压轴专题04 三角函数与解三角形讲义-（会一题通一类系列）【突破压轴冲刺名校】备战2026年高考数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数与解三角形压轴题，整合三角恒等变换、正余弦定理、三角形隐含条件等核心考点，按“公式策略-题型方法-解题流程”逻辑架构知识体系。通过知识总结梳理公式工具，典例精讲突破边角互化等综合题型，模拟训练强化应用能力，帮助学生构建从条件翻译到模型求解的完整解题链。 资料创新采用“几何审视-代数翻译-综合求解”思维路径，如在解三角形最值问题时，引导学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维进行边角互化和函数建模。设置典例精讲与分层练习，配合解题流程梳理，培养学生逻辑推理和创新意识，助力教师精准把控复习节奏，提升学生压轴题应考能力。

压轴专题04 三角函数与解三角形压轴题 压轴分析 高考数学中，三角函数与解三角形压轴题往往位于中后段，其难点不仅在于公式的熟练运用，更在于对几何条件、代数变形与函数性质的综合处理能力。真正的压轴难点在于将三角恒等变换、函数图像与性质、平面几何性质以及解三角形的多种工具（正余弦定理、面积公式等）融合贯通，考查学生在复杂条件与多变量情境下进行数学建模与逻辑推理的能力。命题人常通过给出含有多角关系、边角混合条件、三角形形状判断或存在性问题、以及涉及最值或范围的综合性情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破纯代数或纯几何的单一视角，实现“边角互化”、“形数结合”，并灵活选取变换、化简、构造、建系的策略。解题的关键在于建立“条件翻译—公式选择—模型求解”链：首先准确理解并翻译题目中的几何与代数条件，将其转化为关于角或边的等式与不等式；然后根据目标选择三角恒等变换（如和差化积、辅助角公式）或解三角形工具（如正弦定理、余弦定理）；最后结合三角形内角和为π、函数有界性、基本不等式等建立可解的数学模型。掌握“几何审视（识别三角形特有条件）→ 代数翻译（建立边角方程）→ 综合求解（结合函数、不等式或解析方法）”的思想路径，方能从复杂的边角关系与约束条件中，构建出严谨、清晰且计算可行的解题方案。 知识总结 1. 三角恒等变换核心公式与策略 变换目标 首选公式 关键点与常见变式 化简单角三角函数式 同角关系： 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 注意齐次式的处理，如 处理两角和差 正向展开合并，或逆向构造特殊角（如 ） 处理 型 辅助角公式： 其中 关键：确定 角所在象限（由 符号决定），影响单调区间、对称轴等性质 降幂或升幂 二倍角公式： , 将高次幂化为一次，便于积分或求最值 和差化积与积化和差 在解三角形中处理边角混合条件时常用，可简化方程 2. 解三角形核心工具与选择策略 已知条件 首选定理/方法 公式与注意事项 两角及一边 (AAS, ASA) 正弦定理 直接求其余边，再结合 求角 两边及夹角 (SAS) 余弦定理求第三边 求边后再用正弦定理求角（注意可能有两解） 三边 (SSS) 余弦定理求角 先求最大边所对角，判断三角形形状 两边及一对角 (SSA) 正弦定理求另一角 特别注意：需判断解的情况（无解、一解、两解） 涉及面积或高 面积公式 + 正/余弦定理 其中 (海伦公式) 3. 三角形中的隐含条件与范围限制 条件类型 数学表达 应用方向 内角和定理 消元：如求 ；或化三元为二元 锐角三角形 ，且 求取值范围时，利用角限制缩小范围 钝角三角形 存在一角 使 利用余弦定理判断，常结合不等式 边的不等关系 两边之和大于第三边（如 ） 求参数范围时，往往是最易忽略的隐藏条件 角的范围 在 中， 用正弦定理求角时， 可能对应锐角、钝角两解，需结合边长判断取舍 4. 常见压轴题型与破题关键 题型特征 核心策略 关键步骤与注意点 “边角混合”条件下的化简或证明 统一化为边或角： 1. 用正弦定理化边为角（ ） 2. 用余弦定理化角为边（ ） 观察式子结构：若含 及 项，考虑余弦定理；若含 比例，考虑正弦定理 求边长、角度或周长的取值范围（最值） 函数思想：选定一个变量（如角 ），利用正/余弦定理将目标表示为 的函数，再利用三角函数有界性求解 1. 确定自变量 的精确范围（利用三角形类型） 2. 化简目标函数，常化为 型 3. 注意检查端点能否取到 判断三角形形状 将条件完全化为边的关系或完全化为角的关系，再判断等式特征 纯边关系：用余弦定理判断等边、等腰、直角、钝角 纯角关系：用三角恒等变换判断角的关系 与平面几何、向量结合的综合题 先利用几何性质（如中线、角平分线、垂直）转化为三角形内部边角关系，再用解三角形工具求解 1. 画出精确草图，标注已知 2. 掌握常见几何结论（如中线长公式、角平分线定理） 3. 向量点积常可转化为余弦定理 5. 解题流程梳理 1. 画图标注：无论题目是否附图，自己画图，标出所有已知边、角、特殊线。 2. 条件翻译：将文字描述（如“最大边”、“最小角”）和几何关系转化为等式或不等式。 3. 选择主线： 求值或证明：判断用“纯边化”还是“纯角化”更简洁。 求范围：选定自变量（常选一个角），建立目标函数，务必先确定自变量范围。 判断形状：统一为边或角后，因式分解观察。 4. 执行计算：步步为营，活用和差化积、辅助角等工具化简。 5. 检验与作答：检查结果是否满足三角形基本定理（如内角和、边的关系），如果是范围问题，检查端点情况。 典例精讲 【典例1】 （2025·浙江·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．方程的解集是 B．当时，恒有 C．函数的值域是 D．函数的零点个数不可能为3 【答案】BCD 【分析】对于A，令代入计算可判断；对于B，分，，三种情况讨论即可判断； 对于C，求出函数的周期是，设， 当时，可得，即可得到范围； 同理当时，，即可求解函数的范围； 对于D，化简可得的图象关于轴对称，根据对称性即可求解. 【详解】因为是的解，则A错误； 当时，，则，从而，满足，当时，因为，所以， 当时，因为，所以，也有，B正确； 函数的周期是，不妨设， 当时，，因为， 则，从而； 当时，，因为，则，从而， 故值域是，C正确； 对于，因为， 所以的图象关于轴对称，使得在上的零点个数为偶数， 又显然是的最小值，而且当且仅当即， 这表明零点个数只能为1或偶数，D正确. 故选：BCD. 会一题通一类 1．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】由三角函数周期公式依次分析充分性和必要性即可判断A；利用诱导公式、平方和公式和二次函数性质直接计算即可求解判断B；由变量范围和正弦函数单调性列不等式计算即可求解判断C；由函数单调性结合正弦函数的单调性和周期列方程和不等式即可求出范围判断D. 【详解】时，，函数最小正周期为，充分性成立， 当函数最小正周期为时，，必要性不成立， 所以是函数最小正周期为的充分不必要条件，A错误； ， 所以的最大值是，B正确； 若，则时，， 因为在单调递增，所以， 解得，，又，所以，， 解得，， 所以，则，故的取值范围是，C正确； 若， 因为，在单调递增，在单调递减， 所以， 且， 所以，即的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有且仅有5个零点 【答案】BCD 【分析】对A，由周期性的定义判断；对B，分段讨论函数值域；对C，验证；对D，分段求解方程求零点. 【详解】对于A：因为， 所以的最小正周期不是，A错误； 对于B：当，即时，， 因为，所以， 则当时，取得最大值；当时，取得最小值， 所以此时的值域为； 当，即时，， 因为，所以， 当时，，当时，取得最大值， 所以此时的值域为； 综上，函数的值域为，B正确； 对于C：因为， ，所以， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确； 对于D：当时，由，解得或， 当时，由，解得， 又，所以，所以函数有且仅有个零点，D正确； 故选：BCD. 【典例2】 （25-26高三上·山东德州·月考）（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（   ）    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C．若在上有3个极值点，则m取值范围是 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断. 【详解】由图知， ，所以，所以， ， 因为，所以， 所以， 对于：，故错误； 对于： ，故正确； 对于：，，    根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点， 则，解得，故正确； 对于：，， ，    由图可知，在上只有一个实数根， 则，故错误. 故选：. 会一题通一类 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.     D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 【典例3】 （2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 会一题通一类 1．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 2．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】根据已知得、，进而有，，则，从大到小代入解析式研究函数在上的单调性，即可得. 【详解】由题设，，可得， 且，可得， 所以，，则，， 又，所以， 当时，，，，则， 所以，此时，，显然不单调； 当时，，，，则， 所以，此时，，满足题设； 所以的最大值为14. 故选：C 3．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C 【典例4】 （2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 会一题通一类 1．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的一条对称轴为，一个对称中心为，结合已知区间的单调性得到，进而求得、，根据图象变换得，由单调性列不等式求参数范围即可得. 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（   ） A． B．函数的最大值为 C．在区间内只有一个极值点 D．曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为 【答案】ACD 【分析】A选项，利用三角恒等变换和平移变换得到；B选项，利用导数和辅助角公式得到的最大值为；C选项，求出，由于在上只有一个极大值点，C正确；D选项，直线，，围成的矩形面积为，由对称性可知D正确. 【详解】A选项，， 图象向右平移个单位长度，得到， 结合，可得，A正确； B选项，， 其中，故的最大值为，B错误； C选项，，， 由于在上只有一个极大值点， 故在内只有一个极值点，C正确； D选项，的最小正周期为，最大值为2，最小值为-2， 而，的距离为， 直线，，围成的矩形面积为， 又在围成的矩形内部（或边界），且将此矩形平均分为全等的两部分， 故与直线，，（）所围成的封闭图形的面积为，D正确. 故选：ACD 【典例5】 （2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果. 【详解】设 ，，则， 已知，即； 已知，即， 由得：，即 设，则， 又，解得， 因此， 所求， 综上，. 故选：D 会一题通一类 1．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用三角恒等变换化简得到，两边同除得到，因为是锐角，所以，所以. 【详解】由题可得， 即 即， 两边同除得到，所以 因为是锐角，所以，所以； 故选B 2．（2025·山东青岛·三模）若，，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】对已知条件进行化简，然后构造函数，利用函数的奇偶性和单调性来找出与的关系，最后根据三角函数的性质求出的值. 【详解】根据诱导公式，则可化为 ①. 对，可得，即 ②. 设，其定义域为，关于原点对称. 且，所以是奇函数. 对求导，， 若，，，所以； 若，，则， 所以在上单调递增. 由①式可得，由②式可得，所以. 因为是奇函数，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 将代入，可得. 的值为. 故选：A. 3．（2025·河北沧州·一模）已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 【典例6】 （2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件等式利用三角恒等变换可得，再通过构造函数利用导数求得函数单调性，结合自变量取值范围即可求得结果. 【详解】由可得， 即， 因此 即可得， 令，则， 令，则, 由可得， 因此可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得当时，取得极小值，也是最小值， 即， 因此的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角恒等变换以及二倍角公式得出关于的表达式，再通过构造函数并利用导数得出其单调性，即可求得最小值. 会一题通一类 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意分析出，，且不同时取最大值1，设，将此式平方与已知条件进行平方后相加，可得，再进行验证即可. 【详解】因为，的最大值均为1， 且，① 所以，，且不同时取最大值1， 设，② 由①2+②2, 得， 即， 所以， 当时，等号成立; 当时，， 所以，， 所以， 即， 由， 可得， 平方得，， 所以， 解得， 所以， 综上，当，时，取最小值，为. 故答案为： 2．（2025·河南·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将目标式化为，令，得到线性关系式为，结合辅助角、二倍角余弦公式及三角函数的性质有最大值为，由及二次函数的性质求最大值，注意取值条件，即可得答案. 【详解】由 ①， 令，，则①式， 所以的最大值为 ，， 所以，令， 当，即时，， 此时①式，即， 综上，，时目标式取最大值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将目标式化为得到线性关系式为关键. 3．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为成等差数列，即， 则，， 所以，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：关键在于利用余弦定理得到，进而利用两角差的正切公式结合基本不等式求解. 【典例7】 （2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 会一题通一类 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题结合余弦定理可得，然后由三角形面积公式结合三角函数恒等变换可得，然后通过图形可得范围，最后由与关系可得答案. 【详解】 .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式： ， . 2．（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理结合已知条件得出的关系①，再利用三角形面积公式得出的关系②，联立①②求解． 【详解】，，， ，化简整理得①， ，， ②， 联立①②得，， 令，则，当时，面积最大，此时， ． 故选：B． 3．（2025·浙江台州·一模）在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用直角三角形求得，令，记，利用导数法求得最大时的值. 【详解】设，因为，所以，， 所以， 所以， 令，记， 则，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，即取到最大值，此时. 故选：C 【典例8】 （2025·河南·三模）定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得，分析在区间的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解. 【详解】由题中所给定义可知， ， 当时，， 所以，所以， 当时，，， 所以，解得； 当时，，，， 所以，解得， 综上，a的取值范围是． 故选：C. 会一题通一类 1．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 【答案】D 【分析】根据给定的定义，举例说明判断ABC；利用轴对称性推理判断D. 【详解】对于AB，当时，，，AB错误； 对于C，，C错误； 对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称， 则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确. 故选：D 热点预测 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由图象上相邻的两个零点之间的距离为，得到的表达式，进而根据的范围，求出的范围，由分析出，从而根据正弦的对称轴方程列出等式，化简得到，再根据的限制条件即可求出的值. 【详解】依题意， ，即，. 又，， ，将代入， 可得，即， ，或4， 又，. 故选：C 2．（2025·云南昆明·二模）已知函数，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调函数 B．若，则的图象关于对称 C．若存在最大值，则 D．有个零点 【答案】B 【分析】A选项，时，，求导，得到在上单调递减，A说法正确；B选项，计算出，B错误；C选项，时，取得最大值，故，解得，C说法正确；D选项，令，即，解得或，分为偶数和为奇数两种情况，得到两种情况下，均有个零点. 【详解】A选项，时，，， ，当时，，故恒成立， 故在上单调递减，为单调函数，A说法正确； B选项，时，， ， 则， 所以的图象关于中心对称，B说法错误； C选项，当，即时，取得最大值， 要想在取得最大值，，解得，C说法正确； D选项，令，即，， 所以或， 解得或， 又， 当为偶数时， 中，令，满足要求， 中，令，满足要求， 故共有个零点， 当为奇数时， 中，令，满足要求， 中，令，满足要求， 故共有个零点，D说法正确. 故选：B. 3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求得，根据函数在区间上有且仅有一个零点可求出的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】当时，且，， 由可得，所以，， 解得，， 若无解，则或，解得或， 由于且存在，故或，即或，则有或， 故的最大值为，此时， 由可得， 当时，函数的一条对称轴方程为， 故选：B. 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系式，结合已知条件求得，根据二倍角的正切公式，结合的取值范围，求得. 【详解】由，得，所以. ，所以，所以. 所以，，所以. 所以，所以. 所以，化简得：，解得：，或. 因为，所以，所以 故选：B. 5．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出相邻两条对称轴方程，进而求出值. 【详解】观察图象得，正的高为，则，又，因此， 线段中垂线方程分别为，即是函数图象相邻两条对称轴， 则函数的最小正周期，所以. 故选：C 6．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】利用两角和差公式以及、化简AB选项；令化简，使其为关于的函数，求函数值域即可判断C选项；利用一元二次方程有根，则可根据求解判断D选项. 【详解】由题意可得， ， ， 则，故AB错误； 若，则 因，则，则，得， 则，故C错误； ，即， 则方程在上存在根， 则，即， 等号成立时， 因，则，则， 此时变为， 得，则， 故当时，取最大值，故D正确. 故选：D 7．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）已知实数满足，则下列命题正确的是（   ） A．若时，则 B．若，，则是的减函数 C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数 【答案】BC 【分析】对于A，根据的大小得到，即可得到的大小；对于B，利用已知条件得到关于的函数解析式，结合复合函数同增异减的原则判断即可；对于C，根据得到关于的函数解析式，结合余弦函数的周期判断即可；对于D，利用这一特例说明一个对应两个的值，即可判断. 【详解】对于A，当时，， 可得或，故A错误； 对于B，若，，则由可得， 根据在上为减函数，在上是增函数， 可知在上为减函数，故B正确； 对于C，因为，，， 所以，其中， 所以，即， 结合余弦函数的周期为，可知是的周期函数，故C正确； 对于D，若，，， 则当时，，可得或，一个对应两个的值， 所以不是关于的函数，故D错误. 故选：BC. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知函数，，且，则（   ） A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递减 C．曲线关于对称 D．函数与函数的最大值相等 【答案】ABD 【分析】由判断A；由在上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利用可判断C；求得函数与函数的最大值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数的一个周期为，故A正确； 对于B，，当时，， 又因为在上单调递减， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，故B正确； 对于C，， 所以曲线关于对称，故C错误； 对于D，，所以， 当时，，所以函数的最大值为， 又，又因为， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，所以函数与函数的最大值相等，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·浙江宁波·一模）已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件“对任意的，恒成立”得出函数周期，从而得出值，利用“时，取到最大值”得出的表达式，从而得出的表达式，最后结合余弦函数的周期性得出的所有可能值． 【详解】，对任意的恒成立， 函数周期满足， ， ， 当时，取到最大值，， ，即， ， ，则的可能值为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，值循环出现． 的所有可能取值集合为：． 故选：C． 10．（2025·安徽·一模）（多选）已知正实数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式即可求解AB，根据题中所给等式，结合余弦定理的形式可构造三角形，进而根据图形关系求解CD. 【详解】对于A，因为为正实数，， 结合基本不等式可得，解得，当且仅当时等号成立， 当时，代入得，此时这个等式不成立， 所以，所以，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，解得， 当且仅当，即时等号成立， 当时，代入，可得， 再把代入，得，两方程的解不一致， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 构造成余弦定理得， 由，也构造成余弦定理得， 由，构造成勾股定理得1， 令，如图: 则， 可知，则， 则，即，进而 所以，故C正确； ，又由， 而， 所以有，故D正确. 故选：BCD. 11．（2025·河北·模拟预测）（多选）在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为等腰三角形，则 C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用辅助角化简得到，求解得到，A选项错误；为等腰三角形时， ，解得，故B选项正确；当时，，结合余弦定理化简得到，故C选项正确； 由三角恒等变换得到，当时， ，即，故D选项错误． 【详解】对于A，，即， 因为，故，故，故，A选项错误； 对于A，由对A选项的分析可知，当为等腰三角形时，为等边三角形，故，则，解得，故B选项正确； 对于C，当时，， 结合余弦定理 得，即，即，故C选项正确； 对于D，由，又由对C选项分析可知，当时，，代入，解得， 故，代入，得， 故，即，故D选项错误． 故选：BC． 12．（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 【答案】BCD 【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可. 【详解】选项A：由，得， 两式相加得，整理得， 即，解得或， 因为锐角中，，所以，，故A错误； 选项B：由选项A得，，则， 所以，即， 整理得，即，因为，所以， 所以， 则，故B项正确； 选项C：由锐角的面积为，得，得， 设的外接圆半径为，则， 又，， 则，解得， 所以，，， 所以，故C项正确； 选项D：由选项C得，的周长为，故D正确. 故选：BCD. 模拟训练 一、单选题 13．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 14．（2025·四川广安·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式和辅助角公式化简函数，由“完备函数”的定义得到关系式，结合三角函数的有界性，得到，从而得到在上至少存在两个最大值点，即可得中至少存在两个整数，然后求得的取值范围. 【详解】由 ， 即是上的“完备函数”，所以存在，，使得成立； 即存在，，使得成立； 又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点， 令，则，即， 则至少存在两个整数， ∴， 当，即一定满足题意. 又∵，即， ∴，即 ∴当取1，2时，，则， ∴， 综上可知的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛，本题定义了“完备函数”，所以先化简函数，然后得到其性质，然后结合三角函数的有界性得到函数在区间内最大值点的个数，然后再转化为整数解的个数问题. 15．（24-25高一下·江苏南通·期中）密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在图2中连接，在和中，分别利用余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，两式平方相加，由两角差的余弦公式，即可求出的余弦值. 【详解】如图，连接， 因为， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 即，① 因为， ， 所以，② 则①式和②式分别平方并相加得： ， 则，所以， 即的余弦值为. 故选：A. 16．（2025·河北·模拟预测）已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用来表示和的值，化简可求得的值. 【详解】，， ， 设，则， 原方程组可表示为，即， 由①得，由②得， 两式联立得，， 将的值代入中得，， 则. 故选：D. 17．（2025·浙江·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 18．（2025·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，令，得，故只需求出的取值范围即可得解. 【详解】因为，所以，， 即，设， 因为，所以，解得，则， 从而，由对勾函数性质可知， 的取值范围是， 从而， 故所求范围为. 故选：C. 19．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据的最小值为可求周期，再根据对称轴可求，最后根据正弦函数的性质可求在给定范围上零点的个数. 【详解】令，则，解得， 而，故， 此时， 即曲线在对称中心处的切线的斜率的绝对值最大①， 考虑正弦函数，，若时， 则由①可得当且仅当时，最小且最小值为即为周期的， 而当时，的最小值为， 类比可得的周期为，故， 故，而由可得为对称轴， 故，而，故，故， 当时，， 因在的零点为， 故在区间内的零点个数为4个， 故选：A. 20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得对称轴，再由零点联立方程得出，再由函数单调性确定关于周期的不等式，求出，联立可得的范围，据此分类讨论确定检验，即可得出 【详解】由得， 即的图象关于直线对称，且， 故，则， 即， 由函数在上单调， 得，即， 所以，，解得，而，故，1，2. 当时，，则，，结合，得， 此时，当时， 由于在上单调递增，故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，，结合，得， 此时，当时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，满足题意； 当时，，，，结合，得， 此时，当时， 由于在上不单调，故在上不单调，不满足题意. 综上，或1，则的最大值与最小值之和为. 故选：B 21．（25-26高三上·四川南充·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为平分，所以， 又，所以， 即. 故选：B. 22．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的体积为3，，，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】作出符合题意的图形，建立空间直角坐标系，结合题意得到，再利用勾股定理求解即可. 【详解】如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 设，因为，所以，解得， 因为，，所以， 设且，，则到面的距离为， 因为三棱锥的体积为3，所以，解得， 由两点间距离公式得， 可得，得到， 而，则，化简得，解得， 由勾股定理得，故D正确. 故选：D 23．（2025·浙江·模拟预测）方程的所有正数解之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再结合余弦函数的有界性及取最值的条件求出所有正数解即可. 【详解】由，得， 整理得，则或，而， 由，得，则， 而，因此，此时； 由，得，则， 当时，为正奇数，而是正偶数，无解， 所以原方程所有正数解为，它们的和为. 故选：B 24．（2025·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以， 所以． 由勾股定理可得， 由余弦定理可得． 故选：D 25．（2025·广东肇庆·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角的正余弦公式及差角的正弦公式计算得解. 【详解】由，得，令，则， 即，于是，，， 所以. 故选：D 26．（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果. 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 27．（2025·新疆·二模）已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解. 【详解】因为，所以， 所以当时，解得即为在的一条对称轴, 当时，解得或， 即或为在与轴的两个交点， 又因为是方程在的解， 所以由图像的对称性可知，， 且，所以， 所以. 又因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由图像的对称性得到， 关键二：利用，把转化成. 28．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，可得与周期相同，即，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为函数恒成立，所以与同号或为， 则与周期相同，即，可得， 则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：B 二、多选题 29．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案. 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC 30．（2025·四川绵阳·模拟预测）在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．若，则 D．的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据证明，A选项，结合勾股定理可求得等式右边是，从而得出判断；B选项，由，则为锐角，故对使用基本不等式进行处理即可求解；C选项，选项条件结合勾股定理，可得三边关系，从而得出三个正弦值进而求解；D选项，利用基本不等式求解. 【详解】先证明. 由题意，，得， 即，等式左右使用和差化积，积化和差公式， 得到， 由诱导公式可得，， 若，则，上式可转化成， 令，则可知矛盾，从而. 对于A，由于，根据勾股定理得，此时， 而右边为， 因左边右边，故A错误； 对于B，在中，由，则为锐角，. 由基本不等式得：， 所以，整理得：， 当且仅当，即，也即或时等号成立， 所以的最小值为1，B正确； 对于C，由，又，所以， 即，整理得：.， 代入得.. 所以，C正确； 对于D，， 由，由基本不等式，，即， 解得（负值舍去）， 又， 则， 当取得等号，D选项正确. 故选：BCD. 31．（2025·湖南·一模）在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对A，由，利用三角恒等变换化简可得，结合分析得解；对B，由，可得，结合角的范围求解；对C，由，得，结合求解判断；对D，由题可得必是锐角三角形，问题转化即证，即证. 【详解】对于A， ， 即， 所以 所以， 即得，即， 因为，所以， 故，则， 所以， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由，则，所以， 由于，故，故B正确； 对于C，由，则， 所以， 其中， 又， 故，故C正确； 对于D，，所以必是锐角三角形， 即证， 又，即证，即，成立，故D正确. 故选：BCD. 32．（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 【答案】AD 【分析】根据边角互化，结合面积公式即可求解A、B，根据正弦的和差角公式以及弦切互化可得，即可求解C，根据余弦定理，结合辅助角公式以及三角函数的性质可求解，即可利用不等式求解D. 【详解】由可得，, 故,即， 对于A，，A正确， 对于B，由于，故，其中为边上的高，B错误， 对于C，由可得， 即，故， 故，当时，，故不是的最小值，故C错误， 对于D， ，， 故 ，其中锐角满足， 因此的最大值为，即 令则，故，因此最大值为，D正确， 故选：AD 33．（2025·福建泉州·模拟预测）在斜中，若，则（   ） A． B．的最大值为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角恒等变换判断得出. 【详解】对于A，由余弦定理得 ，再由正弦定理得 即，整理得：，即，故A错误； 对于B，因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，又因为，所以，所以的最大值为，故B正确； 对于C，由A可知，即， 又因为 ， 即， 同理可得， 所以， 即， 所以，故C正确； 对于D，因为， 又因为，所以， ，所以，故D正确. 故选：BCD. 34．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将切化弦，整理得到，从而得到或，当时计算出角，代入已知，得到，产生矛盾 ，从而得到；由，计算出，利用求出，由和得到，代入整理后得到，将此式子放缩后得到，即，整理后得到，从而得到的范围；由和得到，由和得到和，从而得到；设，则，转化为且，设，利用导数法得到在内是减函数，利用二分法思想得到的零点在内，即，求出的范围，得到，由得到，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】，， ， ，， ，，或， 若，， 代入已知，得到，这是不可能的，则舍去， ，故选项A正确； ，， ，，， ，，，， ，，， ，，， ，， ，，， ， ，， ，，，， 故选项B正确； ，，， ，， ，，， ，故选项C错误； 设，，， ，，， 设， ， 在内是减函数， ，， 在内有唯一的零点， 利用二分法思想，， 的零点在内， ，，， ，， ，， ，，， ，故选项D正确. 故选：ABD. 35．（2025·浙江丽水·一模）在中，若，且，则（　　） A． B． C． D．的最大值是 【答案】BD 【分析】利用降幂公式以及三角恒等变换可得，结合已知可得，可求得判断B；求得，进而计算可判断ACD. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，故B正确； 又，则或， 当时，则，不能得出，故A错误， 若，则时，符合题意，但，所以，故C错误； 由，得， 所以，解得， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：BD. 36．（2025·河南·一模）已知在中，，则（   ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由二倍角公式及诱导公式可得，由，可得，当时取等号可判断AC；当时，，可判断BD. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当时取等号，故C正确， A不正确. 又 ， 当时，， 所以m没有最小值，故B正确， D不正确. 故选：BC. 37．（2025·广东深圳·模拟预测）已知的外接圆半径为，则（    ） A． B． C．的面积为6 D． 【答案】AD 【分析】A选项，根据正弦定理得到，由同角三角函数关系求出A正确；B选项，在基础上，由三角恒等变换得到，进而求出，得到；C选项，由正弦定理得，，又，由三角形面积公式求出C错误；D选项，利用向量数量积公式得到D正确. 【详解】A选项，，即， 由正弦定理得， 又，故，所以， 故，A正确； B选项，由A知，，因为， 所以， 即，则，， 又，故， 解得， ，故， ， 故， 故，B错误； C选项，由正弦定理得，又，，， 即，， 又， 故的面积为，C错误； D选项，，D正确. 故选：AD 38．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知曲线：，：，记变换①为：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换③为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.每一次变换后得到新的曲线，把上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线.（   ） A．②-①-④ B．①-②-④ C．④-③-① D．④-①-③ 【答案】BC 【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换即可求解. 【详解】将曲线：上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得， 再将上各点向右平移个单位长度得， 再将上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得，故B正确； 将曲线：上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得， 将上各点向右平移个单位长度得， 再将上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得，故C正确； 故选：BC. 39．（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B． C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据图象求得函数解析式，再根据正弦型函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】由题图可知，，所以，所以， 由，得， 由，解得，所以． 对于A，令，则，,故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，函数变换后的解析式为，因为，即为函数，故C正确； 对于D，因为，得，令，则， 由正弦函数图象可知，，解得，故D错误． 故选：BC 40．（2025·四川内江·一模）已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 【答案】BCD 【分析】当时，利用辅助角公式合并，可判断AB；对于C：利用立方和公式与完全平方式化简求值域即可；对于D：令，先把当作变量，利用，求出，问题转化成对任意恒成立，利用恒成立问题的解法可得答案. 【详解】当时，， 因为，所以， 所以， 所以，故A错误； 向左平移个单位长度得到， 化简得， ， ，故B正确； 当时， ， 又，得的值域为，故C正确； 令，得， 因为，，且， 所以， 存在正偶数，使得成立，当时，， 所以只需对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于， 所以， 解得：，故D正确. 故选：BCD 41．（2025·浙江金华·一模）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据与在上的图象及已知得到，结合零点存在性定理分析得，进而有，再由、在区间上单调性，得，最后构造函数并应用导数证明，即可得. 【详解】根据与在上的图象，如下图示，    显然与在上有且仅有唯一交点， 即在上有且仅有一个根，而，， 由，所以，且，A对， 又，，则 所以，即，B对，C错， 由，则，而中， 由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，只需，可得， 令且，则， 对于且，则，故在上单调递增， 所以，即，则， 所以在上单调递增，故，即， 所以，而，则，即， 所以，故，即，D对. 故选：ABD 42．（2025·广东佛山·一模）已知，，若对任意的，不等式恒成立，则（   ） A．当时，，命题成立 B．当时，，命题成立 C． D．使得命题成立的有序数对恰有3组 【答案】BCD 【分析】对于A令得，令得即可判断A，对于B利用诱导公式得，取，即可判断，对于C令即可判断，对于D由得，由即可得，即，对分类讨论即可求解. 【详解】对于A，，令得，又，故，令，同理得，故，矛盾，故A错误； 对于B，，取，此时恒成立，命题成立，故B正确； 对于C，令，则，又，所以，则，故C正确； 对于D，由得，，所以， 得，所以恒成立， 当时，此时，，所以，符合题意； 当时，只能恒成立，分两种情况： ，，此时，，即 ②，，此时，，即， 综上，使得命题成立的有序数对恰有3组，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 43．（2025·江苏淮安·模拟预测）法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规则特征：任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．某种叠加音波的函数模型为，则函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先得到故的一个周期为，考虑，求导，化简得到，解不等式，求出的单调性，得到极大值和最大值. 【详解】 ， 故的一个周期为， 考虑，， 其中 ， ， 令得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 故在处取得极大值， 且， ， ， 又，， 故的最大值为. 故答案为： 44．（2025·四川达州·一模）在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由三角形面积公式得到，进而得到，，进而得到，令，则， ，再结合函数单调性即可求解. 【详解】 由三角形面积公式可得：， 又， 可得：， 即，又，， 所以，又， 所以，所以，即， 即为直角三角形，所以， 又的面积为， 所以，又， 所以， 所以， 所以， 令，则， 则是方程的两根， 所以， 所以 所以，即，所以， 所以， 则 即 的解析式可知其在单调递增，值域为 所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴专题04 三角函数与解三角形压轴题 压轴分析 高考数学中，三角函数与解三角形压轴题往往位于中后段，其难点不仅在于公式的熟练运用，更在于对几何条件、代数变形与函数性质的综合处理能力。真正的压轴难点在于将三角恒等变换、函数图像与性质、平面几何性质以及解三角形的多种工具（正余弦定理、面积公式等）融合贯通，考查学生在复杂条件与多变量情境下进行数学建模与逻辑推理的能力。命题人常通过给出含有多角关系、边角混合条件、三角形形状判断或存在性问题、以及涉及最值或范围的综合性情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破纯代数或纯几何的单一视角，实现“边角互化”、“形数结合”，并灵活选取变换、化简、构造、建系的策略。解题的关键在于建立“条件翻译—公式选择—模型求解”链：首先准确理解并翻译题目中的几何与代数条件，将其转化为关于角或边的等式与不等式；然后根据目标选择三角恒等变换（如和差化积、辅助角公式）或解三角形工具（如正弦定理、余弦定理）；最后结合三角形内角和为π、函数有界性、基本不等式等建立可解的数学模型。掌握“几何审视（识别三角形特有条件）→ 代数翻译（建立边角方程）→ 综合求解（结合函数、不等式或解析方法）”的思想路径，方能从复杂的边角关系与约束条件中，构建出严谨、清晰且计算可行的解题方案。 知识总结 1. 三角恒等变换核心公式与策略 变换目标 首选公式 关键点与常见变式 化简单角三角函数式 同角关系： 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 注意齐次式的处理，如 处理两角和差 正向展开合并，或逆向构造特殊角（如 ） 处理 型 辅助角公式： 其中 关键：确定 角所在象限（由 符号决定），影响单调区间、对称轴等性质 降幂或升幂 二倍角公式： , 将高次幂化为一次，便于积分或求最值 和差化积与积化和差 在解三角形中处理边角混合条件时常用，可简化方程 2. 解三角形核心工具与选择策略 已知条件 首选定理/方法 公式与注意事项 两角及一边 (AAS, ASA) 正弦定理 直接求其余边，再结合 求角 两边及夹角 (SAS) 余弦定理求第三边 求边后再用正弦定理求角（注意可能有两解） 三边 (SSS) 余弦定理求角 先求最大边所对角，判断三角形形状 两边及一对角 (SSA) 正弦定理求另一角 特别注意：需判断解的情况（无解、一解、两解） 涉及面积或高 面积公式 + 正/余弦定理 其中 (海伦公式) 3. 三角形中的隐含条件与范围限制 条件类型 数学表达 应用方向 内角和定理 消元：如求 ；或化三元为二元 锐角三角形 ，且 求取值范围时，利用角限制缩小范围 钝角三角形 存在一角 使 利用余弦定理判断，常结合不等式 边的不等关系 两边之和大于第三边（如 ） 求参数范围时，往往是最易忽略的隐藏条件 角的范围 在 中， 用正弦定理求角时， 可能对应锐角、钝角两解，需结合边长判断取舍 4. 常见压轴题型与破题关键 题型特征 核心策略 关键步骤与注意点 “边角混合”条件下的化简或证明 统一化为边或角： 1. 用正弦定理化边为角（ ） 2. 用余弦定理化角为边（ ） 观察式子结构：若含 及 项，考虑余弦定理；若含 比例，考虑正弦定理 求边长、角度或周长的取值范围（最值） 函数思想：选定一个变量（如角 ），利用正/余弦定理将目标表示为 的函数，再利用三角函数有界性求解 1. 确定自变量 的精确范围（利用三角形类型） 2. 化简目标函数，常化为 型 3. 注意检查端点能否取到 判断三角形形状 将条件完全化为边的关系或完全化为角的关系，再判断等式特征 纯边关系：用余弦定理判断等边、等腰、直角、钝角 纯角关系：用三角恒等变换判断角的关系 与平面几何、向量结合的综合题 先利用几何性质（如中线、角平分线、垂直）转化为三角形内部边角关系，再用解三角形工具求解 1. 画出精确草图，标注已知 2. 掌握常见几何结论（如中线长公式、角平分线定理） 3. 向量点积常可转化为余弦定理 5. 解题流程梳理 1. 画图标注：无论题目是否附图，自己画图，标出所有已知边、角、特殊线。 2. 条件翻译：将文字描述（如“最大边”、“最小角”）和几何关系转化为等式或不等式。 3. 选择主线： 求值或证明：判断用“纯边化”还是“纯角化”更简洁。 求范围：选定自变量（常选一个角），建立目标函数，务必先确定自变量范围。 判断形状：统一为边或角后，因式分解观察。 4. 执行计算：步步为营，活用和差化积、辅助角等工具化简。 5. 检验与作答：检查结果是否满足三角形基本定理（如内角和、边的关系），如果是范围问题，检查端点情况。 典例精讲 【典例1】 （2025·浙江·一模）（多选）已知函数，则（    ） A．方程的解集是 B．当时，恒有 C．函数的值域是 D．函数的零点个数不可能为3 会一题通一类 1．（2025·四川德阳·一模）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是函数最小正周期为的充要条件； B．的最大值是； C．若在单调递增，则的取值范围是； D．若在单调递增，在单调递减，则的取值范围是. 2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有且仅有5个零点 【典例2】 （25-26高三上·山东德州·月考）（多选）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（   ）    A．的图象关于点对称 B．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C．若在上有3个极值点，则m取值范围是 D．若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 会一题通一类 1．（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【典例3】 （2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·辽宁·三模）函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知函数（，），，，且在上单调，则的最大值为（ ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【典例4】 （2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（   ） A． B．函数的最大值为 C．在区间内只有一个极值点 D．曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为 【典例5】 （2025·四川成都·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·湖南长沙·二模）设是锐角，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·三模）若，，则（    ） A．1 B． C． D．0 3．（2025·河北沧州·一模）已知，则（    ） A． B． C．6 D．7 【典例6】 （2025·河北秦皇岛·二模）已知为锐角，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 2．（2025·河南·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例7】 （2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为 . 2．（2025·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，则当的面积取最大值时，（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江台州·一模）在中，斜边，为边上的高，的平分线交于点，当最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【典例8】 （2025·河南·三模）定义行列式，已知函数，若在区间上，始终存在两个不相等的实数，，满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（24-25高一下·湖北·期中）若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（   ） A． B． C．[3，5] D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（    ） A．对任意的 B．对任意的 C．在区间上单调递增 D．对任意的 热点预测 1．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025·云南昆明·二模）已知函数，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则为单调函数 B．若，则的图象关于对称 C．若存在最大值，则 D．有个零点 3．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴交点且满足为等边三角形，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．的最小值为 D．的最大值为 7．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）已知实数满足，则下列命题正确的是（   ） A．若时，则 B．若，，则是的减函数 C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）已知函数，，且，则（   ） A．函数的一个周期为 B．函数在上单调递减 C．曲线关于对称 D．函数与函数的最大值相等 9．（2025·浙江宁波·一模）已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·一模）（多选）已知正实数满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·模拟预测）（多选）在中，内角的对边分别为，,，则下列说法正确的是（    ） A． B．若为等腰三角形，则 C．当时， D．当时， 12．（2025·安徽·二模）（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 模拟训练 一、单选题 13．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·四川广安·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·江苏南通·期中）密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成．在平面凹四边形（图2）中，测得，凹四边形的面积为，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·河北·模拟预测）已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 17．（2025·浙江·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足：当时，的最小值为，且，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调，且，，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 21．（25-26高三上·四川南充·月考）已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 22．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥的体积为3，，，，则（    ） A．3 B．4 C． D． 23．（2025·浙江·模拟预测）方程的所有正数解之和为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025·广东肇庆·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 26．（2025·四川遂宁·二模）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·新疆·二模）已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 28．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 29．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 30．（2025·四川绵阳·模拟预测）在中，是角的对应边，满足，，下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．若，则 D．的面积最大值为 31．（2025·湖南·一模）在中，是的中点，则下列结论正确的是（　　） A．可以是钝角三角形 B． C．若，则 D． 32．（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A．的面积为 B．BC边上的高为 C．的最小值为 D．最大值为 33．（2025·福建泉州·模拟预测）在斜中，若，则（   ） A． B．的最大值为 C． D． 34．（2025·广东·模拟预测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·浙江丽水·一模）在中，若，且，则（　　） A． B． C． D．的最大值是 36．（2025·河南·一模）已知在中，，则（   ） A．没有最大值 B．没有最小值 C．的最大值为 D．的最小值为 37．（2025·广东深圳·模拟预测）已知的外接圆半径为，则（    ） A． B． C．的面积为6 D． 38．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知曲线：，：，记变换①为：曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；变换②为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换③为：曲线上各点向右平移个单位长度；变换④为：曲线上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.每一次变换后得到新的曲线，把上各点按照如下哪些顺序变换，可以得到曲线.（   ） A．②-①-④ B．①-②-④ C．④-③-① D．④-①-③ 39．（2025·福建厦门·二模）已知函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的一个对称中心是 B． C．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D．函数在上有5个零点，则的取值范围为 40．（2025·四川内江·一模）已知，则下列命题中正确的是 （    ） A．当时，在上的值域为 B．当时，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 C．当时，的值域为 D．若存在正偶数，使得对任意恒成立，则 41．（2025·浙江金华·一模）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 42．（2025·广东佛山·一模）已知，，若对任意的，不等式恒成立，则（   ） A．当时，，命题成立 B．当时，，命题成立 C． D．使得命题成立的有序数对恰有3组 三、填空题 43．（2025·江苏淮安·模拟预测）法国著名数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了周期性声音的规则特征：任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和．某种叠加音波的函数模型为，则函数的最大值为 ． 44．（2025·四川达州·一模）在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $