精品解析：辽宁省大连市中山区2025—2026学年上学期期末八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 2026.1 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是指大气中直径米颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若使分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面四个图中，线段是高的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（ ） A B. C. D. 8. 如图是屋架设计图一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 说明的依据是 B. C. 上任意一点到两边的距离相等 D. 点M，N到的距离不相等 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 计算：______． 13. 等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是______． 14. 当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为______．（用含的式子表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图，中，，． （1）作边的垂直平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 20. 观察下列等式： ， ， ， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； （2）规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； （3）类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 21. 【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； （3）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； （4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 23. 【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． （1）如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． （2）如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 2026.1 （本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二十四节气，是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令，蕴含着悠久的文化内涵和历史积淀，请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 是指大气中直径米的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 在平面直角坐标系中，若点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4. 若使分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义需分母， ∴． 故选：C． 5. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握“因式分解是将多项式化为几个整式积的形式”是解题的关键． 根据因式分解“将多项式化为几个整式积的形式”的定义，逐一判断选项． 【详解】解：∵选左边：（整式的积）右边：（多项式）， ∴不是因式分解； 选项B：，且左边是整式的积，右边是多项式， ∴不是因式分解； 选项C：右边：（整式的差）， ∴不是因式分解； 对于选项D：左边：（多项式），右边：（整式的积），且成立； ∴是因式分解； 故选：． 6. 下面四个图中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项D中是的高． 故选：D． 7. 如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键．由已知条件可得，，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 8. 如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：B． 9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：，该选项正确，符合题意； ，应为，该选项错误，不符合题意； ，该选项正确，符合题意； ，该选项正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 10. 用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 说明的依据是 B. C. 上任意一点到两边的距离相等 D. 点M，N到距离不相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D． 【详解】解：A、由作图可知：， 又， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、由作图可得：，故B正确，不符合题意； C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故C正确，不符合题意； D、过点N作于点P，过点M作于点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的运算规则．熟悉零指数幂的定义：任何非零数的次幂都等于，即（其中），是解题的关键．根据零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：∵对于非零数，有， ∴． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再合并所得结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 等腰三角形的一边长是8，周长是18，则它的另外两边长是______． 【答案】8，2或5，5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握分类讨论思想的应用，分别从腰长为8与底边长为8去分析求解是关键．分两种情况：当腰长为8时，底边长为8时，求出等腰三角形的另外两条边长即可． 【详解】解：当腰长为8时，另外底边长为， 因为，所以此时8，8，2能组成三角形，符合题意； 当底边长为8时，另外腰长为， 因为，所以此时5，5，8能组成三角形，符合题意； 综上分析可知：它的另外两边长是8，2或5，5． 故答案为：8，2或5，5． 14. 当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式因式分解的结果是，若取，时，则有，，，12，17，13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317．对于多项式，当取，时，请你写出用上述方法生成的密码为______． 【答案】1822404 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法（平方差公式）是解题的关键． 先对多项式因式分解，再代入数值计算各因式的值，最后将因式码排序得到密码． 【详解】解：∵ 多项式 因式分解为 又∵ ，， ∴ ， ， ， ∵ 因式码按从小到大排列为 ， ∴ 密码为 ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且．点是轴上的动点，当的值最小时，则点的坐标为______．（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质、两点之间线段最短以及一次函数的性质．解题的关键是利用轴对称的性质，将的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，然后通过求直线方程来确定点的坐标． 利用轴对称的性质得到点关于轴的对称点的坐标，根据两点之间线段最短确定取最小值时的情况，先求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵， ∴点关于轴的对称点的坐标为， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，即的值最小， 设直线的方程为， ∵直线经过点和， 代入直线方程可得， ∵， ∴解得， ∴直线的方程为， ∵点在轴上， ∴点的横坐标为， 将代入直线的方程，得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，负整数指数幂． （1）先计算多项式的乘法，再合并同类项即可； （2）直接计算负整数指数幂即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先对括号里的减法运算进行通分，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式，再把的值代入求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由（1）得，由三角形内角和定理可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ． 19. 如图，中，，． （1）作边的垂直平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是通过垂直平分线得到，从而得到，然后利用平角求． （1）分别以点、点为圆心，大于长度为半径画弧线，在的左右两侧有两个交点，过两交点作直线，即为所求． （2）由和 可求出 各内角的度数．由垂直平分线的性质可得，从而．进而可求出，再利用平角求出的度数． 【小问1详解】 解：如图所示，是边的垂直平分线． 【小问2详解】 解：∵ 中，，， ∴． ∴ ． ∵是的垂直平分线，点 D 在上， ∴ ． ∴ ． 在 中，由三角形内角和定理： ． ∴ ． 又 三点共线， ∴ ． ∴． 的度数为． 20. 观察下列等式： ， ， ， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； （2）规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； （3）类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】（1） （2） （3）运算规律为：，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【小问1详解】 解：， ， ，…… ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 21. 【教材呈现】 （1）①两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的平均攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰，求这两个小组的平均攀登速度各是多少？（单位：） ②如果山高为，第一组的平均攀登速度是第二组的倍（其中），并且比第二组早到达顶峰，直接写出第二组的平均攀登速度为 ；（结果用含、、的式子表示） 【拓展延伸】 （2）如果山高为，第一组准备一半路程以的平均速度攀登，另一半路程以的平均速度攀登（）；第二组准备全程以的平均速度攀登，请判断哪一组先到达顶峰，并说明理由． 【答案】（1）①：第一组平均攀登速度为第二组为；②：第二组的平均攀登速度为 ；（2）第二组先到达顶峰 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式的混合运算： （1）①通过设未知数列方程求解；②通过时间差公式推导； （2）通过计算总时间并比较大小判断 【详解】解：（1）①设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 即 解得 答：第一组平均攀登速度为，第二组为 ②设第二组的平均攀登速度为，则第一组的平均攀登速度为 根据题意，得 化简得 解得 所以第二组的平均攀登速度为  解：（2）第一组总时间 第二组总时间 ∵ ， ∴，且, ,， ∴，即 ∴第二组先到达顶峰 答：第二组先到达顶峰 22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： （1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； （3）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； （4）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）方法1：；方法2： （3） （4）17 【解析】 【分析】本题考查了代数式的几何意义，完全平方公式的应用，用两种不同的方法表示同一图形的面积是解题的关键． （1）直接写出阴影部分的正方形的边长即可； （2）按题目要求回答即可； （3）根据（2）问中的两个结论用等式表示出来即可； （4）结合图形，通过图形拼补即可表示出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：图1中每个小长方形的长为宽为，图2中阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方法1：直接用正方形面积公式，边长为，面积为； 方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积．大正方形边长为，面积为；4个小长方形面积为,因此阴影面积为； 故答案：，； 【小问3详解】 解：由阴影面积的两种表示方法，可得：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ， ， ∵， ∴， ， ∴阴影部分面积． 23. 【问题背景】综合实践课上，王老师给出了这样一道题：在等边右侧作射线，（），点A关于射线的对称点为点D，连接．求的大小（用含的代数式表示）． 小明读完题后很快给出了解法：如图，连接．点A关于射线的对称点为点D， 为的垂直平分线 ， 根据等腰三角形的三线合一性质可得． 是等边三角形，，，，． ． 【变式拓展】为了帮助学生更好地掌握几何推理计算和证明方法，感悟数学思想，王老师对上述问题进行了变式和拓展，请你解答下面问题：已知等边，过顶点C作射线，（），点B关于射线的对称点为点D，交于点E，射线交于点G，连接． （1）如图1，若射线在边右侧， ①求的大小（用含的代数式表示）； ②求证：． （2）如图2，若射线在边左侧，且，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）①；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用等边三角形的性质求得，，利用轴对称的性质求得，，再利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可； ②利用①的结论结合等边对等角求得，，在射线上取点，使，连接，在射线上取点，使，连接，证明是等边三角形，利用证明，求得，据此即可证明结论成立； （2）同（1）求得，，利用直角三角形的性质求得，作于点，利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在射线上取点，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵等边， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $