2025-2026学年人教版九年级数学上册(八考点)期末高频考点专练之二次函数

期末高频考点专练之二次函数2025-2026学年 人教版九年级上册(八考点) 考点一：二次函数的定义 1.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3.若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 考点二：二次函数的图像和性质 1.下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 3.已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 4.二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0 5.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 6.已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点四：二次函数的图像平移 1.将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2﹣2x﹣3 2.把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 考点五：二次函数与一次函数 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 2.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 考点六：二次函数与方程、不等式 1.如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3 2.若抛物线y＝x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 　 　． 3.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 4.画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 考点七：二次函数应用题 1.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(   ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 3.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 4.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 5.一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 考点八：二次函数与几何综合问题 1. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】 期末高频考点专练之二次函数2025-2026学年 人教版九年级上册(八考点) 考点一：二次函数的定义 1.下列函数中， 属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 3.若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　） A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1 【答案】A． 考点二：二次函数的图像和性质 1.下列关于抛物线的描述正确的是（    ） A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的 C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 2．下列二次函数的开口方向一定向上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【答案】A． 4.二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0 【答案】C． 5.二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　． 【答案】﹣2． 6.已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 考点三：二次函数的图像与系数的关系 1.如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 2．已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①；②；③；④， 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 考点四：二次函数的图像平移 1.将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2﹣2x﹣3 【答案】C． 2.把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 3.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是 ． 【答案】 考点五：二次函数与一次函数 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 2.二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 考点六：二次函数与方程、不等式 1.如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　） A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3 【答案】C． 2.若抛物线y＝x2﹣6x+a与x轴只有一个公共点，则a的值为 　 　． 【答案】9． 3.如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是　 ． 【答案】x＜﹣1或x＞3． 4.画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，x的取值范围是 ． （2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ． 【答案】函数图象见解析；（1）；（2） 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． （2）当时，， 当时，， 又∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是， 故答案为： 考点七：二次函数应用题 1.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（  ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】B 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(   ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 3.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 4.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 5.一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点处，喷水头的竖直高度为，当喷射出的水流与点的水平距离为时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为．在直线坡地草坪上，点与点的水平距离为，与水平地面的竖直高度为． (1)求水流抛物线的解析式； (2)求水流抛物线与直线坡地草坪之间的竖直距离的最大值； (3)已知在点处有一棵竖直高度为的小树．若将喷灌架沿直线坡地草坪向右移动，设其向右水平移动（其中），使其喷射出的水流不被小树遮挡，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可知，水流抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 水流抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知点坐标为， 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解： 设喷灌架沿直线坡地草坪向右水平移动，则向上移动， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或． ∴结合图象可得，的取值范围为． 考点八：二次函数与几何综合问题 1.如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为______． 【答案】（2，0） 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，其中，，为抛物线顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在线段上方抛物线上运动（不含端点、，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵抛物线解析式为， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图所示，过点E作轴交于F， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴的最大值为，此时点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $