专题19 角（7知识点+8大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题19 角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点07 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【题型1 角的概念和表示】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【答案】C 【知识点】角的概念理解 【分析】本题考查了角的定义，由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，也可以看作由一条射线绕其端点旋转而成的图形，根据定义逐一判断，即可解题． 【详解】解：A、由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角，正确，不符合题意； B、角是由始边绕着端点旋转形成的图形，正确，不符合题意； C、角是由两条直线相交形成的图形，说法错误，两条相交直线可以形成四个角，符合题意； D、角的两边是射线，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 2.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 3.（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不能用，，三种方法表示同一个角，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用，，三种方法表示同一个角，故C选项错误； D、不能用，，三种方法表示同一个角，故D选项错误； 故选：B． 【题型2 角的单位与角度制】 例题：（23-24六年级下·山东济南·开学考试）用度、分、秒表示 ′ ″ 【答案】 34 10 48 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度、分、秒的转化运算．进行度、分、秒的转化运算，注意以为进制．，． 【详解】解： ． 故答案为：34；10；48． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津河西·期末） ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】角的单位换算计算即可． 本题考查了角的单位换算，熟练掌握换算进制是阶梯的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·山东淄博·期中） 度 分 秒． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的进制关系是解决本题的关键．先把化为分，再把小数分化为秒即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：，，． 3.（23-24七年级上·江西吉安·期末） ； ° 【答案】 12 18 【知识点】角的单位与角度制 【分析】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率可得答案． 【详解】解：，． 故答案为：12，18，． 【题型3 钟面角】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】/75度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成12等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴时针与分针的夹角为. 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【答案】90 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字3，分钟指向数字12进行求解即可． 【详解】解：， ∴此时时针与分针的夹角为90度， 故答案为：90． 2.（23-24七年级下·山东日照·开学考试）2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】钟面角 【分析】本题考考查了钟面角度的计算和时针、分针的转动速度．熟练掌握钟面角度的计算和时针、分针的转动速度是解题的关键．钟面被平均分成了个大格，每个大格的角度是；时针每分钟转，分针每分钟转． 先求出2点时，时针与分针的初始夹角，再根据时针和分针的转动速度，计算分钟后它们的夹角即可． 【详解】解：2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数为：． 故答案为：． 3.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【答案】135 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解． 【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度， 因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度）， 故答案为：135． 【题型4 与方位角有关的计算题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角．画图正确表示出方位角，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故答案是：40． 2.（23-24七年级下·北京·期中）如图，一艘船从A点出发先沿北偏东方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识的．利用平行线的性质求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3.（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是________； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算、邻补角的定义理解 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据，，得出，进而求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图， 的方向是北偏西，的方向是北偏东， ，， ， ， ， ， 的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图， ，， ． 又射线是的反向延长线， ． ． （3）解：如图， ，平分， ． ． ． 【题型5 角的比较】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【详解】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角的比较 【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可． 【详解】解：∵在的内部， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴选项B正确，不符合题意； 根据题意，无法比较和的大小，选项C不一定正确，符合题意； ∵， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2.（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 【答案】D 【知识点】角的比较、角的表示方法 【分析】本题主要考查角的大小比较及角的概念，根据角的大小比较及角的概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意； B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意； C．不可以用表示，故本选项不符合题意； D．与表示同一个角，故本选项符合题意． 故选：D． 3.（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，利用平移的方法是解题的关键．将平移，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 【题型6 三角板中角度计算问题】 例题：（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【答案】/度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·河南洛阳·期末）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，．如图2，现将三角尺固定，令三角尺绕顶点A顺时针旋转一周．若要使，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．分两种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【详解】如图，当时，， ， ， ； 如图，当时，， ， ； 综上所述，要使，则的度数为或， 故答案为：或 3.（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 【答案】(1)①；② (2) (3)4或16 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算，线段的和与差． （1）①利用平角的定义，进行计算即可；②根据角平分线平分角，求出的度数，再根据平角的定义，求解即可； （2）根据，结合，得到，求解即可； （3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的和差关系，线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图2可知，， ，， ， ， ； （3）点A表示的数是，， 点B表示的数为10， ①当线段在线段上时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点C表示的数为4； ②当线段在线段右侧时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点表示的数为16； ③当线段在线段左侧时，此种情况不成立． 综上，点表示的数为4或16． 【题型7 角平分线的有关计算】 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【知识点】求一个角的补角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东惠州·期末）（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数； （2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数； （3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．    【答案】（1）；（2），（3） 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． （1）根据角平分线的定义可得：，，相加可得的度数； （2）根据角平分线的定义可得：，，将分成三个角相加，并等量代换可得结论； （3）同理可得结论． 【详解】解：（1）平分， ， 同理， ， ； （2）平分， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ， （3）平分， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ． 2.（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的运算，利用角的和差得出是解题关键． （1）根据角平分线的性质，数形结合可得答案； （2）根据角平分线的性质，角的和差，数形结合可得答案； （3）根据角的和差，可得，根据角平分线的性质，可得，根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， ，， ； （3）解：平分，， ， 由，得， ，， 平分， ， 由角的和差可得． 3.（23-24七年级上·广西贵港·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 【题型8 角n等分线的有关计算】 例题：（23-24七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 一、单选题 1．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握角的和差关系及整体和部分的关系是解决本题的关键． 利用角的平分线的定义及角的和差关系可得结论． 【详解】解：∵是角内的一条射线，不是角的平分线，所以选项A错误，不符合题意； ∵， 由于部分小于整体，所以选项B、C错误，不符合题意； 由于整体大于部分，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，理解钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为解题的关键．利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分，分针与时针的夹角是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，射线的方向是（    ）． A．北偏西 B．东北方向 C．北偏东 D．北偏东5 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向角，连接方向角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义进行判断即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，的方向为北偏东， 故选：D． 4．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、角的表示方法、线段中点的有关计算 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 二、填空题 7．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式： 【答案】 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期末）比较大小： （用，或连结） 【答案】 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】此题考查了角度的换算和比较大小，熟练掌握角度的换算是解题得关键．求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 【答案】/55度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查角的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据两个直角三角形的直角顶点重合，，从而可推出，，结合两个式子即可求出的度数． 【详解】解：∵两个直角三角形的直角顶点重合，且， ∴，， ∴, 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，O，A，B，C，D都为格点（方格纸中小正方形的顶点），的度数为，的度数为，则的度数可以表示为 ．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的和差关系， 先根据格点图得出，再根据代入计算即可． 【详解】解：根据格点图可知：， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）已知，以为顶点作射线，．若，，且，在直线同侧，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，分情况讨论：当在直线上方，在直线下方，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：在直线同侧， 当在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， ． 当在直线下方时，如图， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差倍分关系，角的和差，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减时，度与度，分与分对应相减，应先算最后一位，后面的位上的数不够减时向前一位借数； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O在的内部作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． （1）根据，即可求解； （2）利用求得，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：如图，当在内部时， ， ， ， 15．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线． (1)当时， ； (2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （2）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案； （3）根据平角，角平分线的意义，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 分别是的平分线， ， ； 故答案为： （2）解：，分别是的平分线， ，， ； （3）解：，， 分别是的平分线， ， ， ． 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 17．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，已知内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，，射线OD始终在射线OE的上方．若，． 【问题探究】 （1）①则的度数为________； ②如图1，当OE平分时，OC是否平分，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若，求的度数． 【答案】（1）①；②OC平分，理由见解析（2）的度数为或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题． （1）①利用角的和差即可求得、的度数，②根据角平分线的定义，求得的度数，从而得到的度数，即可求解； （2）分两种情况，在的上方或在的下方，分别求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴，， 故答案为； ②OC平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴OC平分， （2）解：由（1）可得：，， 设 当在的上方时，， ∴， ∴， 由可得， 解得，即； 当在的下方时，则， ∴， ∴ 由可得 解得，即； 综上，的度数为或． 18．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 19．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点07 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【题型1 角的概念和表示】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．由两条具有公共端点的射线组成的图形就是角 B．角是由始边绕着端点旋转形成的图形 C．角是由两条直线相交形成的图形 D．角的两边是射线 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【题型2 角的单位与角度制】 例题：（23-24六年级下·山东济南·开学考试）用度、分、秒表示 ′ ″ 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津河西·期末） ． 2.（23-24七年级下·山东淄博·期中） 度 分 秒． 3.（23-24七年级上·江西吉安·期末） ； ° 【题型3 钟面角】 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南永州·期末）若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 2.（23-24七年级下·山东日照·开学考试）2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 3.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【题型4 与方位角有关的计算题】 例题：（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·广西钦州·期中）如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 2.（23-24七年级下·北京·期中）如图，一艘船从A点出发先沿北偏东方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则 ． 3.（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是________； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【题型5 角的比较】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 3.（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【题型6 三角板中角度计算问题】 例题：（23-24七年级上·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    2.（23-24七年级上·河南洛阳·期末）将一副直角三角尺按如图1方式叠放，．如图2，现将三角尺固定，令三角尺绕顶点A顺时针旋转一周．若要使，则的度数为 ． 3.（24-25八年级上·河北邢台·开学考试）直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 【题型7 角平分线的有关计算】 例题：（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【变式训练】 1.（23-24七年级上·广东惠州·期末）（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数； （2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数； （3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．    2.（23-24七年级上·四川达州·期末）如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 3.（23-24七年级上·广西贵港·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【题型8 角n等分线的有关计算】 例题：（23-24七年级上·山西大同·期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 一、单选题 1．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，射线的方向是（    ）． A．北偏西 B．东北方向 C．北偏东 D．北偏东5 4．（2025·河北唐山·二模）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式： 8．（24-25七年级上·浙江金华·期末）比较大小： （用，或连结） 9．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 10．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，O，A，B，C，D都为格点（方格纸中小正方形的顶点），的度数为，的度数为，则的度数可以表示为 ．（用含、的式子表示） 11．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）已知，以为顶点作射线，．若，，且，在直线同侧，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：过一个角的顶点在角的内部作一条射线，把这个角分成两个小角，且这两个小角的度数满足倍关系，则称这条射线为这个角的“倍分线”．已知射线为的“倍分线”，若，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O在的内部作射线，若，求的度数． 15．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线． (1)当时， ； (2)当时，求的度数； (3)若设度时，求的度数． 16．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 17．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 如图，已知内部有三条互不重合的射线OD，OC，OE，且在同一个平面内，，射线OD始终在射线OE的上方．若，． 【问题探究】 （1）①则的度数为________； ②如图1，当OE平分时，OC是否平分，请说明理由； 【问题拓展】 （2）若，求的度数． 18．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 19．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 20．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$