压轴专题01 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）讲义-（会一题通一类系列）【突破压轴冲刺名校】备战2026年高考数学二轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性、奇偶性、周期性、对称性四大核心性质，以性质间的交织转化为逻辑主线，通过知识总结系统梳理运算规律与特殊函数模型，结合典例精讲构建“翻译条件-串联推导-数形结合”思维路径，配套分层训练实现考点突破，形成完整复习闭环。 讲义突出“性质推理链”教学创新，如从双对称性推导周期性，培养学生数学思维与几何直观。设置典例变式与模拟训练分层递进，确保学生高效掌握压轴题破题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

压轴专题01 函数的基本性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 压轴分析 高考数学函数综合题中，单调性、奇偶性、周期性和对称性极少被孤立考查。真正的压轴难点在于它们交织成网、彼此转化。命题人常通过形如 f(ax+b) 的“嵌套条件”设置障碍，其核心是检验学生能否剥离代数形式，洞察背后的几何本质（即对称轴或对称中心）。破题的关键在于建立“性质推理链”：往往从两个对称性条件推导出周期性，再利用周期性化繁为简，最后借助单调性进行比较或求解。掌握“翻译条件→串联推导→数形结合”的思维路径，方能从复杂条件中精准破局。 知识总结 1. 奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)−g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 4. 函数的周期性 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 ⑧若的周期为，则、的周期均为 5. 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 函数的性质综合 （1）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （2）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 二级结论 1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数 2. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 典例精讲 【典例1】 （2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 会一题通一类 （2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 【典例2】 （2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】 （25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 会一题通一类 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 2．（2025·江西·二模）已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【典例4】 （2025·广东清远·一模）（多选）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 会一题通一类 1．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 2．（25-26高三上·四川绵阳·月考）（多选）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）（多选）定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【典例5】 （2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．存在最小值 D．当时， 会一题通一类 1．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域都是，若，，且为奇函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D． 【典例6】 （2025·江苏·模拟预测）若函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若实数，满足，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 53．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 热点预测 1．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意的，不等式恒成立，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为的函数满足：，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是偶函数 C． D．的图象关于直线对称 8．（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知连续函数满足，则（    ） A． B．最小值为1 C． D． 9．（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 10．（2025·福建·模拟预测）已知函数的定义域为为的导数，，当时，，若，则关于的不等式在区间上的解集为 . 模拟训练 一、单选题 1．（2025·江苏·模拟预测）已知和都是定义在上的奇函数，设，则（   ） A．不可能是增函数 B．不可能是偶函数 C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 5．（2025·陕西西安·模拟预测）设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D．的极小值为 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 10．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知的定义域为，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，且，，，则（ ） A．2024 B． C．2025 D． 13．（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山东济南·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 16．（2025·四川成都·一模）已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 17．（2025·广东·模拟预测）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（    ） A． B．可能为2 C． D．可能为0 18．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数定义域为，当时，，且对任意实数，均有，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是单调函数 19．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数有三个零点 C．是周期为4的周期函数 D．线段，与，的图象有6个交点 20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 22．（2025·湖南·模拟预测）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高三上·重庆·月考）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 24．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 三、填空题 25．（2026·江苏镇江·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质P的是 .（填序号） 26．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 27．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 28．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴专题01 函数的基本性质 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 压轴分析 高考数学函数综合题中，单调性、奇偶性、周期性和对称性极少被孤立考查。真正的压轴难点在于它们交织成网、彼此转化。命题人常通过形如 f(ax+b) 的“嵌套条件”设置障碍，其核心是检验学生能否剥离代数形式，洞察背后的几何本质（即对称轴或对称中心）。破题的关键在于建立“性质推理链”：往往从两个对称性条件推导出周期性，再利用周期性化繁为简，最后借助单调性进行比较或求解。掌握“翻译条件→串联推导→数形结合”的思维路径，方能从复杂条件中精准破局。 知识总结 1. 奇偶性的运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)−g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 4. 函数的周期性 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 ⑧若的周期为，则、的周期均为 5. 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 6. 函数的性质综合 （1）周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： （2）奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 二级结论 1. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有，即倍常数 2. 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 典例精讲 【典例1】 （2025·四川成都·模拟预测）已知函数是偶函数，则（　　） A．-1 B．0 C．1 D．1或-1 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】由偶函数性质可得，移项得， 所以，即，所以解得. 检验：当时，，此时定义域是， 显然关于原点对称,所以满足题意； 当时，，此时定义域是， 显然不关于原点对称，所以不满足题意； 故选:C      会一题通一类 （2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 【典例2】 （2025·四川绵阳·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】依题意，，， 则函数是上的奇函数，而函数在上都单调递减， 因此在上单调递减，不等式，则， 解得，所以所求解集是. 故选：B 会一题通一类 1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，将不等式可以转化为，利用奇偶性定义得到函数为奇函数，利用导数证明函数在上单调递增，再利用奇偶性和单调性结合解不等式,即可得到实数的取值范围. 【详解】设，则， 所以可以转化为，即， 因为 所以函数为奇函数， ，所以函数在上单调递增， ，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 即或者，所以实数的取值范围是 故选：C 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即为，结合函数的单调性可求得的取值范围，然后验证恒成立，即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则， 故函数在上为减函数， 由可得，即， 因为，则，所以，，解得. 对于、，当时都有， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 则对任意的，，则，可得恒成立， 因此，所求不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法： （1）对于不等式（或），构造函数； （2）对于不等式（或），构造函数； （3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数； （4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数. 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数的导函数为，若对任意，都有，且，则不等式的解集为（  ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设函数，求导得， 由，得，函数在R上单调递减， ，即， 由，得，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选： 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意求出函数在区间上的最小值，根据题意得出，解该不等式即可得解. 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【典例3】 （25-26高三上·江苏苏州·月考）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则，则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由函数关于对称有，则， 则，相减有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 由题意可得，，则， ，则， 则， 故选：B. 会一题通一类 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令后计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解． 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 2．（2025·江西·二模）已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，代入题干中的不等式，结合不等式的基本性质推导出，再结合可求得结果. 【详解】由，得， 由，， 得，， 即，， 所以， 所以， 又因为，故. 故选：B. 3．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 【答案】0. 【分析】先通过奇偶性转化为对称关系，再通过变量代换将不同的对称关系结合，推导函数的周期，最后利用周期简化运算求和. 【详解】由是偶函数，得（偶函数的对称性）， 这说明函数的图象关于直线对称， 由是奇函数，得（奇函数的对称性）， 且（奇函数过原点）， 由，令，则： ，则， 结合，可得：. 再令，则： ，则， 代入，得：，即. 因此，是周期为的周期函数. 已知当时，，结合对称性与周期性计算到： ； ； ； ； ； ； ； ； 一个周期内（到）的和为：， 因为函数周期为，余，即包含个完整周期， 余下， 因为一个周期和为，所以总和为：. 故答案：. 4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（   ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】A 【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解. 【详解】由，令，得，所以. 由为奇函数，得， 所以，故①， 又②， 由①和②得， 即， 令，则， 所以③， 令，得，得； 令，得，得. 又④， 由③-④得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，故， 所以， 所以. 故选：A 【典例4】 （2025·广东清远·一模）（多选）已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（    ） A． B．是奇函数 C． D． 【答案】ABD 【分析】在已知式中令求得，从而得出的图象关于点对称，再由已知得的图象关于直线对称，由两个对称性得函数的周期性，4是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断各选项． 【详解】对A，都有，令得，所以，A正确； 对B，由选项A分析知，所以的图象关于点对称， 从而的图象关于点对称，所以是奇函数，B正确； 对C．的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，因此有， 由两个对称性得，C错误； 对D，由以上分析得， 所以，所以是周期函数，4是其一个周期， ，，，，， 所以， 所以 ，D正确． 故选：ABD． 会一题通一类 1．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 2．（25-26高三上·四川绵阳·月考）（多选）定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知得、，进而得，利用对称性判断在区间上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值. 【详解】由为奇函数，则，即， 由，则，故， 所以，故，A对； 由，知图象关于对称， 由，知图象关于点对称，且， 当时，，即在上单调递增， 所以在、上单调递减，即在上单调递减， 若，则，结合周期性知， 所以在区间上单调递减，B对； 由，C错； 由，则，， 所以，又， ，D对. 故选：ABD 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）（多选）定义在上的奇函数满足，在区间上单调递增，且，则（   ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D． 【答案】AB 【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用和奇函数定义可得函数的图象关于对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出和可判断函数图象关于直线对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 故， 所以，所以， 所以，6是函数的一个周期. 对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，正确； 对于B，因为， 因为是的周期，所以，故 所以函数的图象关于对称，又在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，正确； 对于C，因为，所以， 又，所以， 所以的图象不关于直线对称， 根据周期性可知，的图象不关于直线对称，错误； 对于D，因为，， 所以，错误. 故选：AB 【典例5】 （2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ） A．是奇函数 B．是增函数 C．存在最小值 D．当时， 【答案】BCD 【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于B：构建，利用导数可得，进而分析判断；对于C：根据奇偶性求，的解析式，利用判断的最小值；对于D：构建，利用导数证明不等式. 【详解】对于选项A：因为函数及其的定义域均为，且是奇函数， 则，求导可得， 所以函数是偶函数，故A错误； 对于选项B：构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 构造，则， 所以是增函数，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可得， 联立，解得， 构造，则， 因为在上单调递增，则在上单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有最小值，即存在最小值，故C正确； 对于选项D：构造， 则，可知在内单调递增， 则，所以当时，，故D正确； 故选：BCD. 会一题通一类 1．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】令求出，令，可判断A；令与 令求出，可判断B；对两边同时对求导，把看作常数，求出可判断C；是以4 为周期循环的，利用周期性可判断D. 【详解】对于A，由已知函数定义域为，关于原点对称， 令，由得， 令，由，可得， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，，令，则， 令，则， 所以，解得，可得， 故B正确； 对于C，对两边同时对求导，把看作常数， 得，因为，令， 所以，即，得， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递增，当时， 单调递减，故C错误； 对于D，因为，是以4 为周期循环的，，， ，， 所以 ， ，故D正确. 故选：ABD. 2．（2025·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ） A．2为的周期 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可. 【详解】因为 是定义在 上的奇函数， 所以 , 所以 ， 所以 关于 对称，且 ， 又 的一个周期为 2 ， 所以 ，即 ， 所以 ，所以 的周期为 4 ，所以 A 选项错误； 因为 ， 所以 ， 又 的周期为 4 ，即， 所以 ， 所以 ，所以 B 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，, 即 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 C 选项错误，D 选项正确． 故选：D． 3．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域都是，若，，且为奇函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D． 【答案】ABC 【分析】结合函数的对称性、奇偶性、导数关系以及抽象函数的性质，逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，因为①， 用代替得，，即， 又为奇函数，所以， 所以， 用代替得，，即②， 所以①②得，所以的图象关于点对称，故A选项正确； 对于B选项，因为，两边同时求导，得， 又，用代替得，， 所以，所以关于点对称，所以的图象关于直线对称，故B选项正确； 对于C选项，因为，用代替得，， 又的图象关于直线对称，则，所以，所以， 又的图象关于点对称，则， 用代替得，，所以， 所以为偶函数，故C选项正确； 对于D选项，因为为奇函数，所以，用代替得， ，又的图象关于直线对称，则， 所以，用代替得，， 所以，所以的周期为， 由，所以 用代替得，，所以的周期也为， 由，得，，，， 所以， 因为，所以，，，，， ，，，所以， 所以，而的值是未知的，故D错误. 故选：ABC 【典例6】 （2025·江苏·模拟预测）若函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原题意等价于与在内有交点，可转化为在有解，构造，利用单调性并求值域，即可求的取值范围. 【详解】由题意可知：，即在内恒成立，则， 因为直线关于轴对称的直线为， 原题意等价于与在内有交点， 即在内有解，可转化为在有解， 令，， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增， 则，且趋近于时，趋近于， 可知在内的值域为，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 会一题通一类 1．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出存在实数，使函数在上没有最值时，实数m的取值范围；根据其补集求得当任意实数，使函数在上有最值时，实数m的取值范围即可. 【详解】命题"任意实数，函数在上有最值"的否定如下， 是"存在实数，使函数在上没有最值", 即存在实数，使函数在上单调, 即存在实数，使，或在上恒成立. 由，得. 因为，，所以. 令，易知在上单调递减， 所以. 令，易知在上单调递减，所以. 令，则在上单调递减，所以. 所以当时，， 即存在实数，. 所以； 当时，得到， 即存在实数，. 所以. 所以当存在实数，使函数在上没有最值时，得到或. 所以当任意实数，使函数在上有最值时，得到. 所以实数m的取值范围为. 故选：A. 2．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若实数，满足，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用奇函数定义与导数计算可得为奇函数及在上单调递增，则可得，再利用二次函数性质计算即可得解. 【详解】由，有， 又定义域为，故为奇函数， 则， ，当时，，则， 当时，， 故在上单调递增，故， 有， 当且仅当，时取等，故的最大值是. 故选：C. 53．（2025·广东惠州·模拟预测）已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到为奇函数且单调递减，问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，令，求导得到其单调性和极值情况，从而得到的取值范围为. 【详解】的定义域为R，且， 所以是奇函数， 有三个零点等价于 方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得， ，可知单调递减，所以有，即， 所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的极大值为，极小值为， ∴的取值范围为. 故选：A 热点预测 1．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用恒等式可推导，得出周期性，再由偶函数可得函数的图象是关于直线对称的，再利用赋值思想即可求值. 【详解】因为的值域为， 所以可由得：， 则有， 所以函数是一个以4为周期的函数，则有， 又因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象是关于直线对称的，即， 又因为周期性可知，所以， 又由可得：，所以， 因为的值域为，所以，即， 故选：B 2．（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，，若的图象关于直线对称，且，则的值是（　　） A．463 B．464 C．465 D．466 【答案】B 【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再根据可转化得为奇函数，从而得函数的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论. 【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称， 即的图象关于直线对称，则， 由，可得， 又，得， 所以， 即，所以的图象关于点对称，即为奇函数， 所以，函数的周期为4； 由可得， 又因为，所以， 根据函数的性质，得 所以． 故选：B. 3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得答案. 【详解】因是上的奇函数，则， 又由可得，则， 故，即4为函数的一个周期. 因当时，，则，， 又，，， ，，， 则， ， 则. 故选：B. 4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对，定义函数如下：，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，令，可判断A；利用累乘法可得，判断B；利用二项式定理判断C；，利用错位相减法求解判断D. 【详解】，， 令，则，，则A错误； ， 当， ，，，，， 累乘得：， ， ，， 而对于中令，得，矛盾，则B错误； ，则C正确； ， 令， 则， 所以， 所以， 所以， 则D错误． 故选：C． 5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或. 故选：D. 6．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意的，不等式恒成立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，可判定A正确；令，可得，结合，可判定B正确；令，得到，可判定C错误；设，得到，设，利用导数，求得在上单调递增，证得，进而可判定D正确. 【详解】对于A，令，得，所以A正确； 令，可得， 因为，所以，所以，所以B正确； 对于C，令，则，所以，所以C错误； 对于D，设，则，即， 所以， 所以，所以， 设，则，所以在上单调递增， 则，所以，所以， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 7．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为的函数满足：，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．是偶函数 C． D．的图象关于直线对称 【答案】AC 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：令，结合函数奇偶性的定义分析判定；对于C：令，整理可得，进而运算求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为定义域为的函数满足，且， 对于选项A：令，则， 即，所以，故A正确； 对于选项B：令，则， 即，即， 所以是奇函数，故B错误； 对于选项C：因为是奇函数，则， 令，则， 即， 若，则； 若，则； 依此类推可得：，故C正确； 对于选项D：例如， 则，， 且，可知符合题意， 但的图象不关于直线对称，故D错误； 故选：AC. 8．（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知连续函数满足，则（    ） A． B．最小值为1 C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，赋值得到，令得到方程，结合求出；B选项，求出，不妨设，待定系数法得到，得到最小值，B错误；C选项，令得，则，……，，以上式子累加得，故，C正确；D选项，赋值得到，令，从而得到. 【详解】A选项，中，令得 ，解得， 令得， 又，故，解得，A正确； B选项，中，令得 ，又，故， 不妨设， 又，，，故， 解得，故， 经检验，满足且为连续函数， 则，故的最小值为，B错误； C选项，中，令得， 故， 则，……，， ，，……，， ， 以上式子累加得， 故，C正确； D选项，中，令，， 则， 则， 其中，令， 则， 故， 即，D正确 故选：ACD 9．（2025·湖南长沙·三模）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，并根据不等式转化为，利用参变分离的方法，转化为求函数的最值问题. 【详解】设函数，则， 所以是奇函数，且时，单调递增， 则单调递增，且， 所以， 即，，则不等式恒成立，， 设，， 设，，， 所以在上单调递增，， 所以恒成立，则恒成立， 则在上单调递增， ，根据洛必达法则可知，. 故答案为： 10．（2025·福建·模拟预测）已知函数的定义域为为的导数，，当时，，若，则关于的不等式在区间上的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，并由导数法得在上单调递增，再利用奇函数定义及对称性概念知为奇函数且关于对称，从而得到的对称性和单调性，将所给不等式转化为，结合已知函数值，利用函数性质即可求解不等式. 【详解】设，则当时，， 所以在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 又， 所以关于对称，所以， 所以，所以的周期为6，且为偶函数， 又，所以， 故由的单调性可知：在和单调递增， 在和单调递减，又， 由的对称性可知，， 由可得，， 所以关于x的不等式在区间内的解集为． 故答案为： 【点睛】结论点睛：破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下： 1.对于不等式，构造函数； 2.对于不等式，构造函数； 3.对于不等式，构造函数； 4. 对于不等式，构造函数； 5. 对于不等式，构造函数； 模拟训练 一、单选题 1．（2025·江苏·模拟预测）已知和都是定义在上的奇函数，设，则（   ） A．不可能是增函数 B．不可能是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】设，，可判断A，C；设，，可判断B；分，，可判断D. 【详解】设，，则， 所以在上单调递增，且，故A，C错误； 设，，则，此时为偶函数，故B错误； 对于D：对任意， 若，则，即. 由题意可知， 所以，， 所以， . 所以； 若，上式也成立，故D正确. 故选：D 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由为奇函数得到，再由的单调性可推得的单调性，根据对称性可得，再比较的大小即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，故， 又在上单调递增，所以当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又因为，则 .① 在①式中令，可得，故， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 由于，故上式等号不成立，则， 又，所以，即，即， 同理可得，所以， 所以，即. 故选：C. 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构造，借助其单调性解抽象不等式即可. 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数的定义域关于原点对称，且满足： （1）当时，； （2）且.则下列关于的判断错误的是（    ） A．为奇函数 B． C．是的一个周期 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出，可得出，再结合函数周期性的定义可判断C选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D选项. 【详解】因为、，， 所以为上的奇函数，A对； 因为，所以， 所以，B对； 因为， 所以， 所以是的一个周期，C对； 、，且，则， 因为当时，，所以、、均小于， 又，所以，所以， 所以在上单调递增，D错． 故选：D． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C． D．的极小值为 【答案】D 【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 即，则为偶函数，故A错误； 由得，，两边取导数得，， 即，所以，则是奇函数，故B错误； 由上可知，，又由得， 所以，则， 所以有，即函数是一个周期函数且周期为8； 又由，令得，，则，故C错误； 因为是奇函数，所以的图象关于点对称， 又由在上单调递减，所以在上单调递减， 又，所以在上单调递减， 又A中知，故的图象关于对称， 所以在上单调递增， 由周期性可知，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，即， 由单调性和周期性可得的极小值只能为，故D正确， 故选：D 6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而，恒过， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 7．（2025·全国·模拟预测）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有，则=（   ） A．0 B．1013 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解的值. 【详解】令，则，所以． 令，则，又，所以． 令，则，所以函数的图像关于直线对称． 令，则，所以，的图像关于点对称． 故，则,是周期的函数． 又，当为偶数时，．当为偶数时，也为偶数，此时；当为奇数时，令，则. 所以1013． 故选：B． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，进而得即可判断A，由猜想，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由，利用即可判断C. 【详解】由题意有，得，所以，故A错误； 因为 ，，由有， 所以，， 猜想，当时，显然成立， 假设时，猜想成立，即，当时，，即成立，所以， 所以，故D正确，B错误， 当时，，所以有，又，所以， ， ，故C错误. 故选：D. 9．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B．的定义域为 C．若在上单调递增 D．若，则 【答案】B 【分析】应用赋值法计算求解得出判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D. 【详解】令，可得，所以，A选项正确； 令，可得，所以不成立，所以的定义域不是，B选项不正确； 因为，所以，， 因为，所以，，， 当时，，在上单调递增，C选项正确； 若，令，可得， 所以，所以为等差数列， 所以，则，D选项正确； 故选：B. 10．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以. 故选：D. 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得.再由当时，，可求出，从而可求解. 【详解】在中，令，可得, 即， 所以. 又，所以, 所以. 因为，所以， 所以. 因为，当时，， 所以， 所以， 所以. 故选:B. 12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知的定义域为，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，且，，，则（ ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】D 【分析】由题意可得函数为偶函数，利用赋值法可得，可求得，进而可得，可得符号相反，，可求. 【详解】因为将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称， 所以函数为偶函数，即， 由，令，可得， 所以，令，可得， 又，可得，所以， 所以，所以，所以是周期为4的周期函数， 所以，所以， 因为，，所以，， 因为函数的周期为4，所以符号相反，用， 所以，所以. 故选：D. 13．（2025·河北保定·三模）已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导判断函数在上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性，求出函数在上的值域，继而可求出参数范围. 【详解】由，求导得， 则当 时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，即当时，， 由奇函数的性质可知时，，故时有， 如图所示，，都有，所以， 故由恒成立可得. 故选：C. 14．（2025·山东济南·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得的图象在上连续不断，再结合赋值法、复合函数求导、不等式性质逐项判断. 【详解】由函数及其导函数的定义域均为，得的图象在上连续不断， 对于A，取，由，得， 当时，取，，而在上单调递增， 则在上不恒为0，因此，即，A错误； 对于B，，取，，由选项A知，， 不恒为0，B错误； 对于C，由在上单调递增，得当时，； 当时，由，得，C错误； 对于D，，则， 因此，D正确. 故选：D 二、多选题 15．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，为偶函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对进行变形可判断A，分析的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到和的两个方程并联立可判断C，先计算得到的值，由的周期性及和的值计算可判断D. 【详解】对于A，由，可得， 两式相减可得，故A正确； 对于B，由为偶函数，可得， 即，所以的图象关于直线对称， 由，两边求导得，即， 所以是以4为周期的周期函数， 则有，无法推出，故B错误； 对于C，由，两边求导得， 即，令，可得， 又，令，可得， 联立，解得，故C正确； 对于D，由，当时，，又，可得， 当时，可得， 由，即， 所以，令，可得， 所以，令，可得，，， 由B知的周期为4，则，所以， ，故D正确. 故选：ACD. 16．（2025·四川成都·一模）已知是定义在的偶函数，且当时，，则（    ） A． B．当时， C．是的极小值点 D．存在实数，使得直线与的图象恰有1个公共点 【答案】AC 【分析】将自变量代入求函数值判断A，利用偶函数的性质求函数区间解析式判断B，应用导数研究函数的极值点判断C，根据C的分析判断的性质，结合偶函数的对称性判断D. 【详解】由题设，A对， 若，则，故， 由为偶函数，则，B错， 由上时，，则， 令，即在上单调递增， 又，故在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对， 由C分析，或时，且， 所以、上，又为偶函数，则、上， 所以直线与的图象恒有2个交点，D错. 故选：AC 17．（2025·广东·模拟预测）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（    ） A． B．可能为2 C． D．可能为0 【答案】AD 【分析】利用函数的奇偶性和对称性得到，进而判断A，利用反证法判断B，利用赋值法判断C，D即可. 【详解】对于A，设，因为为奇函数， 所以， 且，即.令， 则，则的图象关于点对称. 设，故， 即，可得为偶函数，令， 则，则的图象关于直线对称， 若，则即是奇函数，又是偶函数， 故只能有，即对任意成立， 则对任意成立，与矛盾，故，故A正确； 对于B，由于，若， 则，与2矛盾，故B错误； 对于D，取，则的图象关于点对称，， 即存在使得为0，故D正确； 对于C，取，则的图象关于直线对称， 故，令，有， 由D得，故存在使得不为，故C错误. 故选：AD. 18．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数定义域为，当时，，且对任意实数，均有，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C． D．是单调函数 【答案】BCD 【分析】A选项，令得到或，若，推出矛盾，从而得到；B选项，令，代入整理得，B正确；C选项，在B基础上得到，因为，所以；D选项，令，有，推出当时，，在R上恒成立，定义法得到在R上单调递增，D正确. 【详解】A选项，令，得， 整理得，解得或， 再取，，得， 若，则，解得， 则与条件中“当时，”矛盾，故， 所以，A错误； B选项，令，得， 代入整理得（*）， 所以的图象关于点对称，B正确. C选项，由（*）式可知，，因为，所以，C正确. D选项，下面证明在R上单调递增， 条件可变形为. 令，则有， 因为当时，，所以当时，， 的图象关于点对称，故当时，， 故在R上恒成立， ，，，有 ， 故，， 又恒正，所以，从而在R上单调递增，D正确. 故选：BCD. 19．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数有三个零点 C．是周期为4的周期函数 D．线段，与，的图象有6个交点 【答案】ABC 【分析】利用函数的奇偶性与对称性求出的值，可判断A的真假；数形结合可得到方程的解的个数，判断B的真假；利用函数周期的定义，可判断C的真假；数形结合并由函数的周期性可判断D的真假. 【详解】对A：因为函数为上的奇函数，当时，，所以； 又的图象关于点中心对称，所以，令得： ，故A正确； 对C：由题意：，，所以. 所以，所以是以4为周期的周期函数，故C正确； 对B：当时，，则. 当时，，得函数在上单调递减； 当时，，得函数在上单调递增. 所以当时，函数的最小值为； 又，， 故函数在上的值域为. 又函数的图象关于和对称，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，方程在上有3个解. 且当时，；时，. 所以当时，方程无解. 所以方程一共有3个解，即函数有三个零点，故B正确； 对D：由，即. 由， 当时，. 由或；由. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极大值为，极小值为， 且，作出函数在的草图如下： 由图可知，方程在上有且只有1解. 又函数是以4为周期的周期函数，所以方程在和上各有1解. 综上所述，线段，与，的图象有3个交点.所以D错误. 故选：ABC 20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且为非常数函数，，为奇函数，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由奇函数的性质判断出的图象关于点对称后可判断A，对后得出的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D． 【详解】对A，因为为奇函数，所以，即，即，所以的图象关于点对称，所以，A正确； 对B，由，两边求导得，即，又的图象关于点对称，得，所以，B正确； 对C，因为，即，所以，令可得, ，所以的图象关于直线对称， 所以，又，所以，所以的图象关于点成中心对称， 由得，所以， 所以是周期函数，4是它的一个周期，C错误； 对D，由得，，所以， 又，所以 ，D正确． 故选：ABD． 21．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（   ） A．一个对称中心为 B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解. 【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确； 对于B，由，两边求导可得， 即，所以的图象关于对称， 又等价于， ，所以， ，即的一个周期为4，故B错误； 对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确； 对于D，将代入，可得， 将代入，得，又， 所以，， 所以， 又， 所以，故D正确. 故选：ACD. 22．（2025·湖南·模拟预测）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，令代入即可得解；对于B，令化简可得，代入数值判断即可；对于C，由B可得，由A可得，代入数值判断即可；对于D，求出特殊点的值，得到周期性规律，即可得到，即可判断. 【详解】对于A：令得，，又为非常值函数，所以，则，故A正确； 对于B：令得，， 令，则，即，所以，故B错误； 对于C：由B知，， 又令得，，由A选项知，所以，即，所以，故C正确； 对于D选项：由C知，， 又，，，， 故， 因此，故D正确. 故选：ACD. 23．（25-26高三上·重庆·月考）设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．关于对称 C． D．的导函数的周期为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数可得对恒成立，故对恒成立，即可判断选项A，B；结合，可得，推导可得，即可判断选项C，选项D. 【详解】∵为奇函数，对恒成立， ∴对恒成立，∴函数为奇函数， 且函数的图象关于对称，故选项A错误，选项B正确； ∵，∴， 故，而的图象关于对称，即有， 故，则， ∴， ∴函数是周期为8的周期函数， 对于。令，可得， ∴，故选项C正确； 又，∴，∴的周期为8，故选项D正确. 故选：BCD. 24．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（    ） A． B． C． D．若x为正整数，则 【答案】ABD 【分析】利用赋值法判断AB；利用周期、举反例判断CD； 【详解】令，得， 因为，所以，故A对； 令得， 令得，故B对； 由得， 所以函数是周期为8的函数， 又， 所以， 所以， 所以， 又，函数是周期为8的函数， 如，则，故C错； 若x为正整数，则， 所以，故D对； 故选：ABD 三、填空题 25．（2026·江苏镇江·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质P的是 .（填序号） 【答案】① 【分析】对①，由即可判断；对②，由指数函数的性质数形结合即可分析求解；对③，求上切线斜率为的切线方程在直线上方得到直线与函数图象没有交点即可求解. 【详解】对于①：函数和定义域均为R，且存在使得， 所以函数和在R上具有性质P； 对于②：函数和定义域均为R， 如图，函数与图象关于x轴对称，与图象只有一个交点， 所以只存在一个实数使得，所以函数和在R上不具有性质P； 对于③：与定义域均为R， 令，所以上切线斜率为的切点为， 所以该点处切线方程为，该切线与平行， 又， 所以，所以，所以， 所以该切线在y轴上的截距为， 所以该切线在直线上方，所以直线与函数图象没有交点， 又直线与关于x轴对称， 所以不存在实数x，使得，则函数和在R上不具有性质P. 故答案为：① 26．（25-26高一上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 【答案】12 【分析】由得到的图像的对称轴，由的图像得到此函数的对称轴，由函数与的图像有6个交点，得到3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，从而得到所求． 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 27．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性得，利用赋值法可得的值，进而得函数解析式，由解得函数的零点再相加即可；利用换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法可求函数最值. 【详解】由题意，函数的定义域为， 由函数关于直线对称，得， 令，则，即， 令，则，即， 联立，解得， 则， 令，解得， 所以函数的所有零点之和为； ， 令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，有最小值，最小值为，则， 所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由，得，解得， 所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据对称性，采用赋值法求得函数解析式；以及换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法求函数最值. 28．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，，则 . 【答案】68 【分析】由题可得的一个周期为4，然后由赋值法可得，据此可得答案. 【详解】， . 则. 因为偶函数，则， 即，结合. 则， 则， 即的一个周期为4.因，由，， 可得.， 对于，令，可得， 又，令，可得. 则，又的一个周期为4， 则 . 故答案为： 【点睛】结论点睛：若对于任意实数，，则图象关于对称；若若对于任意实数，，则图象关于对称； 若图象同时关于，对称，则的一个周期为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $