专题04 二次函数与一元二次方程 6大高频考点（期中真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题04 二次函数与一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 考点02 根据抛物线与x轴的交点求点的坐标 考点03 根据抛物线与x轴的交点求参数的值 考点04 根据抛物线与x轴的交点求参数的取值范围 考点05 根据抛物线与x轴的交点求解多结论问题 考点06 图象法求一元二次方程的近似根 地 城 考点01 根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 一、选择题 1．（24-25九上•北京东城区•期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 2．（24-25九上•黑龙江伊春•期中）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 3．（24-25九上•四川德阳•广汉市•期中）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 4．（24-25九上•广东广州•荔湾区期中）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（　　） A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝5 5．（24-25九上•广东中山•期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如下表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 21 12 0 ﹣3 ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3 6．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣2.6＜x＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x＜﹣2.2 二、填空题 7．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为　 　． 8．（24-25九上•浙江浙江台州••期中）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是　 　． 9．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c＝3的解为　 　． 10．（24-25九上•江西南昌•期中）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则的值为　 　 ． 地 城 考点02 根据抛物线与x轴的交点求点的坐标 一、选择题 11．（24-25九上•吉林松原•前郭县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（﹣2，0），（2，0） D．（﹣2，0），（0，4） 12．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0） 13．（24-25九上•河南安阳•期中）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A． B．（2，0） C． D．（3，0） 14．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则它与x轴的另一个交点坐标为（　　） A．（4，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（1，0） 15．（24-25九上•广东广州•番禺区期中）如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（　　） A． B． C． D．1 16．（24-25九上•湖北武汉•汉阳区期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 二、填空题 17．（24-25九上•湖北潜江•期中）二次函数y＝x2+3x+a与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为　 　． 18．（24-25九上•北京顺义区•期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为　 　． 19．（24-25九上•天津北辰区•期中）已知二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是 　 　． 20．（24-25九上•海珠区校级期中）如图，抛物线yx2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为　 　． 三、解答题 21．（24-25九上•浙江杭州•上城区期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 22．（24-25九上•安徽阜阳•期中）已知二次函数y＝﹣x2﹣（m﹣1）x+m+1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线x＝2，求该函数的图象与y轴的交点坐标． 23．（24-25九上•江西赣州•安远县期中）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点． （1）求b、c的值； （2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 24．（24-25九上•山东烟台•莱山区期中）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2﹣k﹣6）x+4k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． （1）求k的值； （2）若点P在抛物线y＝x2+（k2﹣k﹣6）x+4k上，且点P到y轴的距离是3，求点P的坐标． 地 城 考点03 根据抛物线与x轴的交点求参数的值 一、选择题 25．（24-25九上•北京西城区•期中）二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 26．（24-25九上•北京海淀区•期中）抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），若||＝1，则m的值为（　　） A． B．± C．0 D． 27．（24-25九上•陕西西安•雁塔区期中）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m﹣2，n），则n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（24-25九上•安徽蚌埠•期中）已知二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y＝m2﹣2tm﹣3的最小值为3，则t的值为（　　） A． B．或 C．或 D． 二、填空题 29．（24-25九上•广东汕头•潮南区期中）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　 　． 30．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　 　． 31．（24-25九上•江苏苏州•期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　 　 32．（24-25九上•河北保定•定州市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，若AB＝2，则m的值为　 　． 3、 解答题 33．（24-25九上•北京朝阳区•期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 34．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线：y＝x2﹣2mx+m2﹣16． （1）求证：无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）若（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，求m的值； （3）若OA＝3OB，请直接写出m的值． 地 城 考点04 根据抛物线与x轴的交点求参数的取值范围 一、选择题 35．（24-25九上•山西吕梁•孝义市期中）已知抛物线y＝x2+x﹣k与x轴有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 36．（24-25九上•四川绵阳•江油市期中）抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）+2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　） A．a＜m＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．m＜a＜n＜b 37．（24-25九上•辽宁沈阳•期中）已知抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 38．（24-25九上•四川德阳•旌阳区期中）已知二次函数y＝x2﹣x﹣2，若关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k＝0在﹣1＜x＜3的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A．﹣3≤k＜4 B．﹣3＜k＜4 C． D． 二、填空题 39．（24-25九上•浙江台州•期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为（0，2），（m，0），（m+6，0），当时，总有y＞2，则m的取值范围是　 　． 40．（24-25九上•福建莆田•荔城区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．另一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．则t的取值范围是 　 　 ． 三、解答题 41．（24-25九上•广东广州•番禺区期中）若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为　 　 ． （3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为　 　 ． 42．（24-25九上•浙江温州•期中）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的解析式． （2）点M为这个二次函数图象上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为﹣2m，且MN∥x轴． ①若点N也在二次函数的图象上，求m的值； ②当线段MN与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 地 城 考点05 根据抛物线与x轴的交点求解多结论问题 一、选择题 43．（24-25九上•陕西宝鸡•陇县期中）关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　） A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2） B．当m时，函数图象与x轴总有2个交点 C．若m，则当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当m＞0时，函数有最小值m+1 44．（24-25九上•江苏苏州•期中）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①2a+b＝0； ②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④b﹣a＜2； ⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≤a+b．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（24-25九上•湖南郴州•嘉禾县期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点且1＜m＜2．下列四个结论：①顶点在第一象限；②b＞0；③若，则a+2b＝0；④当c＞1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 46．（24-25九上•福建漳州•华安县期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣3 p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3）； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2； ③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1； ④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 47．（24-25九上•广东江门•恩平市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③当x＜1时，y随着x的增大而增大；④4a+2b+c＜0．其中正确结论是　 　（填写序号）． 48．（24-25九上•湖北武汉•期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 4 y 0 5 9 5 ﹣16 下列结论： ①对称轴为直线x＝﹣1； ②方程ax2﹣bx+c﹣9＝0有两个不相等的实数根； ③若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ④满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围是x＜﹣4或x＞1． 其中正确结论的序号为 　 　 ． 49．（24-25九上•北京朝阳区•期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＜y2，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 50．（24-25九上•山东日照•东港区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … ①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是　 　．（把所有正确结论的序号都填上） 地 城 考点06 图象法求一元二次方程的近似根 一、选择题 51．（24-25九上•江苏南通•崇川区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 13 6 1 ﹣2 ﹣3 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 52．（24-25九上•广东梅州•五华县期中）小颖在探索一元二次方程x2+x﹣4＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（　　） x 0 1 2 3 x2+x﹣4 ﹣4 ﹣2 2 8 A．0 B．1 C．2 D．3 53．（24-25九上•山东青岛•崂山区期中）观察下面的表格，一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.8 54．（24-25九上•浙江台州•临海市期中）如表为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的一些对应值，则ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根在（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.06 A．6.17～6.19之间 B．6.18～6.19之间 C．6.19～6.20之间 D．比6.20大 二、填空题 55．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是　 　．（两相邻整数之间） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 1 2 1 ﹣2 ﹣7 … 56．（24-25九上•湖北荆州•江陵县期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是　 　． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 考点02 根据抛物线与x轴的交点求点的坐标 考点03 根据抛物线与x轴的交点求参数的值 考点04 根据抛物线与x轴的交点求参数的取值范围 考点05 根据抛物线与x轴的交点求解多结论问题 考点06 图象法求一元二次方程的近似根 地 城 考点01 根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解 一、选择题 1．（24-25九上•北京东城区•期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根． 答案：D． 2．（24-25九上•黑龙江伊春•期中）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 解：∵y＝x2﹣bx+c与x交于点A（1，0），B（﹣3，0）两点， ∴方程x2﹣bx+c＝0个根为x1＝1，x2＝﹣3， 答案：C． 3．（24-25九上•四川德阳•广汉市•期中）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（　　） A．x1＝3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝3，x2＝1 解：由图知，抛物线与x轴交于点（3，0）， 将（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m，得0＝﹣9+6+m， ∴m＝3， ∴原方程为﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3； 答案：B． 4．（24-25九上•广东广州•荔湾区期中）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（　　） A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣1，x2＝5 解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线， ∴2， 解得：b＝﹣4， ∴关于x的方程为x2﹣4x＝5， 解得x1＝﹣1，x2＝5， 答案：D． 5．（24-25九上•广东中山•期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如下表： x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 … y … 21 12 0 ﹣3 ﹣3 … 根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3 解：由表中的对应值得到抛物线经过点（2，﹣3），（4，﹣3）， ∴点（2，﹣3）和点（4，﹣3）为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝5． 答案：A． 6．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（　　） A．﹣2.6＜x＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x＜﹣2.2 解：由题意，结合表格数据， ∵当x＝﹣2.5时，y＝0.25；当x＝﹣2.4时，y＝﹣0.04， ∴满足题意的横坐标的范围是﹣2.5＜x＜﹣2.4． 答案：B． 二、填空题 7．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 　x＝1或x＝3　 ． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3， 答案：x＝1或x＝3． 8．（24-25九上•浙江浙江台州••期中）已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 　x1＝1，x2＝2　 ． 解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x． 又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2． 答案：x1＝1，x2＝2． 9．（24-25九上•湖北武汉•期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交于A，B两点，则方程ax2+bx+c＝3的解为 　x1＝﹣2，x2＝3　 ． 解：∵A，B两点的横坐标为﹣2，3， ∴方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝﹣2，x2＝3， 答案：x1＝﹣2，x2＝3． 10．（24-25九上•江西南昌•期中）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则的值为　﹣4　 ． 解： 设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0， ∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2， ∴x1+x22，x1•x2， ∴4， 答案：﹣4． 地 城 考点02 根据抛物线与x轴的交点求点的坐标 一、选择题 11．（24-25九上•吉林松原•前郭县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4与x轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（2，0） C．（﹣2，0），（2，0） D．（﹣2，0），（0，4） 解：令y＝0，即y＝x2﹣4＝0， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴抛物线y＝x2﹣4与x轴的交点坐标是（2，0）或（﹣2，0）， 答案：C． 12．（24-25九上•北京海淀区•期中）如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），则另一交点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（1，0） D．（2，0） 解：抛物线对称轴为直线x＝1，点A坐标为（﹣1，0）， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0）， 答案：A． 13．（24-25九上•河南安阳•期中）抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　） A． B．（2，0） C． D．（3，0） 解：∵y＝x2﹣2x+c对称轴为x＝1， 又∵抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴两个交点关于直线x＝1对称， 设另一个交点是x1， 则x1+（﹣1）＝2， 解得：x1＝3， ∴另一个交点为（3，0）． 答案：D． 14．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则它与x轴的另一个交点坐标为（　　） A．（4，0） B．（3，0） C．（2，0） D．（1，0） 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 答案：D． 15．（24-25九上•广东广州•番禺区期中）如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（　　） A． B． C． D．1 解：∵抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线S1的对称轴为直线x1， ∵抛物线S1向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，MN＝3MC， ∴CN＝2MC，CN＝2， ∴MN＝3， ∴点C与在抛物线S1上的对称点的距离为3， ∴点C的横坐标为：﹣1， 答案：B． 16．（24-25九上•湖北武汉•汉阳区期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如图， ∵CD＝EF＝3，CD∥EF， ∴四边形CDFE为平行四边形， ∴CE＝DF， ∵CB＝CE， ∴CB＝DF， ∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝AB+CD+DF+AD＝AB+CD+AF， ∴此时四边形ABCD的周长最小， 当y＝0时，x2﹣4x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝6， ∴B（2，0），E（6，0）， ∴抛物线的对称性为直线x＝4，F（6，3）， 当x＝0时，yx2﹣4x+6＝6， ∴A（0，6）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b， 把A（0，6），F（6，3）代入得， 解得， ∴直线AF的解析式为yx+6， 当x＝4时，yx+6＝4， ∴D（4，4）． 答案：B． 二、填空题 17．（24-25九上•湖北潜江•期中）二次函数y＝x2+3x+a与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 　（﹣2，0）　 ． 解：∵抛物线的对称轴为直线x， 而抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， 所以抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0）． 故答案:（﹣2，0）． 18．（24-25九上•北京顺义区•期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为　（3，0）　 ． 解：点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， 则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4， 则：点Q的横坐标为﹣1+4＝3， 答案：（3，0）． 19．（24-25九上•天津北辰区•期中）已知二次函数y＝x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是 　（﹣2，0）　 ． 解：设另一个交点坐标为（a，0）， ∵y＝x2+3x+m， ∴y＝（x）2+m， ∴二次函数图象的对称轴为x， ∵， ∴a＝﹣2， ∴另一个交点是（﹣2，0）， 答案：（﹣2，0）． 20．（24-25九上•海珠区校级期中）如图，抛物线yx2−x−2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C（6，y）在抛物线上，点D在y轴左侧的抛物线上，且∠DCA＝2∠CAB，则点D的坐标为 　（﹣6，10）　 ． 解：延长DC交x轴于点M， ∵∠DCA＝2∠CAB， ∴∠CAB＝∠CMA． ∴CA＝CM． ∵抛物线yx2x﹣2与x轴交于点A，B， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． 过点C作CQ⊥AM于点Q， ∴QM＝AQ＝8． ∴点M坐标为（14，0）． 由点C、M的坐标得，直线DM的解析式为：yx+7， 令yx+7x2x﹣2， 解得x＝﹣6或6（舍去）， ∴x＝﹣6，y（﹣6）+7＝10． ∴点D坐标为（﹣6，10）． 答案：（﹣6，10）． 三、解答题 21．（24-25九上•浙江杭州•上城区期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 解：（1）把（1，0），（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）． 22．（24-25九上•安徽阜阳•期中）已知二次函数y＝﹣x2﹣（m﹣1）x+m+1． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线x＝2，求该函数的图象与y轴的交点坐标． （1）证明：∵抛物线为y＝﹣x2﹣（m﹣1）x+m+1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（﹣1）×（m+1） ＝m2﹣2m+1+4m+4 ＝（m+1）2+4． ∵不论m取何值都有（m+1）2≥0， ∴Δ＝（m+1）2+4＞0． ∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点． （2）解：∵该函数图象的对称轴是直线x＝2， ∴对称轴为直线． ∴m＝﹣3． ∴y＝﹣x2﹣（﹣3﹣1）x+（﹣3）+1＝﹣x2+4x﹣2． ∴当x＝0时，y＝﹣2． ∴该函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）． 23．（24-25九上•江西赣州•安远县期中）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点． （1）求b、c的值； （2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标． 解：（1）把A（﹣2，0），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：， 解得； （2）由（1）知，二次函数解析式为y＝﹣x2﹣x+2， 设点P坐标为（m，﹣m2﹣m+2）， ∵△PAB的面积为6，AB＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△PABAB•|yP|3×|﹣m2﹣m+2|＝6， ∴|m2+m﹣2|＝4， 即m2+m﹣2＝4或m2+m﹣2＝﹣4， 解得m＝﹣3或m＝2， ∴P（﹣3，﹣4）或（2，﹣4）． 24．（24-25九上•山东烟台•莱山区期中）已知k是常数，抛物线y＝x2+（k2﹣k﹣6）x+4k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． （1）求k的值； （2）若点P在抛物线y＝x2+（k2﹣k﹣6）x+4k上，且点P到y轴的距离是3，求点P的坐标． 解：（1）由题意得，， 即 ， 解得k1＝3，k2＝﹣2， 当k＝3时，二次函数解析式为y＝x2+12， 又∵b2﹣4ac＝02﹣4×1×12＜0， ∴抛物线y＝x2+12与x轴无交点， ∴k＝3不合题意，舍去； 当k＝﹣2时，二次函数解析式为y＝x2﹣8， 又∵b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＞0， ∴抛物线y＝x2﹣8与x轴有两交点， ∴k的值为﹣2； （2）∵点P到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标为3或﹣3， 由（1）知，k＝﹣2， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣8， 又∵点P在抛物线y＝x2﹣8上， ∴当x＝3时，y＝x2﹣8＝32﹣8＝1， 当x＝﹣3时，y＝x2﹣8＝（﹣3）2﹣8＝1， ∴点P的坐标为（3，1）或（﹣3，1）． 地 城 考点03 根据抛物线与x轴的交点求参数的值 一、选择题 25．（24-25九上•北京西城区•期中）二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．2 C．4 D．6 解：∵二次函数y＝x2+4x+a的图象与x轴没有交点， ∴方程x2+4x+a＝0没有实数解， ∴Δ＝42﹣4a＜0， 解得a＞4， ∴a可以取6． 答案：D． 26．（24-25九上•北京海淀区•期中）抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），若||＝1，则m的值为（　　） A． B．± C．0 D． 解：∵||＝1， ∴x1＝±x2，两根相等（不合题意舍去）或互为相反数，即2m﹣1＝0． 2m﹣1＝0时m． 答案：D． 27．（24-25九上•陕西西安•雁塔区期中）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m﹣2，n），则n＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n）、B（m﹣2，n）， ∴对称轴是直线x＝m﹣1， 又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴顶点为（m﹣1，0）， ∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+1）2， 把A（m，n）代入，得： n＝（m﹣m+1）2＝1， 即n＝1． 答案：A． 28．（24-25九上•安徽蚌埠•期中）已知二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y＝m2﹣2tm﹣3的最小值为3，则t的值为（　　） A． B．或 C．或 D． 解：∵二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点， ∴Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0， ∴1≤m≤2， 当t≥2时， 则m＝2时，y取得最小值， 即4﹣4t﹣3＝3，则t（舍去）； 当t≤1时， 则m＝1时，y取得最小值， 即1﹣2t﹣3＝3，则t； 当1＜t＜2时， 当m＝t时，y取得最小值， 即t2﹣2t2﹣3＝3， 方程无解， 答案：D． 二、填空题 29．（24-25九上•广东汕头•潮南区期中）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　﹣1或2或1　 ． 解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0， 解得：a1＝﹣1，a2＝2， 当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1． 答案：﹣1或2或1． 30．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　1　 ． 解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1， ∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0）， ∴a﹣1+c＝0， ∴a+c＝1， 答案：1． 31．（24-25九上•江苏苏州•期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　﹣8．　 解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n， 由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0）， 则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6 即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2， 当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t， 答案：﹣8． 32．（24-25九上•河北保定•定州市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B，若AB＝2，则m的值为 　2　 ． 解：设A（a，0），B（b，0），则a，b是方程x2﹣2mx+3＝0的两个根， ∴a+b＝2m，ab＝3． ∵抛物线y＝x2﹣2mx+3与x轴正半轴交于点A、B， ∴a＞0，b＞0， ∴2m＞0， ∴m＞0． ∵AB＝2， ∴b﹣a＝2． ∴（b﹣a）2＝4． ∴（a+b）2﹣4ab＝4， ∴（2m）2﹣12＝4． 解得：m＝±2（负数不合题意，舍去）， ∴m＝2． 答案：2． 3、 解答题 33．（24-25九上•北京朝阳区•期中）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． （1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0， ∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1 ＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m） ＝1＞0， ∴方程有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3， 解得m＝﹣3或1． 34．（24-25九上•广东东莞•期中）已知抛物线：y＝x2﹣2mx+m2﹣16． （1）求证：无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）若（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，求m的值； （3）若OA＝3OB，请直接写出m的值． （1）证明：由题意得：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣16）＝64＞0， ∴无论m为何值，与x轴总有两个不同的交点A，B； （2）解：令y＝0，解得xA＝m﹣4，xB＝m+4， 则（xA﹣1）（xB﹣1）＝9，即（m﹣5）（m+3）＝9， 解得：m＝6或﹣4； （3）解：①当点A在点B的左侧时， 当点A、B均在y轴右侧时， ∵OA＝3OB， ∴﹣（m﹣4）＝﹣3（m+4），解得m＝﹣8， 当点A、B在y轴两侧时， 则﹣（m﹣4）＝3（m+4），解得m＝﹣2， 故m＝﹣8或﹣2． ②当点A在点B的右侧时， 同理可得：m＝8或2； 综上，m＝±8或±2． 地 城 考点04 根据抛物线与x轴的交点求参数的取值范围 一、选择题 35．（24-25九上•山西吕梁•孝义市期中）已知抛物线y＝x2+x﹣k与x轴有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：令y＝0， ∴x2+x﹣k＝0， 由题意可得：Δ＝12﹣4×1×（﹣k）＞0， 即1+4k＞0， 解得． 答案：C． 36．（24-25九上•四川绵阳•江油市期中）抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）+2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　） A．a＜m＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．m＜a＜n＜b 解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往上平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）+2的图象， 观察图象，可知：a＜m＜n＜b． 答案：A． 37．（24-25九上•辽宁沈阳•期中）已知抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4， 当x＝1时，y＝3， 当x＝5时，y＝﹣5， 由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4， ∴﹣5＜t≤4． 答案：D． 38．（24-25九上•四川德阳•旌阳区期中）已知二次函数y＝x2﹣x﹣2，若关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k＝0在﹣1＜x＜3的范围内有解，则k的取值范围是（　　） A．﹣3≤k＜4 B．﹣3＜k＜4 C． D． 解：关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k＝0的解，实质是当二次函数的函数值y为k时所对应的x的值． ∵二次函数y＝x2﹣x﹣2的二次项系数大于0， ∴x时，二次函数有最小值y． 当x＝﹣1时，y＝0，当x＝3时，y＝4． ∵关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k＝0在﹣1＜x＜3的范围内有解， ∴k＜4． 答案：D． 二、填空题 39．（24-25九上•浙江台州•期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为（0，2），（m，0），（m+6，0），当时，总有y＞2，则m的取值范围是 　﹣4＜m＜﹣3或m＜0　 ． 解：∵抛物线过点（m，0），（m+6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m+3， ∵抛物线过点（0，2）， ∴当y＝2时，另一个解为：x＝2m+6， ∵当时，总有y＞2， ∴m+2＞0， ∴m＞﹣4， ∴2m+6＞﹣2， 当2m+6＞0时，即m＞﹣3时，要使y＞2恒成立，需要抛物线开口向下， ∴m+2≤2m+6，m＜0， ∴m＜0， 当2m+6＝0时，（0，2）是抛物线的顶点，此时需要抛物线开口向上，但与抛物线与x轴有交点矛盾； 当2m+6＜0时，即﹣4＜m＜﹣3时，要使y＞2恒成立，需要抛物线开口向上，此时抛物线的对称轴在y轴左侧，符合题意； 综上所述，m的取值范围是﹣4＜m＜﹣3或m＜0． 答案：﹣4＜m＜﹣3或m＜0． 40．（24-25九上•福建莆田•荔城区期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．另一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．则t的取值范围是 　3＜t＜7且t≠4　 ． 解：∵在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C， ∴C（1，4）； 令， 解得x＝﹣2或x＝4， ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣2，0），B（4，0）； ∵点D在线段OB上， ∴DB＜OB＝4， ∴点B到对称轴的距离小于2， 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将点M，点C的坐标代入得： ， ∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0， ∵t≠1， ∴， ∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为0）， ∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0）， ∴D（t﹣3，0）， ∵点D在线段OB上，且与端点不重合， ∴，即3＜t＜7， ∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴3＜t＜7且t≠4； 答案：3＜t＜7且t≠4． 三、解答题 41．（24-25九上•广东广州•番禺区期中）若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为　﹣4≤y≤5　 ． （3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为　n≥﹣4　 ． 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1，即b＝﹣2a， ∵抛物线经过点（3，0）． ∴9a+3b﹣3＝0， 把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1， ∴b＝﹣2， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴x＝1时，y有最小值﹣4， 当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5， ∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5； （3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根， ∴n≥﹣4． 答案：﹣4≤y≤5，n≥﹣4． 42．（24-25九上•浙江温州•期中）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于C（0，﹣3）． （1）求这个二次函数的解析式． （2）点M为这个二次函数图象上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为﹣2m，且MN∥x轴． ①若点N也在二次函数的图象上，求m的值； ②当线段MN与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ①若点N也在二次函数的图象上， ∵MN∥x轴， ∴M、N关于直线x＝1对称， ∴， ∴m＝﹣2； ②当线段MN与二次函数的图象有两个公共点时， ∵点M的横坐标为m，MN∥x轴， ∴点M关于对称轴的对称点的横坐标为2﹣m， 当m＜1时，则﹣2m≥2﹣m，解得m≤﹣2； 当m＞1时，则﹣2m≤2﹣m，解得m≥﹣2，故m＞1， ∴m的取值范围是m≤﹣2或m＞1． 地 城 考点05 根据抛物线与x轴的交点求解多结论问题 一、选择题 43．（24-25九上•陕西宝鸡•陇县期中）关于函数y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）．下列说法正确的是（　　） A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2） B．当m时，函数图象与x轴总有2个交点 C．若m，则当x＜1时，y随x的增大而减小 D．当m＞0时，函数有最小值m+1 解：A．当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2， 故图象过（1，0）和（﹣1，2）， 故A错误，不符合题意； B．当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，该函数与x轴只有一个交点， 故B错误，不符合题意； C．m，则函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x）（x﹣1）， 则该函数的对称轴为直线x（1）1， 故x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大， 故C错误，不符合题意； D．若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值， 当x时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）m+1， 故D正确，符合题意； 答案：D． 44．（24-25九上•江苏苏州•期中）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论： ①2a+b＝0； ②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间； ③方程定有两个不相等的实数根； ④b﹣a＜2； ⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≤a+b．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：对称轴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵抛y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在﹣1、0之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误； ∵y＝ax2+bx+c与直线有两个交点， ∴一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故④错误． ∵开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，m（am+b）≤a+b． 故⑤正确； 答案：C． 45．（24-25九上•湖南郴州•嘉禾县期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点且1＜m＜2．下列四个结论：①顶点在第一象限；②b＞0；③若，则a+2b＝0；④当c＞1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下， ∴a＜0， ∵过A（﹣1，0），B（m，0）两点且1＜m＜2， ∴函数开口向下与x轴有两个交点， ∴对称轴为， ∴b＞0，即②正确； ∴函数顶点在第一象限，即①正确； ∵， ∴对称轴为， ∴，即a+2b＝0，故③正确； 当c＞1时，抛物线与y轴交点在（0，1）上方， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线y＝1有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根， 故④正确， 答案：D． 46．（24-25九上•福建漳州•华安县期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c上某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣3 p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3）； ②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2； ③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1； ④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：由题意，∵当x＝﹣3和x＝﹣1时的函数值均为p， ∴抛物线的对称轴是直线x2． ∴当x＝﹣4时的函数值与x＝﹣2+2＝0时的函数值相等，即当x＝0时，y＝﹣3． ∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3）． ∴①②均为正确． 由题意，顶点为（﹣2，1）， ∴可设抛物线为y＝a（x+2）2+1． 又抛物线过点（﹣4，﹣3）， ∴4a+1＝﹣3． ∴a＝﹣1． ∴抛物线为y＝﹣（x+2）2+1． 又令y＝0， ∴0＝﹣（x+2）2+1． ∴x＝﹣1或x＝﹣3． ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1，故③正确． 又当x＝﹣2时，y取最大值， ∴当y＜0时，x的取值范围应该是两部分，故④错误． 答案：C． 二、填空题 47．（24-25九上•广东江门•恩平市期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③当x＜1时，y随着x的增大而增大；④4a+2b+c＜0．其中正确结论是 　①②③　 （填写序号）． 解：①图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：ab＜0，c＞0，则abc＜0，故结论①正确； ②由抛物线轴对称性质知：抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），则方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故结论②正确； ③由函数图象知，当x＜1时，y随着x的增大而增大，故结论③正确； ④由函数图象知：当x＝2时，y＞0，则4a+2b+c＞0，故结论④不正确． 故正确结论的序号是：①②③． 答案：①②③． 48．（24-25九上•湖北武汉•期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 4 y 0 5 9 5 ﹣16 下列结论： ①对称轴为直线x＝﹣1； ②方程ax2﹣bx+c﹣9＝0有两个不相等的实数根； ③若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ④满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围是x＜﹣4或x＞1． 其中正确结论的序号为 　①③④　 ． 解：根据表格数据，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且在x＝﹣1处取得最大值9，故结论①正确： 方程 ax2﹣bx+c﹣9＝0 等价于 ax2+bx+c＝9，由于抛物线在 x＝﹣1 处取得最大值9，该方程有两个相等的实数根．故结论②正确； 由于抛物线关于直线 x＝﹣1 对称，因此对于任意点（m，y1），其关于对称轴 的对称点为 （﹣m﹣2，y2），所以y1＝y2．故结论③正确； 抛物线在x＜﹣4或x＞1 时，y值小于4，因此满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围为x＜﹣4或x＞1．故结论④正确． 答案：①③④． 49．（24-25九上•北京朝阳区•期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＜y2，则． 其中正确的是　②③④　 （填写序号）． 解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1． ∴对称轴为直线，， ∵，a＜0， ∴b＜0，故①错误， ∵0＜m＜1， ∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1， 又∵a＜0， ∴x＝m﹣1时，y＞1， ∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确； ③由①可得， ∴，即﹣1＜b＜0， 当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c， 设顶点纵坐标为， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1）， ∴﹣1﹣b+c＝1， ∴c＝b+2， ∴， ∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2， ∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0， ∴关于x的一元二次方程 ax2+bx+c＝2无解，故③正确； ④∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2， 又， ∴点A（x1，y1）离较远， ∴对称轴， 解得：，故④正确． 答案：②③④． 50．（24-25九上•山东日照•东港区期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … ①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根．其中，正确的结论是 　①②⑤　 ．（把所有正确结论的序号都填上） 解：由表格和当x时，与其对应的函数值y＞0可知， 该函数图象开口向上，对称轴是直线x，函数的最小值小于﹣2， ∴函数图象的顶点在第四象限内，故①正确； ∵对称轴是直线x， ∴x＝﹣2和x＝3时对应的函数值都是t， ∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故②正确； ∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2， ∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2， ∴a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2， ∵m＝a+a﹣2＝2a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4， ∵x时，与其对应的函数值y＞0， ∴aa﹣2＞0， ∴a， ∴4a﹣4， ∴m+n，故③错误； ∵函数图象开口向上，对称轴是直线x， ∴点（﹣8，y1）到对称轴的距离大于点（8，y2）到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故④错误； ∵x＝0和x＝1时对应的函数值都是﹣2， ∴c＝﹣2，a+b+c＝﹣2， ∴a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴二次函数y＝ax2﹣ax﹣2＝a（x）2a﹣2， ∴抛物线的最小值为a﹣2， ∵a， ∴a﹣2， ∵， ∴a﹣2， ∴方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根，故⑤正确； 答案：①②⑤． 地 城 考点06 图象法求一元二次方程的近似根 一、选择题 51．（24-25九上•江苏南通•崇川区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 13 6 1 ﹣2 ﹣3 … 根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（　　） A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1 解：当x＝﹣1时，y＝1；当x＝0时，y＝﹣2， ∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0， 答案：C． 52．（24-25九上•广东梅州•五华县期中）小颖在探索一元二次方程x2+x﹣4＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（　　） x 0 1 2 3 x2+x﹣4 ﹣4 ﹣2 2 8 A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵x＝1时，x2+x﹣4＝﹣2； x＝2时，x2+x﹣4＝2， ∴当1＜x＜2时，ax2+bx+c＝0， ∴一元二次方程x2+x﹣4＝0的一个解的整数部分是为1． 答案：B． 53．（24-25九上•山东青岛•崂山区期中）观察下面的表格，一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.8 解：因为x＝1.8时，x2﹣x＝1.44与1.4最接近， 所以一元二次方程x2﹣x＝1.4的一个近似解是1.8． 答案：D． 54．（24-25九上•浙江台州•临海市期中）如表为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的一些对应值，则ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根在（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.06 A．6.17～6.19之间 B．6.18～6.19之间 C．6.19～6.20之间 D．比6.20大 解：由表格中的数据看出﹣0.03和0.02之间必有0，故x应取对应的范围为6.18～6.19． 答案：B． 二、填空题 55．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是 　﹣4＜x＜﹣3或﹣1＜x＜0　 ．（两相邻整数之间） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 1 2 1 ﹣2 ﹣7 … 解：∵当x＝﹣1时，y＞0，当x＝0时，y＜0， ∴根据函数的连续性，在﹣1～0之间，存在一个数，使y＝0， 根据抛物线的对称性，在﹣4～﹣3之间，也存在一个数，使y＝0， 答案：﹣4＜x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 56．（24-25九上•湖北荆州•江陵县期中）在探究一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是　1.1～1.2　 ． 解：当x＝1时，x2+12x﹣15＝﹣2，x＝1.1时，x2+12x﹣15＝0.59； ∴方程的一个近似解是：1.1， 所以一这个近似解的大致范围为：1.1～1.2． 答案：1.1～1.2． 试卷第1页，共3页 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $