精品解析：吉林省松原市前郭县2025-2026学年上学期八年级数学期末数学质量检测

前郭县2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 作为少数民族图案的一支，蒙古族图案成为一种鉴别民族属性的视觉符号，无处不散发着浓郁的民族气息，让我们感受到美的存在．下列蒙古族图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，故此选项不合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，故此选项不合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除、幂的乘方运算法则逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算正确； 故选：． 3. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，，P为x轴上一点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用及轴对称最小距离和问题，根据轴对称的性质求出点的对称点点，连接交x轴于一点即为最小距离点，求出解析式令即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 点关于x轴的对称点为：， 连接交x轴于一点即为最小距离点， 设的解析式为：， 将点，代入得， ，解得：， ∴， 当时， ， ， ∴点P的坐标是， 故选：B． 5. 如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．已知，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】过作于点，已知，则，根据三角函数即可求解． 【详解】解：如图：过作于点， 已知，则， 在中，； 故选：B． 【点睛】本题考查了含的直角三角形性质的运用，构造直角三角形是解题的关键． 6. 如图，一块直径为的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a，b的两个圆纸后剩下的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由大圆面积减去两个小圆的面积表示出剩下的钢板面积即可． 此题考查了完全平方公式以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为： 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的应用．将式子因式分解后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：18． 8. 小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 【答案】或或或或（写一个即可） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是的等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或（写一个即可）． 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可 【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段 ∵的周长为21， 故答案：12． 10. 湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方，单项式的乘除法计算即可解答 【详解】， 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘方，单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键 11. 定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 已知． （1）求的值； （2）计算的结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法及其逆运算，幂的乘方运算，积的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法运算； （1） 由条件可得，，再代入计算即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可． 小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 13. 先化简，再求值：，其中 【答案】，12 【解析】 【分析】利用完全平方公式、平方差公式、去括号法则展开，合并同类项后，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解： 当时， 原式． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 14. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图①中画出一个以为一边，面积为15的钝角三角形； （2）在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据钝角三角形的面积为，由，可先构造高为5 的钝角三角形，即可． （2）直接取格点，使或即可． 【小问1详解】 解：如图1（答案不唯一） 或 【小问2详解】 如图2（答案不唯一） 15. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： （1）因式分解：； （2）若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，包含提取公因式，完全平方公式与平方差公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握公式并会使用不同方法． （1）先分成两组，再使用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）先根据提取公因式和公式法化简，再根据三角形三边的关系得到，即，由此可得三角形形状． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵的三边，，满足， ∴ ， ∴， ∵，，为的三边， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 16. 如图，在中，是边上的高线． （1）若是边上的中线，．求的长． （2）若是的平分线，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形中线的定义，三角形的角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式得出，进而根据三角形的中线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解： 是边上的高，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． 【小问2详解】 解：∵ ． 又为角平分线， ． 又， ， ∴． 17. 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误． （2）任务二：请你写出正确的计算过程． （3）任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）二 （2）见解析 （3）；6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题； （3）注意分式无意义的条件，将代入化简后的式子求解，即可解题． 【小问1详解】 解：……第一步， ……第二步， 小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二． 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：且， 解得且， 当时， 上式． 18. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/千瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1） （2）①燃油车每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 19. 如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． （2）若，满足，求该广场音乐喷泉面积． （3）在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 【答案】（1）音乐喷泉池的占地面积为 （2） （3）市民活动区域铺设地砖的费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． 【小问2详解】 解：， ∴ 解得： ， ∴ 【小问3详解】 解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 当时， 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 20. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点， 在和中， ， 与为积等三角形． 21. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）40；（3）15 【解析】 【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1，用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2，据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可； （3）先计算S3＝（a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算，属于常见题型，熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键． 22. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，大； （2）,理由见详解 （3）存在，或时 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【小问1详解】 解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县2025—2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 作为少数民族图案的一支，蒙古族图案成为一种鉴别民族属性的视觉符号，无处不散发着浓郁的民族气息，让我们感受到美的存在．下列蒙古族图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点，，P为x轴上一点，当最小时，点P的坐标是（ ） A B. C. D. 5. 如图所示的是某商场一楼和二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．已知，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 6. 如图，一块直径为的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a，b的两个圆纸后剩下的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则______． 8. 小明同学复习几种三角形关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 9. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为______． 10. 湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WFI的密码被设计成如图数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是______． 11. 定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则_______． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 已知． （1）求的值； （2）计算的结果． 13. 先化简，再求值：，其中 14. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． （1）在图①中画出一个以为一边，面积为15的钝角三角形； （2）在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 15. 在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： （1）因式分解：； （2）若的三边，，满足，则是什么三角形？ 16. 如图，在中，是边上的高线． （1）若是边上的中线，．求的长． （2）若是的平分线，，求的大小． 17. 下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）任务一：小聪同学的求解过程从第______步开始出现错误． （2）任务二：请你写出正确的计算过程． （3）任务三：再从1，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 18. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/千瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元． （1）用含a代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 19. 如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． （2）若，满足，求该广场音乐喷泉的面积． （3）在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用 20 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 21. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 22. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $