所以的面积，故C错误； 过点作，连接，因为倾斜角为且，所以为等边三角形， 在直角三角形中，，故， 所以，即线段中点为点，故，D正确． 故选：BD 11. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ） A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C. 若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用组合数的公式可判断A，利用定序相除可判断B，利用插空法可判断C，分情况讨论可判断D. 【详解】学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确； 课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误； 课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确； 课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种； 当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种， 故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确． 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则__________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质，建立关于的方程求解. 【详解】由组合数的性质，得或，解得或． 经检验和均满足且，故的值为4或7. 故答案为：4或7 13. 在的展开式中，若的系数为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出，再利用裂项求和的方法可得答案. 【详解】由二项展开式的通项可得 令，可得的系数为， 所以， 则， 则 故答案为： 14. 已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形和中位线的性质建立与已知条件之间的关系，结合椭圆的定义即可求出值，进而求出椭圆离心率. 【详解】因为，即，所以． 因为点是以为底的等腰内切圆的圆心，则， 又为的角平分线，延长交直线于点， 在与中， ， 所以， 所以，， 所以为的中点. 又为的中点，所以为的中位线， 所以． 若在轴右侧，则， 所以， 即，所以． 若在轴左侧，则， 所以， 即，所以． 综上，椭圆的离心率为或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，第5项为常数项． （1）求的值和该常数项的值； （2）求展开式中所有项的系数之和． 【答案】（1），； （2）1. 【解析】 【分析】（1）写出二项式的通项公式，结合已知列方程求得，进而求出常数项； （2）应用赋值法求所有项的系数之和. 【小问1详解】 因为的展开式的通项为， 当时，，所以，解得， 所以常数项的值为； 【小问2详解】 由（1），令，得，所以展开式中所有项的系数之和为1. 16. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，的周长为16，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立等式求得，代入即可求解； （2）根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，再结合和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，所以， 则，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知焦点坐标为， 设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去，得， 则由韦达定理得， 故， 所以的面积为. 17. 已知数列中，，数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系计算即可求解； （2）根据等比数列定义证明即可； （3）根据错位相减法计算即可. 【小问1详解】 已知，当时， 当时，． 验证时，，符合上式， 故数列的通项公式为． 【小问2详解】 证明：因为，所以， 所以， 又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 【小问3详解】 由（2）可知， 所以， 记数列的前项和为， ，① 则·，② 由①②可得 即 化简可得， 即. 18. 已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程； （3）若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由圆，得圆心的坐标为，代入直线求得的值，即可得到圆的方程； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离与弦长的关系，确定直线的方程； （3）假设存在直线，使得向量与共线.当直线的斜率不存在时，写出的坐标，可利用向量坐标判断向量与不共线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立圆的方程，用表示向量，根据向量与共线，求出的值，即可得到直线的方程. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. 【小问2详解】 圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． 【小问3详解】 因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即. 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②40 【解析】 【分析】（1）由抛物线的方程表示焦点为的坐标，由直线方程的点斜式表示直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立表示出过焦点的弦长，计算即可. （2）①设出直线的方程，与抛物线联立，用韦达定理找出坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点. ②利用三角形面积公式结合二次函数的基本性质，即可求得与面积和的最小值． 【小问1详解】 抛物线,抛物线的焦点坐标为， 当直线的斜率为1时，直线的方程为， 联立，得：， 由，解得：， 抛物线方程为． 【小问2详解】 ①证明：由题意，可设直线的方程为， 联立，得， 所以，， 设，，则直线的方程为：， 如图所示， 联立，得：，， 同理： ，. 当直线的斜率存在时，， 直线的方程为：， 化简，得，即 令，则，直线过定点． 当直线斜率不存在时，易知， 代入，得：， 直线的方程为：，直线过定点． 综上，直线过定点． ②由①知， ， ， 当且仅当时等号成立， 与面积和的最小值为40． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $