2025—2026学年苏科版九年级数学上册期末数学模拟试卷

九年级（上）期末数学模拟试卷（1） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1 2．（3分）以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定 3．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B．若AD＝1，AB＝3，AC＝2，则AE的长是（　　）A． B．1 C． D．2 4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝32°，则∠A的度数为（　　）A．29° B．32° C．34° D．58° 5．（3分）溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　）A． B． C． D． 第3题 第4题 第5题 第8题 6．（3分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3，若方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（　　） A．﹣4＜p＜﹣3 B．﹣4＜p≤﹣3 C．﹣4≤p＜﹣3 D．﹣4≤p≤﹣3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣2024＝0的两根，则x1+x2＝ 　 　 ． 8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝2，DF＝6.5，则EF＝ 　 　 ． 9．（3分）已知圆锥的母线长为6，其侧面积为18π，则该圆锥底面圆的半径为 　 　 ． 10．（3分）在阳光下，身高为1.6m的小强在地面上的影长为2.4m，同一时刻，测得附近一旗杆的影长为12m，则旗杆的高度为 　 ． 第10题 第12题 第14题 第15题 第16题 11．（3分）某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的7.2万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为 　 　 ． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），以点O为位似中心，把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1，则在第一象限内点A1的坐标为 　 　 ． 13．（3分）一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为 　 ． 14．（3分）如图，点G是等腰直角三角形ABC的重心，若CA＝CB＝3，则AG的长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 16．（3分）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，若的长为2π，则AE2+BE2＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程： （1）（x+1）2﹣9＝0； （2）x2+4x﹣5＝0． 18．(本题满分8分) 从，，三人中随机挑选两人参加市乒乓球双打比赛． （1）被选中的概率为　▲　；（2）用树状图或列表法求，都被选中的概率． 19．(本题满分8分) 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： ．丙运动员10次测试成绩： 12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 ．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 12.5 中位数 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 0.034 0.056 （1）表中的值为 　12.5　 ； （2）表中　　 0.056（填“”“ ”或“” ； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 　　 ． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0． （1）试说明：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2（x1＜x2）是该方程的两个根，且x2＝2x1，求k的值． 21．如图，点A、B、C、D在⊙O上，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，CE⊥AB，给出下列信息：①；②F是EC的中点；③BD＝2BF． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论，组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是 　 　 ，结论是 　 　 （填写序号）．证明：　 　 ． 22．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，AB＝AD，EB＝EC，AD、BE交于点F． （1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；（2）若CD＝2BD，AB＝6，AF的长． 23． (本题满分10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，BA、CD的延长线相交于点E，且AB＝AD． （1）求证：BC＝EC； （2）若⊙O的半径为9，CD＝14，求AD的长． 24．综合与实践 某农场打算将长32m的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长8m的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为78m2，求长方形的两边长： 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为99m2，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 25．如图1，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，E、D、F分别为AC、AB、BC上的动点（点E不与A、C重合，点F不与B、C重合），过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，且∠EDF＝90°； （1）求证：△AME∽△FNB； （2）如图2，若四边形CEDF是正方形，求MN的长； （3）若N为AB的中点，试判断AM与DN能否相等，如果能相等，求出AM的长；如果不能相等，请说明理由． 26．定义：△ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在⊙O上，则称△ABC为⊙O的“完美三角形”． 【初步认识】下列⊙O内接三角形一定是⊙O的“完美三角形”的有 　 　 （填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为30°的直角三角形． 【探索本质】如图1，△ABC是⊙O的“完美三角形”，其内心I关于BC的对称点D在⊙O上． ①求∠BAC的度数； ②若BC＝3，求⊙O的半径． 【理解应用】如图2，⊙O的半径为，弦AB＝24． ①仅用圆规在⊙O上作出点C，使△ABC为⊙O的“完美三角形”（作出符合条件的一种情况即可，不写作法，保留作图痕迹）； ②直接写出AC所有可能的值． 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）期末数学模拟试卷（1）答案 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1 【解答】解：∵x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1． 故选：A． 2．（3分）以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定 【解答】解：如图，作BD⊥AC，交AC于D，连接OA、OD，∵BC为直径， ∴点D在圆上，∵∠ADO＞90°＞∠OAD，∴OA＞OD， ∴顶点A在⊙O外．故选：C． 3．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B．若AD＝1，AB＝3，AC＝2，则AE的长是（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴， ∵AD＝1，AB＝3，AC＝2，∴BD＝2，∴，∴AE，故选：C． 4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠D＝32°，则∠A的度数为（　　） A．29° B．32° C．34° D．58° 【解答】解：∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝32°， ∴∠COD＝58°， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A+∠ACO＝2∠A， ∴∠A58°＝29°， 故选：A． 5．（3分）溱潼古镇历史悠久，具有丰富的文化底蕴，古镇上诸多亭廊的设计兼具实用性和审美性．如图，某亭子的平面图是由正方形和正八边形复合而成，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设ON＝a，则OAa＝OM，∵△OAB∽△OCD，∴， 故选：B． 6．（132分）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3，若方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（　　） A．﹣4＜p＜﹣3 B．﹣4＜p≤﹣3 C．﹣4≤p＜﹣3 D．﹣4≤p≤﹣3 【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3， ∴b＝﹣（﹣1+3）＝﹣2，c＝﹣1×3＝﹣3， ∵方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数，∴x2﹣2x﹣3﹣p＝0的两根为正数， ∴Δ≥0且﹣3﹣p＞0，∴4﹣4（﹣3﹣p）≥0，p＜﹣3， ∴﹣4≤p＜﹣3． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣2024＝0的两根，则x1+x2＝ 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．（3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝3，BC＝2，DF＝6.5，则EF＝ 　　 ． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ 又∵AB＝3，BC＝2，DF＝6.5，∴EF．故答案为：．． 9．（3分）已知圆锥的母线长为6，其侧面积为18π，则该圆锥底面圆的半径为 　3　 ． 10．（3分）在阳光下，身高为1.6m的小强在地面上的影长为2.4m，同一时刻，测得附近一旗杆的影长为12m，则旗杆的高度为 　8m ． 11．（3分）某国产品牌的新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从8月份的5万辆增长到10月份的7.2万辆，则这两个月汽车销售量的月平均增长率为 　20%　 ． 【解答】解：设从8月份到10月份的月平均增长率为x， 根据题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 故答案为：20%． 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），以点O为位似中心，把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1，则在第一象限内点A1的坐标为 　（4，6）　 ． 【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A1OB1， 而点A的坐标为（2，3）， ∴点A1的坐标为（2×2，2×3），即（4，6）． 故答案为：（4，6）． 13．（3分）一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为 　4cm2 ． 【解答】解：设一条直角边长为xcm，则另一条直角边长为（6﹣x）cm， 由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（2）2， 整理得：x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，6﹣x＝4； 当x＝4时，6﹣x＝2； ∴这个直角三角形的两条直角边长为2cm、4cm， ∴这个直角三角形的面积为2×4＝4（cm2）， 故答案为：4cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． 14．（3分）如图，点G是等腰直角三角形ABC的重心，若CA＝CB＝3，则AG的长为 　　 ． 【解答】解：如图，等腰直角三角形ABC中，G是重心， 延长AG交BC于D， ∵G是△ABC的重心，∴CD＝DBBC3，AGAD， ∵△ABC等腰直角三角形，AC＝3，∴AD，∴AG． 故答案为：． 15．（3分）如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　5　 ． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 16．（3分）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB＝CD，AB⊥CD，垂足为E，若的长为2π，则AE2+BE2＝ 　32　 ． 【解答】解：连接OA，OD，过点作OF⊥AB于F，OH⊥CD于H，如图所示： 则∠OHE＝∠OFE＝∠OFA＝90°，AF＝BF，CH＝DH， ∵AB⊥CD， ∴四边形OFEH是矩形， ∵AB＝CD， ∴OF＝OH，AF＝BF＝CH＝EH， ∴矩形OFEH是正方形， ∴OF＝EF＝EF＝HO，∠HOF＝90°， ∴EF+BE＝EH+DE， ∴BE＝DE， ∴AE2+BE2＝AE2+DE2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，∴AE2+BE2＝AD2， 设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝R， 在Rt△OAF和Rt△ODH中， ， ∴Rt△OAF≌Rt△ODH（HL）， ∴∠AOF＝∠DOH， ∵∠DOH+∠DOF＝∠HOF＝90°， ∴∠AOF+∠DOF＝90°， 即∠AOD＝90°， ∵AD弧的长为2π， ∴， ∴R＝4， ∴OA＝OD＝R＝4， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：AD2＝OA2+OD2＝32． ∴AE2+BE2＝32． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程： （1）（x+1）2﹣9＝0； （2）x2+4x﹣5＝0． （2）先把利用因式分解法把方程转化为x+5＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（x+1）2﹣9＝0，（x+1）2＝9，x+1＝±3，所以x1＝2，x2＝﹣4； （2）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣5，x2＝1． 18．从，，三人中随机挑选两人参加市乒乓球双打比赛． （1）被选中的概率为　　；（2）用树状图或列表法求，都被选中的概率． 【解答】解：（1）； （2）列表如下： 共有6种等可能的结果，其中，都被选中的结果有2种， ，都被选中的概率为． 19．校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： ．丙运动员10次测试成绩： 12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 ．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 12.5 中位数 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 0.034 0.056 （1）表中的值为 　12.5　 ； （2）表中　　 0.056（填“”“ ”或“” ； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 　　 ． 【解答】解：（1）甲的10次测试成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9， 中位数，故答案为：12.5； （2）乙的方差为： ， ，故答案为：； （3）丙的平均数， 丙的平均数最大，则实力最弱， 方差，乙实力最强， 丁的测试成绩中位数为12.45， 第5，6次成绩和为24.9， 前5次测试成绩小于平均数，甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， 丁比甲强， 这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0． （1）试说明：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2（x1＜x2）是该方程的两个根，且x2＝2x1，求k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2k） ＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k＝4＞0， 故无论k为何值，方程总有实数根； （2）由题意可得：，， ∵x2＝2x1，∴3x1＝2k+2，， ∴， 解得k1＝2，k2＝﹣4， ∵k＝﹣4时，x1＝﹣2，x2＝﹣4，不满足x1＜x2， ∴k的值为2． 21．如图，点A、B、C、D在⊙O上，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，CE⊥AB，给出下列信息：①；②F是EC的中点；③BD＝2BF． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论，组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是 　①③（答案不唯一）；　 ，结论是 　②（答案不唯一）　 （填写序号）．证明：　见解答过程　 ． 【解答】解：（1）当补充条件①②时，结论是③，此命题是真命题， 证明：连接AD，BC，AC，如图1所示： ∵， ∴AD＝BC，∠DBA＝∠CAB， ∵∠DBC＝∠DAC，∠ACB＝∠BDA， ∴∠DBC+∠DBA＝∠DAC+∠CAB，即∠ABC＝∠BAD， 在△ABC和△BAD中，， ∴△ABC≌△BAD（AAS）， ∴AC＝BD， ∵BE＝AB，F是EC的中点， ∴BF是△AEC的中位线， ∴AC＝2BF， ∴BD＝2BF； （2）当补充条件①③时，结论是②，此命题是真命题， 证明：连接AD，BC，AC，过点B作BF'∥AC交CE于F'，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴BD＝AC， ∵BD＝2BF ∴AC＝2BF， ∵BE＝AB，BF'∥AC ∴BF'是△AEC的中位线， ∴AC＝2BF’，点F’是EC的中点， ∴BF＝BF'， ∴点F与点F'重合， ∴点F是EC的中点； （3）当补充条件②③时，结论是①，此命题是真命题， 证明：连接AD，BC，AC，如图3所示： ∵BE＝AB，点F是EC的中点， ∴BF是△AEC的中位线， ∴AC＝2BF， 又∵BD＝2BF， ∴AC＝BD， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①③（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明见解答过程． 22．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，AB＝AD，EB＝EC，AD、BE交于点F． （1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由； （2）若CD＝2BD，AB＝6，AF的长． 【解答】解：（1）△FDB∽△ABC，理由如下： ∵EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵AB＝AD， ∴∠ABC＝∠ADB， ∴△FDB∽△ABC； （2）∵CD＝2BD，CD+BD＝BC， ∴BC＝3BD， ∴， ∵△FDB∽△ABC， ∴， ∴AB＝3FD， ∵AB＝6， ∴FD＝2， ∵AD＝AB＝6， ∴AF＝AD﹣FD＝4． 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，BA、CD的延长线相交于点E，且AB＝AD． （1）求证：BC＝EC； （2）若⊙O的半径为9，CD＝14，求AD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵AB＝AD， ∴∠BCA＝∠ECA， 在△BCA和△ECA中， ， ∴△BCA≌△ECA（ASA）， ∴BC＝EC． （2）解：连接BD． ∵⊙O的半径为9， ∴BC＝2×9＝18， 在Rt△BCD中利用勾股定理，得BD2＝BC2﹣CD2＝182﹣142＝128， ∵BC＝EC， ∴BC＝CD+ED， ∴18＝14+ED， ∴ED＝4， ∵△BCA≌△ECA， ∴AB＝AE， ∵AB＝AD， ∴AB＝AD＝AE， 设AB＝AD＝AE＝x， 则AB＝AE＝x， ∴BE＝AB+AE＝2x， 在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE2＝BD2+ED2， ∴（2x）2＝128+42， ∴x＝6， ∴AD＝6． 24．综合与实践 某农场打算将长32m的篱笆全部用来围成一个长方形的生物园饲养小兔，现有一面长8m的墙可利用． 【解决问题】按图1的围法，若长方形的面积为78m2，求长方形的两边长： 【设计方案】若围成长方形的面积恰好为99m2，请在图2中画出满足要求的一种方案，并标出每段篱笆的长度． 【解答】解：【解决问题】设垂直于墙面的一边长x米，则平行于墙面的一边为（32﹣2x）米， 根据题意得x（32﹣2x）＝78， 解得x＝3或x＝13； ∴32﹣2x＝32﹣2×3＝26（大于8，舍去）或32﹣2x＝32﹣2×13＝6， ∴垂直于墙面的一边长13米，平行于墙面的一边为6米； 【设计方案】设垂直于墙面的一边长p米，平行于墙面的一边为q米， 根据题意得， 解得：或， ∴垂直于墙面的一边长9米，平行于墙面的一边为11米或垂直于墙面的一边长11米，平行于墙面的一边为9米； 画出一种方案如图： 25．如图1，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，E、D、F分别为AC、AB、BC上的动点（点E不与A、C重合，点F不与B、C重合），过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为M、N，且∠EDF＝90°； （1）求证：△AME∽△FNB； （2）如图2，若四边形CEDF是正方形，求MN的长； （3）若N为AB的中点，试判断AM与DN能否相等，如果能相等，求出AM的长；如果不能相等，请说明理由． Ⅱ 【解答】（1）证明：∵EM⊥AB，FN⊥AB， ∴∠EMA＝∠FNB＝90°＝∠C， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠AEM＝90°， ∴∠B＝∠AEM， ∴△AME∽△FNB． （2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°， ∴AB＝10． 当四边形CEDF是正方形时，则CE＝DE＝DF＝CF， 设CE＝DE＝DF＝CF＝x， ∵DF∥AC， ∴△BFD∽△BCA， ∴，即， 解得：x． ∴AE＝6，BF＝8， ∵∠A＝∠A，∠AME＝∠C＝90°， ∴△AME∽△ACB， ∴， 即，解得ME，AM， 又由（1）中△AME∽△FNB，可得， 即，得BN， ∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝10． （3）证明：AM与DN不能相等，理由如下： 若N为AB中点，则AN＝BN＝5， ∵∠B＝∠B，∠FNB＝∠C＝90°， ∴△FNB∽△ACB， ∴，即，FN， 假设AM＝DN＝m，则DM＝AN﹣AM﹣DN＝5﹣m﹣m＝5﹣2m， 由△AME∽△ACB可得，即， 故EM． ∵∠EDF＝90°， ∴∠EDM+∠FDN＝90°， 又∵∠EDM+∠MED＝90°， ∴∠FDN＝∠MED， 又∵∠EMD＝∠FND＝90°， ∴△EMD∽△DNF， ∴，即EM•NF＝DN•MD， 即，整理得：2m2＝0， 可得m1＝m2＝0，但不合题意，从而假设不成立， 故AM与DN不可能相等． 26．定义：△ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心，若I关于该三角形某条边的对称点恰好在⊙O上，则称△ABC为⊙O的“完美三角形”． 【初步认识】下列⊙O内接三角形一定是⊙O的“完美三角形”的有 　①③　 （填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为30°的直角三角形． 【探索本质】如图1，△ABC是⊙O的“完美三角形”，其内心I关于BC的对称点D在⊙O上． ①求∠BAC的度数； ②若BC＝3，求⊙O的半径． 【理解应用】如图2，⊙O的半径为，弦AB＝24． ①仅用圆规在⊙O上作出点C，使△ABC为⊙O的“完美三角形”（作出符合条件的一种情况即可，不写作法，保留作图痕迹）； ②直接写出AC所有可能的值． 【解答】解：【初步认识】可以先做【探索本质】，我们发现∠BAC＝60°， 也就是要想满足⊙O的“完美三角形”，需要有一个内角为60°， 因此①③符合题意， 故答案为：①③； 【探索本质】①如图，连接IB、IC、DB、DC， 设∠ABI＝α，∠ACI＝β， ∵I是△ABC的内心， ∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠ABI＝∠CBI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β， ∵I和D关于BC对称， ∴∠DBC＝∠CBI＝α，∠DCB＝∠BCI＝β， ∴∠ABD＝3α，∠ACD＝3β， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，即3α+3β＝180°， ∴α+β＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝2α+2β＝120°， ∴∠BAC＝60°； ②连接OB、OC，过O作OG⊥BC于点G，则BG＝CGBC， 由①知∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠OBG＝∠OCG＝30°， ∴OB， 即⊙O的半径为； 【理解应用】①由【探索本质】满足⊙O的“完美三角形”，需要有一个内角为60°，所以我们需要做一个内角为60°的三角形， 因为AB＝24，半径为7， 所以∠BCA不可能为60°， 如图，△ABC即为所求， 作法提示：以B为圆心，BO为半径画弧，与⊙O，且B右侧交于点E； 以E为圆心，EO为半径画弧，与⊙O，且E右侧交于点C； 连接AC、BC，则△ABC即为所求； 证明提示：△BOE和△COE为等边三角形，则得出∠BOC＝120°，进而得到∠BAC＝60°； ②由①知，我们需要作一个内角为60°，因为∠BCA不可能为60°，所以∠BAC＝60°或者∠ABC＝60°， Ⅰ，当∠BAC＝60°时，如图，连接OB、OC1， 由作图可知∠BOC1＝120°，∴BC1OB＝21，过B作BF⊥AC1于点F， ∵∠BAC1＝60°，∴AFAB＝12，BF＝AB•sin60°＝12， 在Rt△ABC1中，C1F3，∴AC1＝15； 过B作BM⊥AC2，此时AM＝12，MC2＝3， ∴AC2＝AM﹣MC2＝9； Ⅱ，当∠ABC＝60°时， 由前述讨论可知，此时AC为60°对边， ∴AC3＝AC4＝21； 综上，AC可能的值为21或15或9． 第9页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $