四川省成都市2025-2026学年上学期九年级数学一诊考前第二次练习

2025-2026学年度成都市九年级数学一诊考前第二次练习 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（   ） A． B． C． D． 4．下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 6．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 7．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 第II卷（非选择题，共68分） 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．分解因式： ． 10．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 11．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是 ． 13．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 15．为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 16．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 17．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．计算： ． 20．已知，且满足，，那么的值为 ． 21．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 22．如图，的顶点在轴正半轴上，，，反比例函数的图象过点和的对称中心，则的值为 ． 23．如图，中， ∠，点D是边上的动点， 连接，以为边在其左侧作等边，在点D 的运动过程中，线段的中点M与点E 距离的最小值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 25．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求m，k的值； (2)点为反比例函数图象上的一点（点与点不重合），过点作直线平行于轴，与一次函数的图象交于点，连接． ①如图1，连接，，，若，求点的坐标； ②如图2，过点作直线轴，与反比例函数图象交于点，连接，若，求点的坐标． 26．问题背景：如图，在菱形中，，是一条对角线，点M为直线上一个动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，当点C′在线段的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图2，若点M与点B重合，连接交于点O，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M在点C右侧，如图3，连接，若，，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度成都市九年级数学一诊考前第二次练习 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，逐一分析各选项． 【详解】解：选项A：含两个未知数x和y，不符合题意； 选项B：仅未知数x，最高次数2，整式方程，符合题意； 选项C：含分式，非整式方程，不符合题意； 选项D：化简得，即，为一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．已知，则代数式的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 由，可设，（），代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴ 设，（）， 则， ∴ 代数式的值为， 故选：C． 3．如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据主视图是从正面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从正面看到的图形，即主视图如下： ， 故选：B． 4．下列的各点中，在反比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数 图象上的点横纵坐标乘积应等于系数5，据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数 图象上点的坐标横纵坐标乘积为常数5， A：； B：； C：； D：； ∴ 点在图象上， 故选：C． 5．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 6．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 7．如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由三角形外角的性质可判断A，从而可得答案． 【详解】解：A．根据三角形外角的性质知，故选项A不能判定的相似； B．∵，∴，且不是夹角，由已知条件无法判定两三角形相似故选项B不能判定与相似； C．∵，∴，又，∴，故选项C能判定与相似； D．∵，∴，其中不是与的边，故选项D无法判定与的相似； 故选：C． 8．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键．根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或． 【详解】解：∵正比例函数的图像与反比例函数的图像都关于原点对称，则两函数的交点也关于原点对称， ∵点的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 根据函数图象可得：当时，或． 故答案为：或． 11．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 12．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之积为常数项，代入已知根可求另一个根． 【详解】解：设方程的两根为和，则， 设，则， 所以， 故答案为：． 13．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若为该方程的两个根，求（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可求出答案． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，即， ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 15．为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【答案】(1)240，35 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； （2）解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图如图： （3）把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 16．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 17．如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是菱形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． B卷（共50分） 1、 填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简，掌握其运算规则是解题的关键．根据题意，分母不变，分子相减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 20．已知，且满足，，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，由已知条件，和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系，可得，，所求可化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 21．“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【详解】解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 22．如图，的顶点在轴正半轴上，，，反比例函数的图象过点和的对称中心，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．作轴，垂足为H，根据平行四边形的性质得到，，设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为H， 四边形是平行四边形，， ，， 设，则， 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得：， 解得：， 由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 23．如图，中， ∠，点D是边上的动点， 连接，以为边在其左侧作等边，在点D 的运动过程中，线段的中点M与点E 距离的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图，取的中Q，连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，；证明，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图，取的中点Q，连接，即， ∵中， ∠， ∴， ∵线段的中点M， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴当时，最小， 此时的值最小． ∵， ∴． ∴的最小值为3， 即线段的中点M与点E 距离的最小值为3． 故答案为：3． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． (1)若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． (2)活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】(1) (2)20元或40元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； （2）解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 25．一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． (1)求m，k的值； (2)点为反比例函数图象上的一点（点与点不重合），过点作直线平行于轴，与一次函数的图象交于点，连接． ①如图1，连接，，，若，求点的坐标； ②如图2，过点作直线轴，与反比例函数图象交于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)1；4 (2)①或  ② 【分析】（1）先利用一次函数求点坐标，代入反比例函数求值； （2）①设参：，则，，然后化斜为直，过作于点，过作于点，，据此建立方程求解即可； ②过作于点，过作于点，可证△△，可得，从而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， ， 将点代入得，； ，； （2）①记、交于点， 由（1）知反比例函数表达式为， 设， 点在直线上，且轴， ， 由点和点可得直线解析式为， ， 过作于点，过作于点， 则， △△， ， ， ， 整理得， ，，即， 解得或（舍去）， 此时； ，，即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或； ②过作于点，过作于点， 设，则，， ， ，， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， ， ，， 解得或， 点和点重合，点和点重合，不合题意； ，， 解得或（舍去）， 此时， 综上，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26．问题背景：如图，在菱形中，，是一条对角线，点M为直线上一个动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，当点C′在线段的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图2，若点M与点B重合，连接交于点O，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M在点C右侧，如图3，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）矩形，理由见解析（3）的长为或 【分析】（1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）四边形是矩形；理由如下： ∵点M与点B重合，将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ∴， 在菱形中，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点N是中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （3）的长为或；理由如下： ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图4， 取中点为E，连接， ∵点N为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵E为中点， ∴，即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $