压轴专题03 导数小题讲义-（会一题通一类系列）【突破压轴冲刺名校】备战2026年高考数学二轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦导数小题压轴专题，涵盖切线方程、函数性质、零点问题、不等式证明等高考核心考点，按“知识总结-典例精讲-热点预测-模拟训练”逻辑架构梳理内在联系。通过压轴分析明确考情，知识总结构建方法体系，典例精讲示范解题流程，帮助学生系统突破导数综合应用难点。 资料以“结构识别-方法选择-严谨推证”为主线，创新设计“会一题通一类”变式训练，如隐零点问题通过设根代换转化，切线放缩利用不等式桥梁简化证明，培养学生数学思维与逻辑推理能力。分层练习覆盖选择填空多种题型，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生导数压轴题应考能力。

专题03 导数小题压轴 压轴分析 高考数学中，导数小题往往以压轴题形式出现，其难点不仅在于计算，更在于对导数工具的综合运用与代数结构的深度解析。真正的压轴难点在于将几何直观、代数变形与极限分析融为一体，考查学生在复杂情境下选择与转化策略的能力。命题人常通过含参函数、切线及公切线、隐零点、极值点偏移等情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破形式限制，洞察问题本质，灵活选取求导、构造、放缩、数形结合等方法。解题的关键在于建立“分析-转化-求解链”：首先分析题目结构，识别其属于单调性、极值、零点或不等式中的哪一类问题；然后通过求导、换元、分离参数等手段进行代数转化；最后结合函数性质、极限思想或特殊点取值完成严谨推理。掌握“结构识别→方法选择→严谨推证”的思想路径，方能从抽象问题中构建清晰、简洁的解答框架。 知识总结 1. 函数切线相关问题 核心问题 关键方程/结论 说明 求切线方程（在某点） 已知切点 ，利用导数求斜率 求切线方程（过某点） 设切点 ，列方程： 1. 斜率 2. 点斜式： 点 为曲线外一点，通过解方程求 公切线问题 设两曲线 与 若存在公切线，设切点分别为 , 则： 1. 斜率相等： 2. 切线重合： 转化为关于 的方程组，讨论解的存在性 常用切线放缩（不等式） （当且仅当 取等） （当且仅当 取等） （当 时） 利用切线构造不等式桥梁，是比大小与证明题的重要工具 2. 导数与函数性质 2.1 单调性 关键步骤：先求 ，再解不等式 或 确定单调区间。含参时需分类讨论导数的符号。 2.2 极值与最值 · 极值的必要条件：若 在 处可导且取得极值，则 。 · 极值的第一充分条件：通过 在 两侧的符号变化判断。 · 极值的第二充分条件：若 且 ，则： · 求连续函数在闭区间 上的最值：比较端点值 和所有极值点的函数值。 3. 导数与函数的零点（方程的根） 3.1 零点存在性定理（结合单调性） 若 在 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点。若再配合 在 上严格单调，则零点唯一。 3.2 “隐零点”问题的处理 当方程 的解 无法精确求出时： 1. 设 为 的根，并确定其大致范围（如 ）。 2. 将 用 满足的方程（如 ）进行代换化简。 3. 将 转化为关于 的新函数 ，利用其单调性估计范围或符号。 4. 常见不等式证明与放缩 目标 常用方法 证明 （恒成立） 1. 求 ，证明最小值 2. 利用常见不等式（如切线放缩）进行放缩 证明存在 使 寻找特殊点代入，或利用极限思想（如 时 ） 含参不等式恒成立 1. 分离参数： 恒成立 2. 不分离参数：讨论函数 的最值，对 分类讨论 5. 解题流程要点 1. 结构识别：审题判定问题属于切线、单调性、极值、零点、不等式中的哪一类或哪几类的综合。 2. 方法选择： 切线问题：关注“切点”、“斜率”、“点在线上”的几何条件。 单调性/极值：求导，讨论 符号。 零点问题：结合单调性与零点存在定理，或转化为两函数图像交点。 不等式证明：考虑最值法、放缩法或构造函数法。 3. 严谨推证：含参问题注意分类讨论的完整性；利用导数工具时，定义域优先；涉及极限、趋近过程时，表述需严谨。 典例精讲 【典例1】 （24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 会一题通一类 1．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与，分别切于点，根据导数的几何意义，可得斜率，化简计算，可得，设，利用导数可得的单调区间和极值，分析即可得答案. 【详解】设直线与，分别切于点， 由，得，由，得， 由导数的几何意义可得， 所以，则， 所以，则， 所以， 设，则 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 所以，即a的最大值为， 故选：A 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 【典例2】 （2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 会一题通一类 1．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】设曲线在点处的线线过点， 由，求导得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当或，，当，， 所以：函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得. 故选：B. 2．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线过点， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为， 因为从点可向曲线引三条不同切线， 所以有三个不同的解，即有三个不同的解， 设，则该函数有三个不同零点，求导得， 令，则或， 当和时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在和区间上单调递增， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则，即，解得，即的取值范围是. 故选：B. 【典例3】 （24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可. 【详解】对函数求导得：， 又由是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化，令， 则，， 当时，，即在附近单调递增，又， 所以当时，，当时，，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减， 又，所以当时，，当时，， 此时0是的极大值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 故选：B 会一题通一类 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围. 【详解】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为， 设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象，    结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则 ，，，，设，，，，，，，设，，设，，，，在上是减函数，， ，在上是减函数，，，在上是增函数； ，时取最大值，且的最大值为，综上可知. 故选：D 【典例4】 （2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 会一题通一类 1．（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明时，对任意，满足恒成立，当时，将不等式变形为，设，，利用导数判断函数的单调性，由条件结合单调性可得恒成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】若，则对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立， 若，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，则，恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增，又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，， 所以在上单调递增，则， 所以． 综上可得， 故选：B． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 【典例5】 （2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围. 【详解】因为有两个零点， 故有两个不同的解， 所以有两个不同的解， 故有两个不同的解， 设，则，故为上的单调增函数， 而时，，时，，故的值域为， 故在上有两个不同的零点， 设，则， 当时，；当时，； 故在上为增函数，在上为减函数， 故即， 此时当时，，时，， 故时，确有两个不同的零点，综上. 故选：D. 会一题通一类 1．（2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 2．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 【典例6】 （2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围. 【详解】，， 为偶函数， ，设，， 则在有唯一零点．，当且仅当取等号． 若,时，，则在单调递增， 又因为，所以在有唯一零点 若,时，令得，即， 解得或， 其中，满足要求， ， 其中，故在时恒成立， 所以，即，不合要求， 当时，，则在单调递减， 所以，时，， 故在有1个零点． 又，所以在上有两个零点，不满足题意， 故的取值范围为． 故选：C. 会一题通一类 1．（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数法研究函数的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画出函数的大致图象，根据图象列不等式组求解即可. 【详解】设， 则不等式即有且只有两个整数解. 因为，且， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减. 当时，，当时，，当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 因为函数在上单调递增，，，， 则， 函数的大致图象如图 由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1， 所以解得.又，所以. 故选：C. 【典例7】 （2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数，下列四个结论中正确的有（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，恒成立 C．若有两个不同的根，则 D．若有两个根，则 【答案】BCD 【分析】求导根据极值点的概念判断A，根据导数法证得，然后利用放缩法判断B，将问题转化为函数图象与有两个交点，利用导数研究函数的单调性，数形结合求出判断C，由题意，要证明成立，只需证明，即证明，设，则，则上式化为，利用导数法证明即可判断D. 【详解】当时，，则只有一个解， 令得，令得，故只有一个极值点，故A错误； 设，则，所以当时， 此时为增函数；当时，，此时为减函数， 所以时，取得最大值，最大值为0，即， 所以， 当时，， 故B正确； 若有两个不同的根，即有两个解. 设，从而函数图象与直线两个交点， 则 易知在上是减函数，且， 所以当时，即，此时为增函数； 当时，即，此时为减函数. 作出函数图象，如图    所以由图象可知，即，故C正确； 由于有两个根，令，即， 即，要证明成立，只需证明，即， 故只需证明，即证明， 设，则，则上式化为. 设， 即在上为减函数，当时，， 由于，则，所以成立，故D正确. 故选：BCD. 会一题通一类 1．（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．若，则 B．可以有2个极值点 C．若，则是增函数 D．若有两个零点，则 【答案】ACD 【分析】A由，设，设并应用导数研究不等式判断；B对函数求导，构造，应用导数研究其零点判断；C由函数单调递增，有恒成立，结合其单调性判断；D令且，问题化为有两个解，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断. 【详解】由于，则， 设，设，则， 所以时，，此时单调递减；时，，此时单调递增， 所以，即，故A正确； 由于，设， 则， 所以，在上单调递增，即不可能有2个解， 所以不可能有2个极值点，故B错误； 若是增函数，则，即恒成立， 由上知是增函数，又，只需，故C正确； 有两个零点，即有两个不同的解， 令且，则，故在上为增函数且， 故原方程有两个解转化为有两个解，易知，即有两个解， 设，则，当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 由于，，所以，即，故D正确． 故选：ACD 2．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 【答案】BCD 【分析】利用导数求单调区间可判断A；求出的解析式，根据奇函数定义可判断B；设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点求出即可判断C；构造函数，根据二次函数性质求解可判断D. 【详解】对A，由题知， 由解得，所以在上单调递减，错误； 对B，记， 则，所以为奇函数，正确； 对C，设切点坐标为，则切线斜率为，且， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 整理得，解得或， 所以过点可作两条直线与曲线相切，正确； 对D，记 ， 当时，若恒成立，则，解得， 所以时，恒成立，正确. 故选：BCD 热点预测 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，结合可得，求出C，进而求出的解析式，结合导数与极值的关系，即可求得答案. 【详解】函数 满足 ，故令， 则，故， 由得，故， 则可得，故， 故，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故的极大值为， 故选：B 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，分离参数可得，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，从而可得出当时，恒成立，实数的最大值，再验证对任意的恒成立即可. 【详解】当时，， 令，，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 所以当时，恒成立，则实数的最大值为， 下面证明当时，对任意的恒成立， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，对任意的恒成立， 所以的最大值为． 故选：D． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 4．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，根据题意，得到，求得，求得函数的单调性与最值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由， 因为，其中， 若时，，其中， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以， 又由，且，即不恒成立， 所以C正确，A不正确； 若时，，其中， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以不恒成立， 又由，，此时，所以不恒成立， 所以B、D均不正确. 故选：C. 5．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数变形，构造等价函数令，则，求导判断单调性求得仅有两个零点，问题转化为方程和共有4个根，令，利用导数分析单调性和最值求解. 【详解】， 令，则， ，令，得，且， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，所以函数仅有两个零点， 所以恰有4个零点，即方程和共有4个根， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 故和至多各一个根，不合题意； 当时，，令，得， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，且时，，时，， 要使方程和共有4个根，则， 即，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 6．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将问题转化为与有两个交点，数形结合即可判断A选项，又，结合图象可知，利用极值点偏移构造新函数，结合，即可判断D选项；利用，结合即可判断B选项；由，结合的取值范围，即可判断C选项. 【详解】对于A，因为函数有两个零点， 所以有两个根，即有两个根， 即与的图象有两个交点，设，所以， 当时，解得，所以函数在单调递增； 当时，解得，所以函数在单调递减， 所以，当时，，当时，， 函数的图象如图所示， 结合图象可得当时，与的图象有两个交点， 即函数有两个零点，故A正确； 对于D，又，结合图象可知， 因为，要证明， 即证明，整理得， 令，即证明， 即证明， 设，所以恒成立， 所以在（0,1）单调递增，所以， 即，故D正确； 对于C，， 又，，则，即，故C不正确； 对于B，因为，，可得， 可得，故B正确. 故选：ABD. 7．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A．，使得为单调函数 B．，的图象恒有对称中心 C．当时， D．若，，是方程的三个不同的根，则 【答案】ABD 【分析】A对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B由，再结合即可判断；C应用特殊值判断；D由并展开，结合已知表达式，即可判断. 【详解】A：由题设，所以是开口向上的抛物线， 要使为单调函数，只需恒成立，即，得， 所以，使得为单调函数，对； B：对于， 所以，即恒关于点对称，对； C：由题设，若，显然，错； D：由题设， 又，则，对. 故选：ABD 8．（2025·辽宁大连·一模）（多选）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 【答案】ACD 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性，进而判断A；举例结合单调性判断B；由题意可得有三个不同实根，设，，利用导数分析函数的单调性，进而求解判断C；表示出，，进而结合偶函数的定义判断D. 【详解】由题意，，设，. 对于A，由 ， 令，得或， 令，得或 所以函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 则在上有3个极值点，故A正确； 对于B，当时，， 由A知，函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 又，，，， 结合单调性及零点存在性定理，可知在上有2个零点，故B错误； 对于C，由题意，有三个不同实根， 设，，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 即k的取值范围为，故C正确； 对于D，由， 可设，， 则， 则为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二下·山东济南·期末）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设点为曲线上的一点，求得切线方程为，由切线过点，得到，令，求得，得出函数的单调性和极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（2025·河南·模拟预测）某正六棱柱外接球的表面积为，则该正六棱柱的体积的最大值为 . 【答案】 【分析】设外接球的半径为，正六棱柱底面的边长为，侧棱长为，由题意得到，，得到，再通过函数的单调性求最值即可. 【详解】正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所连线段的中点， 设外接球的半径为，则，得， 设正六棱柱底面的边长为，侧棱长为，则底面正六边形的外接圆半径为， 由题意：， 所以正六棱柱的体积， 令， 所以， 令，得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以正六棱柱的体积的最大值为. 故答案为： 模拟训练 一、单选题 11．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，依题意可得方程有两个不同的解，构造函数求出其单调性和极值，再利用函数与方程的思想解不等式即可求得结果. 【详解】因为，所以. 令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解； 设，则函数的图象与直线有两个交点； 易知， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，其图象如下图所示：    又当时，，当时，， 当趋近于时，趋近于0，所以，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将切线条数转化为方程根的个数，再构造函数并求出函数单调性和极值，将问题转化为两函数图象交点个数，解不等式即可求解. 12．（2025·辽宁·三模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是的变号零点，则可求出并通分化简后得到，再检验时，是否为函数的极大值点即可得. 【详解】 ， 由，则，， 故恒成立，令， 由是函数的极大值点， 故，解得， 当时，， 则，，即且， ， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在、上单调递减， 故是函数的极大值点，符合要求. 故选：A. 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 14．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 15．（2025·浙江丽水·一模）若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得或，构造函数，则，结合导数可得函数性质，从而得到与的根的关系，即可得间关系，从而可得与间关系；再借助作差法，结合导数计算可得与关系，即可得解. 【详解】由，则或， 则或，令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当或时，仅有一根，当时，有两根， 又，则最多有两根， 由题意可得与共有四个不同根， 故，设两根分别为、，且， 则两根分别为、，则， 则有或， 若，则、、、， 若，则、、、， 故，， 由，则，即有，故D正确，C错误； ，， 则， 令，则， 则当时，，则在上单调递增， 由，则，即， 即，即有，故A、B错误. 故选：D. 16．（2025·四川成都·一模）若函数存在最大值，且满足恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一、求得，求得的单调性和最值，或者利用二次函数的性质，求得，由，令，转化为恒成立，利用导数求得的单调性和最小值，得到，代入求得，即，即可求解. 【详解】解法一：由函数，可得 若，则恒成立，在R上单调递减，不存在最大值； 若，令，可得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值，故， 又由，其中， 令，即为恒成立， 由，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 即，可得，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 解法二：由函数， 当时，函数取得最大值，所以， 又由，其中， 令，即为恒成立， 由，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 即，可得，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 17．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出存在实数，使函数在上没有最值时，实数m的取值范围；根据其补集求得当任意实数，使函数在上有最值时，实数m的取值范围即可. 【详解】命题"任意实数，函数在上有最值"的否定如下， 是"存在实数，使函数在上没有最值", 即存在实数，使函数在上单调, 即存在实数，使，或在上恒成立. 由，得. 因为，，所以. 令，易知在上单调递减， 所以. 令，易知在上单调递减，所以. 令，则在上单调递减，所以. 所以当时，， 即存在实数，. 所以； 当时，得到， 即存在实数，. 所以. 所以当存在实数，使函数在上没有最值时，得到或. 所以当任意实数，使函数在上有最值时，得到. 所以实数m的取值范围为. 故选：A. 18．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 二、多选题 19．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（   ） A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 20．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】先求导函数的极值点，再代入原函数得，化简可得，可判断A选项；根据极值存在条件可得，可判断B选项；由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即，可判断C选项；由A选项得，结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，得. 当时，有极小值. 因为的极值点是的零点. 所以，又，故，A对； 对于B选项，因为有极值，故有两相异实根， 由得，且，得. 此时有两个相异的实根，. 列表如下 极大值 极小值 故的极值点是、，从而，B对； 对于C选项，由A选项知，. 设，则. 当时，，从而在上单调递增. 因为，所以，故，即，则，C错； 对于D选项，由A选项可知，D对. 故选：ABD. 21．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．若是的极小值点，则在上单调递减 B．若存在极值点，且（其中），则 C．若，过点作函数的切线最多有2条 D．若在上的最大值为，则的最小值为2 【答案】BD 【分析】对函数求导，分析导数的变号零点即可得到A选项；确定极值点，根据，因式分解即可得到B选项；求导写出切线方程，代入点化简求导即可得到C；根据最大值的定义，求出边界值，即可得到D. 【详解】由题，因为是的极小值点， 所以,则或， 当时，，则函数无极值点； 当时，得或， 则函数在上单调递增，故A错误； 若存在极值点，则，又（其中）， 所以，所以， 所以，故B正确； 若，设切点为，则切线方程为, 因为过点，所以， 即，令，则， 所以，而， 所以有三个零点，即切线最多有条，故C错误； 若在上的最大值为， 则， ，因为， 所以 所以，故D正确. 故选：BD. 22．（25-26高三上·海南海口·开学考试）已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．当时，在区间单调递减 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有2个零点 【答案】BC 【分析】对A选项，当时，可选用特殊值代入判断；对B 选项，求导，再对求得的导数求导，根据正负判断单调性即可，进而判断原函数的单调性；对C选项，时，，求导，再根据函数的性质进行判断即可；对D选项，利用单调性可判断 【详解】当时，若，则有，此时∴A错误． 当时，，令， 当时，，，在上递减．∴B正确． 当时，，令， 则，令，则， 当时，，递增，又，所以在上存在唯一的零点， 则当递减，当递增， 是在区间上的唯一极小值点，∴C正确． 当时，，定义域为，，恒成立 在定义域内为增函数， 不可能有2个零点. 故选： 23．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解法一：根据对称性转化判断B，C，再化简计算判断A，应用导数得出单调性判断D.解法二：利用函数同构得出B，化简判断A，C，根据单调性计算判断D. 【详解】解法一：设直线与曲线分别交于点与点， 因为直线垂直于直线与互为反函数， 则点与点关于直线对称， 所以，于是并且，故B错误，C正确； ，即，故A正确； 因为在单调递增，且， 故，令， 则，所以在单调递减， 所以，即，即，所以D正确. 故选:ACD. 解法二：利用函数同构，直接得到，， 得，得到.B错误； 对于，A正确； 对于，C正确； 对于，在上递减，得，，D正确. 故选:ACD. 24．（2025·浙江金华·一模）已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，根据在处取得极小值即可求解；对于B，根据和到对称轴的距离即可判断；对于C，对进行因式分解即可求解；对于D，因为时，、，再结合的单调性以及、的函数值即可求解． 【详解】对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确； 对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为， 则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误； 对于C，解不等式，即，整理为， 因式分解得，解得，故解集为，故C正确； 对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时， 由于，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 25．（2025·海南·一模）已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】设过点的直线与的图象相切于点， 则切线斜率，由切线过点，得， 因此，整理得. 令，则， 原问题等价于有三个不同零点. 当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数小题压轴 压轴分析 高考数学中，导数小题往往以压轴题形式出现，其难点不仅在于计算，更在于对导数工具的综合运用与代数结构的深度解析。真正的压轴难点在于将几何直观、代数变形与极限分析融为一体，考查学生在复杂情境下选择与转化策略的能力。命题人常通过含参函数、切线及公切线、隐零点、极值点偏移等情境设置障碍，其核心是检验学生能否突破形式限制，洞察问题本质，灵活选取求导、构造、放缩、数形结合等方法。解题的关键在于建立“分析-转化-求解链”：首先分析题目结构，识别其属于单调性、极值、零点或不等式中的哪一类问题；然后通过求导、换元、分离参数等手段进行代数转化；最后结合函数性质、极限思想或特殊点取值完成严谨推理。掌握“结构识别→方法选择→严谨推证”的思想路径，方能从抽象问题中构建清晰、简洁的解答框架。 知识总结 1. 函数切线相关问题 核心问题 关键方程/结论 说明 求切线方程（在某点） 已知切点 ，利用导数求斜率 求切线方程（过某点） 设切点 ，列方程： 1. 斜率 2. 点斜式： 点 为曲线外一点，通过解方程求 公切线问题 设两曲线 与 若存在公切线，设切点分别为 , 则： 1. 斜率相等： 2. 切线重合： 转化为关于 的方程组，讨论解的存在性 常用切线放缩（不等式） （当且仅当 取等） （当且仅当 取等） （当 时） 利用切线构造不等式桥梁，是比大小与证明题的重要工具 2. 导数与函数性质 2.1 单调性 关键步骤：先求 ，再解不等式 或 确定单调区间。含参时需分类讨论导数的符号。 2.2 极值与最值 · 极值的必要条件：若 在 处可导且取得极值，则 。 · 极值的第一充分条件：通过 在 两侧的符号变化判断。 · 极值的第二充分条件：若 且 ，则： · 求连续函数在闭区间 上的最值：比较端点值 和所有极值点的函数值。 3. 导数与函数的零点（方程的根） 3.1 零点存在性定理（结合单调性） 若 在 上连续，且 ，则 在 内至少有一个零点。若再配合 在 上严格单调，则零点唯一。 3.2 “隐零点”问题的处理 当方程 的解 无法精确求出时： 1. 设 为 的根，并确定其大致范围（如 ）。 2. 将 用 满足的方程（如 ）进行代换化简。 3. 将 转化为关于 的新函数 ，利用其单调性估计范围或符号。 4. 常见不等式证明与放缩 目标 常用方法 证明 （恒成立） 1. 求 ，证明最小值 2. 利用常见不等式（如切线放缩）进行放缩 证明存在 使 寻找特殊点代入，或利用极限思想（如 时 ） 含参不等式恒成立 1. 分离参数： 恒成立 2. 不分离参数：讨论函数 的最值，对 分类讨论 5. 解题流程要点 1. 结构识别：审题判定问题属于切线、单调性、极值、零点、不等式中的哪一类或哪几类的综合。 2. 方法选择： 切线问题：关注“切点”、“斜率”、“点在线上”的几何条件。 单调性/极值：求导，讨论 符号。 零点问题：结合单调性与零点存在定理，或转化为两函数图像交点。 不等式证明：考虑最值法、放缩法或构造函数法。 3. 严谨推证：含参问题注意分类讨论的完整性；利用导数工具时，定义域优先；涉及极限、趋近过程时，表述需严谨。 典例精讲 【典例1】 （24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则a的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是 【典例2】 （2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（24-25高二下·湖北·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例3】 （24-25高二下·辽宁沈阳·月考）已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4】 （2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·全国·模拟预测）若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽六安·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【典例5】 （2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·重庆·模拟预测）已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·二模）已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例6】 （2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，若有唯一解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 会一题通一类 1．（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典例7】 （2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数，下列四个结论中正确的有（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，恒成立 C．若有两个不同的根，则 D．若有两个根，则 会一题通一类 1．（2025·江西新余·模拟预测）（多选）已知函数，则（    ） A．若，则 B．可以有2个极值点 C．若，则是增函数 D．若有两个零点，则 2．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）（多选）已知函数.（   ） A．在上单调递增 B．是奇函数 C．过点可作曲线的两条切线 D．当时，恒成立 热点预测 1．（25-26高三上·重庆·开学考试）若函数 满足 ，且 ，则 的极大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南玉溪·模拟预测）（多选）函数有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知函数，则（   ） A．，使得为单调函数 B．，的图象恒有对称中心 C．当时， D．若，，是方程的三个不同的根，则 8．（2025·辽宁大连·一模）（多选）记的导函数，下列说法正确的是（   ） A．在上一定有3个极值点 B．在上一定有4个零点 C．过上一点作切线，若存在三个点的切线斜率相同，则k的取值范围为 D．记，则一定是偶函数 9．（24-25高二下·山东济南·期末）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ． 10．（2025·河南·模拟预测）某正六棱柱外接球的表面积为，则该正六棱柱的体积的最大值为 . 模拟训练 一、单选题 11．（2025·山东·模拟预测）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·三模）若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 14．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2025·浙江丽水·一模）若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 16．（2025·四川成都·一模）若函数存在最大值，且满足恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数，函数在上有最值，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2025·四川·三模）已知是函数的极大值点，则（   ） A．函数的极小值为0 B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．若（其中），则 20．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点，则（    ） A． B． C．的最小值为 D． 21．（2025·全国·模拟预测）已知函数，则（    ） A．若是的极小值点，则在上单调递减 B．若存在极值点，且（其中），则 C．若，过点作函数的切线最多有2条 D．若在上的最大值为，则的最小值为2 22．（25-26高三上·海南海口·开学考试）已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，恒成立 B．当时，在区间单调递减 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有2个零点 23．（2025·安徽合肥·一模）已知分别为与的零点，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·浙江金华·一模）已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（    ） A． B． C．的解集为 D． 三、填空题 25．（2025·海南·一模）已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $