64.三角函数的图像平移变换（上下平移：“上加下减”）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 64.三角函数的图像平移变换（上下平移：“上加下减”）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的上下平移变换 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，将其图象沿轴方向平移个单位（时向上，时向下），得到新函数的图象，这种变换称为上下平移变换。 ￮ 数学符号/表达式：平移后函数解析式为（上移，下移） ￮ 关键特征：平移仅改变函数的函数值，定义域不变；平移前后函数的形状、大小、对称轴/对称中心的水平位置均不变。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】正弦型函数的上下平移来源 ￮ 定义表述：正弦型函数（）可由基本正弦函数经伸缩、左右平移、上下平移变换得到；其上下平移的本质是对函数整体进行“加、减”操作，遵循“上加下减”原则。 ￮ 数学符号/表达式：由得到，等价于将的图象向上平移个单位（）或向下平移个单位（） ￮ 关键特征：平移量由决定，平移后函数的值域变为；对称轴、对称中心的纵坐标同步平移个单位。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的值域、最值求解 三、题型分类与例题精析 题型1：已知平移方向和距离，求平移后的函数解析式 题型特征：给定基本三角函数或正弦型函数的解析式，明确上下平移的方向和单位长度，求平移后的函数表达式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式，明确函数的基本形式； 2. 根据“上加下减”原则，对函数整体进行加减操作； 3. 整理得到平移后的函数解析式。 例题1 将函数的图象向上平移2个单位，求平移后函数的解析式。 解析： 根据“上加”原则，对函数整体加2，平移后解析式为 答案： 举一反三1-1 将函数的图象向下平移1个单位，求平移后的函数解析式。 解析： 根据“下减”原则，对函数整体减1，平移后解析式为 答案： 举一反三1-2 将函数的图象先向上平移3个单位，再向下平移5个单位，最终的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 先上移3个单位得，再下移5个单位得，选B 答案：B 举一反三1-3 将函数的图象平移后得到的图象，平移方式为（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 解析： 对比原函数与平移后函数，整体加2，根据“上加”原则，平移方式为向上平移2个单位，选A 答案：A 题型2：已知平移前后的解析式，求平移方向和距离 题型特征：给出原函数和平移后函数的解析式，反向推导上下平移的方向和单位长度，核心是计算函数整体的增量。 解题步骤： 1. 对比平移前后的函数解析式，提取函数整体的增量； 2. 根据的正负判断方向（正上移，负下移）； 3. 即为平移的距离。 例题2 已知函数的图象经平移后得到函数的图象，求平移的方向和距离。 解析： 对比原函数与平移后函数，增量，； 根据“下减”原则，平移方向为向下，平移距离为3个单位 答案：向下平移3个单位 举一反三2-1 函数的图象可由的图象经过怎样的平移得到？ 解析： 对比两个函数解析式，增量； 根据“上加”原则，平移方式为向上平移1个单位 答案：向上平移1个单位 举一反三2-2 函数的图象是由的图象平移得到的，下列说法正确的是（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 解析： 函数整体减2，增量，根据“下减”原则，平移方式为向下平移2个单位，选B 答案：B 举一反三2-3 将函数的图象平移后得到的图象，若平移后的函数最大值为5，最小值为-1，且，求平移的方向和距离。 解析： 平移后函数值域为，由题意得，解得； ，故平移方向为向上，平移距离为2个单位 答案：向上平移2个单位 题型3：上下平移与函数值域、最值的综合应用 题型特征：结合上下平移后函数的值域、最值条件，求平移量或参数值，需综合平移规则和三角函数的有界性。 解题步骤： 1. 根据平移规则写出平移后函数的解析式和值域； 2. 结合值域、最值条件列出关于的方程； 3. 解方程求出平移量，确定平移方向和距离。 例题3 将函数的图象向上平移个单位后，函数的最小值为0，求的值。 解析： 上移个单位后解析式为，值域为； 函数最小值为，解得 答案： 举一反三3-1 将函数的图象向下平移个单位（）后，函数的最大值为-1，求的值。 解析： 下移个单位后解析式为，值域为； 函数最大值为，解得 答案： 举一反三3-2 将函数的图象向上平移2个单位后，得到的函数值域为，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 平移后函数值域为，由题意得，解得，即，选C 答案：C 举一反三3-3 将函数的图象平移个单位后，函数的最大值为4，最小值为-2，求的值和平移方向。 解析： 平移后解析式为，值域为； 由题意得，解得； ，故平移方向为向上 答案：，向上平移1个单位 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 将函数的图象向下平移3个单位，得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 根据“下减”原则，对函数整体减3，解析式为，选C 答案：C 2. 多选题 关于函数的上下平移，下列说法正确的有（） A. 向上平移1个单位，得到的图象 B. 向下平移2个单位，函数值域变为 C. 平移后的函数对称轴水平位置不变 D. 向上平移个单位后，函数的最大值为 解析： A正确，符合“上加”原则；B正确，下移2个单位后值域为；C正确，上下平移不改变对称轴水平位置；D正确，原最大值为1，上移个单位后最大值为 答案：ABCD 3. 填空题 将函数的图象向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______。 解析： 根据“上加”原则，解析式为 答案： 4. 解答题 (1) 函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？ 解析： 对比两个函数，整体减1，根据“下减”原则，平移方式为向下平移1个单位 答案：向下平移1个单位 (2) 将函数的图象平移个单位后，函数的值域为，求的值和平移方向。 解析： 平移后解析式为，值域为； 由题意得，解得？修正：若值域为，则，原函数应为，平移后值域为，解得，平移方向为向下平移1个单位 答案：，向下平移1个单位 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将函数（）的图象向下平移3个单位后，函数的最小值为-5，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 平移后值域为，最小值为，解得，选B 答案：B 2. 多选题 已知函数，将其图象平移个单位后得到的图象，则下列说法正确的有（） A. 若，则的最大值为5 B. 若的值域为，则 C. 若，则的对称中心为（） D. 若的最小值为0，原函数应为 解析： A正确，时，最大值为；B正确，值域为，解得；C正确，时，对称中心纵坐标为-1，横坐标为，即；D正确，最小值为，，与原函数无关 答案：ABC 3. 填空题 将函数的图象平移后得到的图象，平移方式为______。 解析： 化简，对比，平移方式为向上平移1个单位 答案：向上平移1个单位 4. 解答题 (1) 已知函数由先向上平移2个单位，再向左平移个单位得到，求的解析式。 解析： 第一步：上移2个单位得； 第二步：左移个单位得，即 答案： (2) 将函数的图象向下平移个单位（），若在区间上的最大值为2，求的值。 解析： ，当时，，最大值为1； 故，解得 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经上下平移后能与的图象重合，则称与为“上下平移重合函数”。已知，，若与为上下平移重合函数，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 化简； 与为上下平移重合函数，故，选B 答案：B 2. 多选题 将函数（）的图象向上平移1个单位得到的图象，若在上有且仅有4个零点，则的取值范围可能为（） A. B. C. D. 解析： ，令得； 当时，，要使有且仅有4个零点，需满足，取，解得，，在范围内，选BC 答案：BC 3. 填空题 已知函数，若的图象关于点对称，则的值为______。 解析： 正弦函数对称中心的函数值为0，故，解得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的图象过点和，且的最大值为3，最小值为-1，若，，求和的值。 解析： 由最值得，解得，验证点：，符合 答案： (2) 将函数的图象向上平移个单位（），再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若与的图象有公共点，求的取值范围。 解析： 上移个单位得； 横坐标伸长为2倍得； 令，即； 化简得，其值域为； ，的取值范围为 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 64.三角函数的图像平移变换（上下平移：“上加下减”）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的上下平移变换 ￮ 定义表述：设函数的定义域为，将其图象沿轴方向平移个单位（时向上，时向下），得到新函数的图象，这种变换称为上下平移变换。 ￮ 数学符号/表达式：平移后函数解析式为（上移，下移） ￮ 关键特征：平移仅改变函数的函数值，定义域不变；平移前后函数的形状、大小、对称轴/对称中心的水平位置均不变。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】正弦型函数的上下平移来源 ￮ 定义表述：正弦型函数（）可由基本正弦函数经伸缩、左右平移、上下平移变换得到；其上下平移的本质是对函数整体进行“加、减”操作，遵循“上加下减”原则。 ￮ 数学符号/表达式：由得到，等价于将的图象向上平移个单位（）或向下平移个单位（） ￮ 关键特征：平移量由决定，平移后函数的值域变为；对称轴、对称中心的纵坐标同步平移个单位。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的值域、最值求解 三、题型分类与例题精析 题型1：已知平移方向和距离，求平移后的函数解析式 题型特征：给定基本三角函数或正弦型函数的解析式，明确上下平移的方向和单位长度，求平移后的函数表达式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式，明确函数的基本形式； 2. 根据“上加下减”原则，对函数整体进行加减操作； 3. 整理得到平移后的函数解析式。 例题1 将函数的图象向上平移2个单位，求平移后函数的解析式。 举一反三1-1 将函数的图象向下平移1个单位，求平移后的函数解析式。 举一反三1-2 将函数的图象先向上平移3个单位，再向下平移5个单位，最终的函数解析式为（） A. B. C. D. 举一反三1-3 将函数的图象平移后得到的图象，平移方式为（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 题型2：已知平移前后的解析式，求平移方向和距离 题型特征：给出原函数和平移后函数的解析式，反向推导上下平移的方向和单位长度，核心是计算函数整体的增量。 解题步骤： 1. 对比平移前后的函数解析式，提取函数整体的增量； 2. 根据的正负判断方向（正上移，负下移）； 3. 即为平移的距离。 例题2 已知函数的图象经平移后得到函数的图象，求平移的方向和距离。 举一反三2-1 函数的图象可由的图象经过怎样的平移得到？ 举一反三2-2 函数的图象是由的图象平移得到的，下列说法正确的是（） A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位 C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位 举一反三2-3 将函数的图象平移后得到的图象，若平移后的函数最大值为5，最小值为-1，且，求平移的方向和距离。 题型3：上下平移与函数值域、最值的综合应用 题型特征：结合上下平移后函数的值域、最值条件，求平移量或参数值，需综合平移规则和三角函数的有界性。 解题步骤： 1. 根据平移规则写出平移后函数的解析式和值域； 2. 结合值域、最值条件列出关于的方程； 3. 解方程求出平移量，确定平移方向和距离。 例题3 将函数的图象向上平移个单位后，函数的最小值为0，求的值。 举一反三3-1 将函数的图象向下平移个单位（）后，函数的最大值为-1，求的值。 举一反三3-2 将函数的图象向上平移2个单位后，得到的函数值域为，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 举一反三3-3 将函数的图象平移个单位后，函数的最大值为4，最小值为-2，求的值和平移方向。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 将函数的图象向下平移3个单位，得到的函数解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数的上下平移，下列说法正确的有（） A. 向上平移1个单位，得到的图象 B. 向下平移2个单位，函数值域变为 C. 平移后的函数对称轴水平位置不变 D. 向上平移个单位后，函数的最大值为 3. 填空题 将函数的图象向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______。 4. 解答题 (1) 函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？ (2) 将函数的图象平移个单位后，函数的值域为，求的值和平移方向。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 将函数（）的图象向下平移3个单位后，函数的最小值为-5，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 多选题 已知函数，将其图象平移个单位后得到的图象，则下列说法正确的有（） A. 若，则的最大值为5 B. 若的值域为，则 C. 若，则的对称中心为（） D. 若的最小值为0，原函数应为 3. 填空题 将函数的图象平移后得到的图象，平移方式为______。 4. 解答题 (1) 已知函数由先向上平移2个单位，再向左平移个单位得到，求的解析式。 (2) 将函数的图象向下平移个单位（），若在区间上的最大值为2，求的值。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经上下平移后能与的图象重合，则称与为“上下平移重合函数”。已知，，若与为上下平移重合函数，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 多选题 将函数（）的图象向上平移1个单位得到的图象，若在上有且仅有4个零点，则的取值范围可能为（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知函数，若的图象关于点对称，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的图象过点和，且的最大值为3，最小值为-1，若，，求和的值。 (2) 将函数的图象向上平移个单位（），再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若与的图象有公共点，求的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $