精品解析：广东省兰州市知行中学2025-2026学年九年级数学上学期期末试卷

兰州市知行中学2025～2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据俯视图的定义进行解题即可． 【详解】解：俯视图是； 故选A． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 3. 如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有16种等可能的结果，其中两次都是有理数的有4种， 两次记录的数字都是有理数的概率是， 故选：C． 4. 反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数定义，得到，求得，再根据反比例函数图形性质，得到，即可确定m的值． 【详解】解：为反比例函数， ， ，， 又反比例函数的图像在第二，四象限， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握：反比例函数的一般形式为或，，图像过一、三象限，，图像过二、四象限． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，求得，与是以点为位似中心的位似图形，可得位似比为，由点A的坐标可得点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， 又与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：C． 6. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的16万人增加到2024年的25万人．设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列方程即可． 【详解】解：设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x， 则x满足的方程是， 故选：B． 7. 若，则的值是() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质；通过设定比例常数，表示、、，然后代入表达式直接计算． 【详解】解：∵，设， ∴，，． ∴． 故选：D． 8. 若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键，根据反比例函数的性质，分情况讨论三个点的位置（全正、全负、正负混合），分析各选项中的大小关系是否可能成立． 【详解】解：∵，，三点均在反比例函数图象上，且， ∴当时，，则C正确； 当时，，则B正确； 当时， ，则D正确； 当时，，则C正确； ∴A始终无法成立， 故选：A． 9. 如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，正方形中，，连接交对角线于点，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质易证S△DEF∽S△AEB，再根据相似三角形的面积比为相似比的平方即可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠EDF=∠EBA，∠EFD=∠EAB，AB=DC， ∴， ∵DC＝3DF，∴DF:AB=1:3 ∴S△DEF：S△AEB＝1：9. 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 11. 反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质是解题的关键，把分类讨论，分别判断反比例函数与一次函数图象位置即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故选：A． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 由已知比例关系，设参数表示变量，代入所求分式化简即可． 【详解】由，设，， 则， 故答案为：． 13. 已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在中，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于点，设，根据题意可得，进而解直角三角形得出，，即可求解． 【详解】解：如图， 作于点， 设， ， ， ， ，． ． ． ． ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：x（x+1）＝2（x+1）． 【答案】 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理成一般形式，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】方程化为 或 解得 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 详解】解： 18. 在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． （1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图； （2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． （3）如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图、添加小正方体的限制条件及表面积计算，涉及知识点：三视图的画法、几何体的空间结构、表面积的计算（注意接触面不喷漆）．解题关键是准确判断三视图的形状及暴露面的数量，易错点是添加小正方体时忽略视图限制，或计算表面积时重复/遗漏面． （1）根据几何体的层数和列数画三视图；按正、左、上三个方向观察几何体，画出视图即可； （2）结合左视图和俯视图的限制，确定可添加小正方体的位置； （3）分别计算各个方向的暴露面，求和得喷漆面积． 【小问1详解】 【小问2详解】 保持左视图和俯视图不变，如图所示： 最多添加3． 【小问3详解】 小正方体棱长为，每个面面积为，计算暴露面： 前面/后面：各看到个面，共个； 左面/右面：各看到个面，共个； 上面：看到个面； 接触面（底面）不喷漆，故总面积为 19. 小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． （1）①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． （2）已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】（1）①平行；②； （2）建筑物的高为15米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【小问1详解】 解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等证明四边形ABCD为菱形； （2）先通过菱形的性质证明DE⊥BD，再根据平行四边形的判定证明四边形ACED为平行四边形，再由勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD， ∴AB＝AD， 又∵BA＝BC， ∴AD∥BC，且AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD， ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC＝5， ∴BE＝BC+CE＝10， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE＝＝6． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定以及勾股定理，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定方法． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式和一次函数表达式． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数， 将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴， 将点，分别代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式． 【小问2详解】 令直线交x轴于点M，如图 将代入，得 ， 解得， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 由图像及，，可知，当或时，． 22. 如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． （1）求证：； （2）求的值； （3）如果 ，求的值． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 【答案】 98.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题. 根据题意可得，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得， 设米， 则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 答：万楼的高约为米． 24. 学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （3）补全条形统计图； （4）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）72；40 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，列举法求概率等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用A等级的人数及百分比求出总人数； （2）根据D等级的人数除以总人数再乘以得到表示D等级的扇形的圆心角度数；根据C等级的人数除以总人数得到C等级所占百分比，从而求得的值； （3）用总人数减去其他几个等级的人数求出B等级的人数，补全统计图即可； （4）先利用列表法求出总数，再利用概率公式求概率． 【小问1详解】 由表可知，A等级的人数为3人，占比， 参加比赛的学生人数共有名． 故答案为：20． 【小问2详解】 ． 在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为． C等级占比，所以． 故答案为：72；40． 【小问3详解】 B等级人数为人． 补全条形统计图如图所示： 【小问4详解】 由题知，A等级中男生有1名，女生有2名，根据题意，列出表格如下： 共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰好是一男一女的概率为． 25. 综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°． 操作与发现： （1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ； （2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ． 操作与探究 ： （3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论． 【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意及图形可直接解答； （2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案； （3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证． 【详解】（1）如图所示： △ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ， ，四边形ACBF是矩形，AB=4， AB=CF=4； 故答案为：矩形，4 ； （2）如图所示： △ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ， ，四边形ECBF是平行四边形， 点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形， EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分， ，， 故答案为：菱形，； （3）证明：如图所示： ∵ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴四边形ACBF为平行四边形 ∵ ∴四边形ACBF为矩形． 【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可． 26. 阅读材料：如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD 解决问题： （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系； （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）． 【答案】（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论. （2）不成立.根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论. （3）. 【解析】 【详解】分析：（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF≌△COD，即可得出结论. （2）根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOF∽△COD，即可得出结论. （3）如图，连接CO、DO，仿（2）可证△BOF∽△COD，从而. 由点O是AB的中点，可得CO⊥AB， ∴.∴. 解：（1）相等.证明如下： 如图，连接CO、DO， ∵△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点， ∴BO=CO，CO⊥AB.∴∠BOC=900. 同理，FO=DO，∠DOF=900. ∴∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF. ∴∠BOF=∠COD.∴△BOF≌△COD（SAS）. ∴BF=CD. （2）不成立. 如图，连接CO、DO， ∵△ABC是等边三角形，∴∠CBO=600. ∵点O是AB的中点，∴CO⊥AB，即∠BOC=900. ∴在Rt△BOC中，. 同理，∠DOF=900，.∴. 又∵∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF ∴∠BOF=∠COD.∴△BOF∽△COD.∴. ∴. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市知行中学2025～2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、选择题：（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的16万人增加到2024年的25万人．设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值是() A. B. C. D. 8. 若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则正切值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，正方形中，，连接交对角线于点，那么（ ） A. B. C. D. 11. 反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 已知，那么_______． 13. 已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 14. 如图，在中，，则长为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程：x（x+1）＝2（x+1）． 17. 计算：． 18. 在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示． （1）画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到形状图； （2）如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体． （3）如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？ 19. 小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． （1）①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． （2）已知小军的身高为米，求建筑物的高． 20. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接AC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求ED的长． 21. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 22. 如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． （1）求证：； （2）求的值； （3）如果 ，求值． 23. 万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 请根据表中的测量数据，求万楼的高；（精确到0.1米，参考数据，，，）； 课题 测量万楼的高 测量说明 测量示意图 说明：是高为米的测角仪，在点处测得楼顶的仰角，点处测得此时楼顶的仰角，（、、三点在同一条直线上） 测量数据 的度数 的度数 的水平距离 73米 24. 学校举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后将参赛学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题． （1）参加比赛的学生人数共有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ； （3）补全条形统计图； （4）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率． 25. 综合与实践 问题背景： 综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究． 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，△ABC≌△DEF， 其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°． 操作与发现： （1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ； （2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是 ，CF= ． 操作与探究 ： （3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF． 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论． 26. 阅读材料：如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD 解决问题： （1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论； （2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系； （3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $