2026年1月世界少年奥林匹克思维能力测评活动（地区赛）九年级数学竞赛试题

绝密★启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 (2026年1月) 选手须知： 1.本卷共两部分，第一部分：填空题，共计72分；第二部分：解答题，共计78分。 2答题前请将自已的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置。 毆 3测评时不能使用计算工具。 4.测评完毕试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 总分 核查人 如 得分 露 7O777 邮 九年级试题 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 一、 填空题（每题9分，共计72分） 评卷人 1.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调。通过实验 毁 K 发现，当水而高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出“so”的音符。若AC=12cm,则水 面高度BC为 cm. (结果保留一位小数) 771VO 杯 2.己知x,y为正整数，满足y+(x-8)y-8)=0,则x+y= 3.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水。 御 水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种 物质不相邻”，则事件A出现的概率是 (结果用数值表示)。 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是BC的中点，连接AE,AF平分∠DAE 交CD于点F,连接BF交AE于点G,则AG= A 九年级 第1页 5.设关于x的方程a2+(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根x、x,且，<2<3<书， 那么实数a的取值范围是 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2。以点A为圆心， 以AD为半径作DE交AB于点E,以点B为圆心，以BE为半径作E亦交BC于点F,连接FD交E亦 于另一点G,连接CG。图中阴影部分面积是 (结果保留x) D G 7.如图：在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠交直径AB于点D,点E是 AD的中点，连接OB,若OE的最小值为2，则AB一· B 8.如图所示，半径为r的圆O内切于正△POR,M为边PQ上一点，N为边PR上一点，且直 切于点E,△PN的内切圆C与MN相切于点F,若圆C的半径为 值为 8 九年级 第2页 得分 二、解答题（第9题~第13题每题10分，第14题13分，第15题15分，共计78分） 评卷人 9.对实数a,b定义运算·如下：当a≤b时，ab=ab:当a>b时，ab=d-ab+b2,若3*x=10, 求[-6x]的值([y表示不超过x的最大整数)。 10.环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在：污染物排放量 相当大，远远高于环境的自净力。某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环 境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少 的百分常相同。预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立 方米废气需投入4.5万元，问两期治理完后共需投入多少万元？ 1山.已知二次函数y=x2-(m+2)x+3。设函数y=x-(m+2)x+3在1≤x≤2范围内的最大值 为M,最小值为N,且M-N≤2，求实数m的取值范围。 九年级 第3页 12.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E, 过点C作CG⊥AB交AB于点G,交AE于点F,过点E作EP⊥AB交AB于点P,∠EAD=∠DEB。 连接PF,若CG=I2,AC=15,求四边形CFPE的面积 13.已知∠MPN的两边分别与圆O相切于点A,B圆O的半径为r, M M N B B N 图1 图2 备用图 (1)如图1，点C在点A,B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数： (2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？ 请说明理由。 九年级 第4页 14.如图，抛物线y= 2+x与x轴皎于点46.0). D 0 A 备用图 (1)点B(L,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D,若 0C=5 CD,求点D的坐标 (2)抛物线上是否存在点P,使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由。 九年级 第5页 I5.如图①，己知矩形ABCD,BC>AB,点E、F分别在BC和AD上，将矩形ABCD沿EF折叠， 点B的对应点B恰好落在CD上，点A的对应点为点？。 D A B 马到成 B 11111101111110 E 设计方案 图① 图② 图③ (1)如图②，若AB=6,BC=I0,AB与CD交于点G,且BG⊥AB于点G,求BC的长。 贸 (2)元旦将至，某平面创意公司计划用矩形硬卡纸与信纸制作元旦贺卡，以此喜迎马年。制作时，如 o 图③将信纸完整贴合在硬卡纸的矩形ABCD区域上，为融入数学对称之美，设计师在BC、AD上分别取点 知 E和点F,连接EF,把四助形ABEF区域沿EF折叠，使点B的对应点B怡好落在CD边上。为使贺卡的 色彩布局更具美感，对折叠后的平面进行区域划分与者色，即过点B作BH⊥AB,连接AH、CH,将四 o/ 边形ABCH区域作为着色重点区域。经设计验证：当四边形ABCH的面积达到最大值时，贺卡的视觉效果 部 最为端庄大气。己知在矩形ABCD中，AB=4Ocm,BC=30cm,当四边形ABCH面积最大时，求BE的 长度。 长 K 蜥 杯 相 九年级 第6页