寒假作业13角（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业 13角 一、角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 二、角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 三、方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 四、角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 五、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 六、角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 角的概念 1.如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 题型二 钟面角 2.（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155 【解析】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或．所以时针与分针的夹角为155° （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 题型三 方位角 3．一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 【答案】 西 540 北偏西 60 600 北偏西 30 200 【解析】解：（1）根据“上北下南，左西右东”的地图方向，可知：台风从生成地开始沿着正西方向移动了，然后沿着北偏西移动了， 到达了A市． 故答案为：西；540；北偏西；；600． （2）同样由“上北下南，左西右东”，可知：接着，台风又改变方向，沿北偏西方向移动了，到达了B市． 故答案为：北偏西；；200． 题型四 角的度量单位 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 题型五 角平分线 5．如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【解析】解：∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴ ， 故答案为：． 题型六 角的大小比较 6．【变式6-1】 （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 【答案】（1）内部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜ 【解析】由图可知：（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＜∠AOB 故答案为：内部；＜； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC=∠AOD 故答案为：=； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA． 故答案为：∠BOC；外部；＜． 题型七 尺规作角 7．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 题型八 角n等分线的有关计算 8．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 题型九 三角板中的角度计算 9．如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：，， ，， ， 故选：A． 题型十 旋转成动角问题 10．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)；(2)；(3)的度数是或或或 【解析】（1）解：∵，∴， ∵，即，∴， ∵平分，∴． （2）解：，， ∵，∴， ∴ ∵平分，∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分，∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵，∴， ∵平分，∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ，， ∵平分，∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵，， ∵平分，∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 1．某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　） A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟 【答案】C 【解析】解：设开始做作业时的时间是6点x分， ∴6x﹣0.5x＝180﹣120， 解得x≈11； 再设做完作业后的时间是6点y分， ∴6y﹣0.5y＝180+120， 解得y≈55， ∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟． 故选：C． 2．时针指示6点15分，它的时针和分针所夹的角是 　97.5　 度． 【答案】97.5 【解析】解：把6点作为起始时间．15分钟，时针旋转了一个大格的，即30°7.5°， 此时分针指向3，3与6之间有三个大格，共30°×3＝90°， 故针和分针所夹角的度数是90°+7.5°＝97.5°． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 4．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　100　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD， 当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2， ∴∠MON＝∠MOB+∠BON ∠AOCBOD 120°60° ＝80°+20° ＝100°； 故答案为：100°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60）， ①当0＜n＜60时，如（图1）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON （120°﹣n°）+n°（60°﹣n°） ＝100°； ②当60＜n＜120时，如（图2）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON （120°﹣n°）+60°（n°﹣60°） ＝100°； 综上所述：∠MON的度数为100°； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC， ①当0＜n＜60时，如图3， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON （120°+n°）+60°（n°+60°） ＝100°， ∴2n°＝100° ∴n＝50； ②当60＜n＜120时，如图4， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON ＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°） ＝140°， ∴2n°＝140°， ∴n＝70； 当120＜n＜180时，如图5， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°， ∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠AOM＝80°n，∠BON＝100°n， ∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON ＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON ＝（120°+80°n）﹣（100°n） ＝100°， ∴2n°＝100°， ∴n＝50； 综上所述：n的值为50或70． 5．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝　25°　 ； （2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25°． （2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线， ∴∠MOB＝2∠BOC＝130°． ∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON ＝130°﹣90° ＝40°． ∠CON＝∠COB﹣∠BON ＝65°﹣40° ＝25°． 即∠BON＝40°，∠CON＝25°； （3）∵∠NOC∠AOM， ∴∠AOM＝4∠NOC． ∵∠BOC＝65°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC ＝180°﹣65 ＝115°． ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON ＝115°﹣90° ＝25°． ∴4∠NOC+∠NOC＝25°． ∴∠NOC＝5°． ∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°． 6．（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数． （2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是　69°或39°或21°或9°　 ． 【答案】（1）80°或40°； （2）69°或39°或21°或9°． 【解析】解：（1）①如图1，射线OC在∠AOB的外部时， ∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+20°＝80°； ②如图2，射线OC在∠AOB的内部时， ∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°． 综上所述，∠AOC的度数为：80°或40°． （2）由题意，∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况： ①如图（1）：∠COD＝∠AOB+∠BOC+∠AOD＝69°． ②如图（2）：∠COD＝∠AOB﹣∠AOD+∠BOC＝39°； ③如图（3）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC+∠AOD＝21°； ④如图（4）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD＝9°． 故答案为69°或39°或21°或9°． 7．观察图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？ （4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由分析知： （1）①图中有2条射线，则角的个数为：1（个）； （2）②图中有3条射线，则角的个数为：3（个）； （3）③图中有4条射线，则角的个数为：6（个）； （4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个． 8．如图∠BAC和∠DAE都是70°20′的角． （1）如果∠DAC＝27°20′，那么∠BAE等于多少？ （2）请写出图①中相等的角． （3）根据上述经验，在图②中，利用三角板的特殊角画一个与∠MON相等的角（请指明你所使用的三角板的角的度数和画出与∠MON相等的角）． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵∠DAE＝70°20′，∠DAC＝27°20′， ∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝70°20′﹣27°20′＝43°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝70°20′+43°＝113°20′． （2）∵∠BAC＝∠BAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC， ∴∠BAD＝∠EAC． （3）方法不唯一，下面仅列出两种情况： 图中：利用直角可得∠MOG＝∠NOF＝90° ∴图中∠FOG＝∠MON； 图中：利用60°角可得∠MOG＝∠NOF＝60° ∴图中∠FOG＝∠MON． 9．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE＝45°，∠CAE＝15°，∠DBC＝80°． ∵∠BAE＝45°，∠EAC＝15°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°． ∵AE，DB是正南正北方向， ∴BD∥AE， ∵∠DBA＝∠BAE＝45°， 又∵∠DBC＝80°， ∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 10．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角） （1）图中一定有　4　 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　144°　 ，∠BON的度数为　114°　 ，∠MOC的度数为　60°　 ． （2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值； （3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°， ∴∠BOC＝∠BOD＝90°， ∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，∠MOC＝90°﹣30°＝60°； 故答案为：4；144°，114°，60°； （2）当ON与OA重合时，t＝90÷12＝7.5（s）， 当OM与OA重合时，t＝180°÷15＝12（s）， 如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON＝90°﹣12t°，∠AOM＝180°﹣15t°， 由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得 180°﹣15t°＝3（90°﹣12t°）﹣60°， 解得t； 如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON＝12t°﹣90°，∠AOM＝180°﹣15t°， 由∠AOM＝3∠AON﹣60°，可得 180°﹣15t°＝3（12t°﹣90°）﹣60°， 解得t＝10； 综上所述，当∠AOM＝3∠AON﹣60°时，t的值为s或10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°， ∴15t°+90°+12t°＝180°， 解得t， ①如图所示，当0＜t时， ∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°， ∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t°+90°+12t°， ∴（不是定值）， ②如图所示，当t＜6时， ∠COM＝90°﹣15t°，∠BON＝90°+12t°， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t°+90°+12t°）＝270°﹣27t°， ∴3（定值）， 综上所述，当0＜t时，的值不是定值，当t＜6时，的值是3． 11．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意可知∠NAB＝35°，∠NAC＝60°，∠NAD＝145°． 故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB＝60°﹣35°＝25°， AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC＝145°﹣60°＝85°， 从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE＝105°． 12．图1是由一副三角板拼成的图案，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）图1中，∠EBC的度数为　150°　 ； （2）能否将图1中的三角板ABC绕点B逆时针旋转α度（0°＜α＜90°，如图2），使旋转后的∠ABE＝2∠DBC？若能，求出α的度数，若不能，请说明理由； （3）能否将图1中的三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°，如图3），使旋转后的∠ABE＝2∠DBC？请直接回答，不必说明理由； 答：　不能　 （填“能”或“不能”） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∠EBC＝∠ABC+∠EBD＝60°+90°＝150°； （2）第一种情况： 若逆时针旋转α度（0＜α＜60°），如图2： 据题意得90°﹣α＝2（60°﹣α）， 得α＝30°， 第二种情况，若逆时针旋转α度（60°≤α＜90°）， 据题意得90°﹣α＝2（α﹣60°）， 得α＝70°， 故α为30°或70°； （3）若顺时针旋转α度，如图3， 据题意得90°+α＝2（60°+α）， 得α＝﹣30° ∵0＜α＜90°，α＝﹣30°不合题意，舍去． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题： （1）分针每分钟转了几度？ （2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？ （3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）分针每分钟转的度数为360÷60＝6（度）； （2）时针每分钟转的度数为360÷（60×12）＝0.5（度），设经过x分钟后分针和时针所成的钝角第一次为121度，则（6﹣0.5）x＝121，即5.5x＝121，解得x＝22（分）， 故中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°； （3）设经过y分钟后分针和时针所成的钝角第二次为121度，两针第二次成121度，也就是360﹣121＝239（度）时，在第一次成121度基础上那就是再经过239﹣121＝118（度），则（6﹣0.5）y＝118，即5.5y＝118，解得y（分） 故分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过分钟两针所成的钝角会第二次等于121°． 2．（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来． （2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ 对（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，这样作出19个19°的角，其总和为361°， ∠BOB19就是1°角； （2）利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17×m﹣180×n＝1． 事实上17×53﹣180×5＝901﹣900＝1． 所以作法如下： 在平面上任取一点O，过O点画直线AOB，以OB为始边．O为顶点，逆时针方向依次画53个17°的角，设最后的终边为OB53，而5×180°的终边在OA射线，这时∠AOB53即为1°的角； （3）若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得 21×m﹣180×n＝1，此时我们发现，这样的m，n不存在，因此，用21°角的模板和铅笔不能画出1°角来． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业 13角 一、角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 二、角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 三、方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 四、角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 五、角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 六、角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 角的概念 1.如图，在从同一点出发的七条射线组成的图形中，共有 个锐角． 题型二 钟面角 2.（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 题型三 方位角 3．一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 题型四 角的度量单位 4．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型五 角平分线 5．如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 题型六 角的大小比较 6．【变式6-1】 （1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB； （2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD； （3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA． 题型七 尺规作角 7．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八 角n等分线的有关计算 8．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 题型九 三角板中的角度计算 9．如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十 旋转成动角问题 10．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 1．某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　） A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟 2．时针指示6点15分，它的时针和分针所夹的角是 　 　 度． 3．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 4．如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 5．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝　 　 ； （2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数． 6．（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数． （2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是　 　 ． 7．观察图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？ （4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？ 8．如图∠BAC和∠DAE都是70°20′的角． （1）如果∠DAC＝27°20′，那么∠BAE等于多少？ （2）请写出图①中相等的角． （3）根据上述经验，在图②中，利用三角板的特殊角画一个与∠MON相等的角（请指明你所使用的三角板的角的度数和画出与∠MON相等的角）． 9．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数． 10．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角） （1）图中一定有　 　 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　 ，∠BON的度数为　 　 ，∠MOC的度数为　 　 ． （2）当0＜t＜12时，若∠AOM＝3∠AON﹣60°，试求出t的值； （3）当0＜t＜6时，探究的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值． 11．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线． 12．图1是由一副三角板拼成的图案，根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）图1中，∠EBC的度数为　 　 ； （2）能否将图1中的三角板ABC绕点B逆时针旋转α度（0°＜α＜90°，如图2），使旋转后的∠ABE＝2∠DBC？若能，求出α的度数，若不能，请说明理由； （3）能否将图1中的三角板ABC绕点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°，如图3），使旋转后的∠ABE＝2∠DBC？请直接回答，不必说明理由； 答：　 　 （填“能”或“不能”） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题： （1）分针每分钟转了几度？ （2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？ （3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？ 2．（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来． （2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ 对（2）、（3）两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $