三角函数：画三角函数图像、三角函数的伸缩平移、三角函数的性质专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数：画三角函数图像、三角函数的伸缩平移、三角函数的性质专项训练 三角函数：画三角函数图像、三角函数的伸缩平移、三角函数的性质专项训练 考点目录 画三角函数图像 三角函数的伸缩平移 三角函数的性质 考点一 画三角函数图像 例1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【详解】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 例2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设函数. （1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； （2）若，求的值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【详解】解：（1）列表如下： 0 2 0 -2 0 2 （2）解：由，得， 由， 得， 由， 得， 则. 例3．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）答案见解析；（ii）单调递增区间：；单调递减区间： (2)存在实数，证明见解析 【详解】（1）（i）当时，列表如下： 0 0 1 0 1 2 描点如图： （ii）由图可知，单调递增区间：； 单调递减区间：. （2）存在实数，使得的图象是中心对称图形； 对称中心为. 下证明：①对于任意. 所以 ； ②对于任意，. 所以 ； 综上所述，存在实数，使得的图象关于中心对称. 例4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数过原点． (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据． 0 0 1 0 0 【答案】(1)； (2)，，； (3)填表见解析. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 变式1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2)或 【详解】（1）因为， 则列表如下： 所以的图象如图， （2）因为，所以， 又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图， 因为方程在有两个不同的实数根， 所以与的图象有两个交点，故或. 变式2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，其中为三角形的内角且满足. (1)求出角.（用弧度制表示） (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为轴上每格的长度为1） 0 【答案】(1) (2)列表见解析，图像见解析 【详解】（1）为三角形的内角，可得，又得 （2）列表： 0 0 1 0 -1 0 变式3．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数. (1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图） (2)设，当时，试讨论函数零点情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）列表如下： 0 0 0 2 0 -2 （2）令，则，由，则， 结合的图象研究与公共点个数. （i），即，有4个公共点； （ii），即，有5个公共点； （iii），即，有4个公共点； （iv），有2个公共点； （v），无公共点. 综上，①或，有4个零点； ②，有5个零点； ③，有2个零点； ④，无零点. 变式4．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【详解】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 考点二 三角函数的伸缩平移 例1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 只要把上所有点向左平移即可得到 故选：C 例2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（  ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为， 所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移2个单位长度， 故选：A. 例3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 即， 令，即， 当时，，即的图象的一个对称中心是， ACD中的，，，取不到， 故选：B 例4．（24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 例5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由最小值为，则，则， 将向右平移个单位长度后恰好过原点， 则， 则，又，则的最大值为. 故选：A. 例6．（25-26高三上·安徽合肥·期中）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即，所以的最大值为. 故答案为： 例7．（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】求出平移后的解析式，根据函数的奇偶性得到方程，求出，进而得到最小值. 【详解】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 例8．（24-25高一下·广东·阶段练习）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 【答案】 【详解】图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到， 横坐标缩短为原来的得到，向右平移个单位长度得到. 故答案为：. 变式1．（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 当是奇函数时，，解得， 因为，则时，． 故选：C． 变式2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】C 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象， 再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. 故选：C 变式3．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移单位后得出，则的解析式是. 故选：B. 变式4．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意函数的最小正周期为，即，所以. 当时，，则； 当时，，则. 故选：B. 变式5．（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称， 可知函数关于直线对称， 若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设， 则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴， 又因为函数的对称轴为轴， 则，解得； 综上所述：或. 结合选项可知：A正确，BCD错误. 故选：A. 变式6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为函数的最小正周期为， 故， 令，解得， 当时，可得函数的一个对称中心为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 变式7．（24-25高一上·湖南湘潭·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】由题意得函数， 又是奇函数，所以，解得，又， 所以当时，取得最小值． 故答案为： 变式8．（25-26高三上·山东·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得， 因为为偶函数，故，可得， 时，时，可得的最小值为. 故答案为： 考点三 三角函数的性质 例1．（25-26高三上·山东潍坊·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数为奇函数 C．若，则或， D．若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【详解】对A：，由于， 故，故A正确； 对B：， 由， 故不为奇函数，故B错误； 对C：，则，， 则或，，故C正确； 对D：，当时，， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 例2．（25-26高三上·四川内江·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确， 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误， 对于D，由，得到，令，得， 所以的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ABD. 例3．（2025·陕西榆林·一模·多选）已知函数（），满足，则关于函数的说法正确的有（   ） A． B．函数的对称中心为（） C．函数的单调递减区间为（） D．函数在上的最小值为 【答案】ACD 【详解】因为，且， 所以图象关于直线对称， 即（），解得（）， 又，所以，，A选项正确. 令（），所以图象的对称中心为（）， B选项错误. 令（），得（）， 所以函数的单调递减区间为（），C选项正确. 设，，因为，所以， 所以当时，函数取得最小值为， 即函数在上的最小值为, D选项正确. 故选：ACD 例4．（25-26高二上·湖南·期中·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．， C．在上单调递减 D．是的图象的一条对称轴 【答案】AC 【详解】对于A项，的最小正周期为，A正确； 对于B项，因为，所以不存在，使得成立，B错误； 对于C项，，则，所以在上单调递减，C正确； 对于D项，，所以不是的图象的一条对称轴，D错误. 故选：AC 例5．（25-26高三上·吉林长春·期中·多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象向左平移个单位长度后得到函数 C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【详解】由图象可知，函数的最大值为，即，，，又，，， 又图象过点，，，解得， 而的最小正周期需要满足，即，解得，，，正确， 函数的图象向左平移个单位长度后，得到新函数，错误， ，的图象关于直线对称，正确， ， 若方程在上有且只有6个根，则，正确. 故选：. 变式1．（2025·甘肃武威·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.     D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 变式2．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）设函数，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，不是函数的最值， 因此的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，由，得，当，即时，，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 变式3．（25-26高三上·山东临沂·期中·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ）    A．函数为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 【答案】BCD 【详解】由图象可得， ,, ，又点在图象上，代入可得, 由，可得， 故. 对于A，， 令，由于，故为奇函数，A错误； 对于B，令，, 解得， 故函数的单调递增区间为 当时，单调区间为， 而，故B正确. 对于C，若 ，则 的最小值为 ， 若 ，则 和 分别为最大值 和最小值 ，或反之. 函数 的周期为 ， 因此相邻最大值和最小值之间的距离为半个周期, 因此，选项C正确. 对于D，函数，，令，得，解得, 当时，时，； 时，； 时，（时，，不符合有2个零点）， 故函数在上有2个零点，则， 解得，故D正确. 故选：. 变式4．（23-24高一下·广西来宾·阶段练习·多选）设函数则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．都有 C．在上单调递减 D．将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 【答案】BD 【详解】对于A，由，可得， 此时函数为奇函数，所以A错误； 对于B，由，所以都有，所以B正确； 对于C，由，可得， 当时，即时，上单调递增； 当时，即时，上单调递减， 所以在先增后减，所以C错误； 对于D，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，可得 再把得到的图象向右平移个单位长度，可得，所以D正确． 故选：BD. 变式5．（25-26高三上·河南三门峡·期中·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．的值域是 D．在上单调递减 【答案】AD 【详解】对于A，，是偶函数，A正确； 对于B，，即不是的周期，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，函数在上单调递减，， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，D正确. 故选：AD 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数：画三角函数图像、三角函数的伸缩平移、三角函数的性质专项训练 三角函数：画三角函数图像、三角函数的伸缩平移、三角函数的性质专项训练 考点目录 画三角函数图像 三角函数的伸缩平移 三角函数的性质 考点一 画三角函数图像 例1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 例2．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设函数. （1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； （2）若，求的值. 例3．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数其中. (1)当时， （i）按关键点列表，并画出函数的简图； （ii）写出的单调区间； (2)是否存在实数，使得的图象是中心对称图形？若存在，写出的值并对图象的对称性加以证明；若不存在，说明理由. 例4．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数过原点． (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据． 0 0 1 0 0 变式1．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 变式2．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，其中为三角形的内角且满足. (1)求出角.（用弧度制表示） (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为轴上每格的长度为1） 0 变式3．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数. (1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，后画图） (2)设，当时，试讨论函数零点情况. 变式4．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 考点二 三角函数的伸缩平移 例1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 例2．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（  ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度 例3．（25-26高三上·安徽·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二下·云南楚雄·月考）将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例6．（25-26高三上·安徽合肥·期中）将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 例7．（24-25高一下·辽宁大连·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是 . 例8．（24-25高一下·广东·阶段练习）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 变式1．（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　） A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变 变式3．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 变式5．（2025·浙江丽水·一模）若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 变式6．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 变式7．（24-25高一上·湖南湘潭·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值是 ． 变式8．（25-26高三上·山东·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 . 考点三 三角函数的性质 例1．（25-26高三上·山东潍坊·期中·多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．函数为奇函数 C．若，则或， D．若在区间上恰有3个零点，则 例2．（25-26高三上·四川内江·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 例3．（2025·陕西榆林·一模·多选）已知函数（），满足，则关于函数的说法正确的有（   ） A． B．函数的对称中心为（） C．函数的单调递减区间为（） D．函数在上的最小值为 例4．（25-26高二上·湖南·期中·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．， C．在上单调递减 D．是的图象的一条对称轴 例5．（25-26高三上·吉林长春·期中·多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象向左平移个单位长度后得到函数 C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有6个根，则 变式1．（2025·甘肃武威·模拟预测·多选）函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 变式2．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）设函数，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称 变式3．（25-26高三上·山东临沂·期中·多选）已知函数的部分图象如图，则（    ）    A．函数为偶函数 B．在上单调递增 C．若，则的最小值为 D．若，函数在上有2个零点，则 变式4．（23-24高一下·广西来宾·阶段练习·多选）设函数则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．都有 C．在上单调递减 D．将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 变式5．（25-26高三上·河南三门峡·期中·多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．的值域是 D．在上单调递减 2 学科网（北京）股份有限公司 $