辽宁省大连市中山区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥0 D．x＞0 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3a2÷6a2＝2a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．a3•a4＝a7 6．（3分）若a≠b，则下列化简一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝35°，则∠BDC的度数是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 8．（3分）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 9．（3分）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（　　） A．（7，4） B．（6.5，4） C．（6，4） D．（4.5，4） 10．（3分）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A．a2+4a B．2a2+8a C．2a2+4a D．a2+8a 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：2﹣1+（π+2）0＝　 　． 12．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝　 　． 13．（3分）计算：＝　 　． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝6，则点D到边BC的距离是　 　． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，当PO+PA的值最小时，∠OAP的度数是 　 　． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）计算： （1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）． 17．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3． 18．（7分）如图，AB＝AC，∠A＝40°． （1）作AB边的垂直平分线MN，直线MN交AC边于点D，连接BD；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求∠DBC的度数． 19．（6分）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为10＝32+12；再如：M＝x2+2x+2＝（x+1）2+12（x是整数），所以M也是“妙数”． （1）判断20是否为“妙数”　 　（填“是”或者“否”）； （2）已知M＝x2+4xy+8y2﹣12y+8+k（x，y是整数），k是常数，要使M为“妙数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 20．（9分）A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 21．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图1是2025年1月份的月历，我们用如图2所示的“N”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，再相减，例如：10×12﹣17×5，20×22﹣27×15，不难发现，这两个代数式计算结果都等于　 　（请完成填空）． （2）设“N”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）在2025年某月历中，用正方形框框住如图3阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为y，求y的值． 22．（12分）【教材呈现】 人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B． ①如图2，小涛认为：作∠BAC的平分线AE，因为AB＞AC，所以在AB上截取AD＝AC，连接DE，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为AB＞AC，所以在AB边上截取AD＝AC，连接CD，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】 通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图1，在△ABC中，∠ACB＞∠B．求证：AB＞AC． 【知识应用】 如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＞AC+CD．求证：∠C＞2∠B． 23．（13分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，使DE＝DC． （1）求证：∠BDE+∠BAC＝180°； （2）如图2，在BC上取点F，使BF＝DC，连接FE并延长至点G，使∠FED＝∠FDG，延长DG交BA延长线于点H．求证：DH＝EF； （3）如图3，在（2）的条件下，连接EH，若BF+EH＝10，，∠AHE＝∠C，求△DEF的面积． 2024-2025学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D D D B A D 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A、示意图不是轴对称图形，不符合题意； B、示意图不是轴对称图形，不符合题意； C、示意图是轴对称图形，符合题意； D、示意图不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A.＝2，故A不符合题意； B.是最简二次根式，故B符合题意； C.＝3，故C不符合题意； D.＝，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥0 D．x＞0 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x+3≥0， 解答x≥﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法和除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【解答】解：A．与 不能合并，所以A选项不符合题意； B．×＝＝2，所以B选项符合题意； C． ÷＝＝＝2，所以C选项不符合题意； D． ×＝＝，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 5．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3a2÷6a2＝2a2 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2ab2）3＝﹣6a3b6 D．a3•a4＝a7 【分析】根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则逐项计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意； C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故此选项不符合题意； D、a3•a4＝a7，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 6．（3分）若a≠b，则下列化简一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：无法约分，则A不符合题意； 无法约分，则B不符合题意； 无法约分，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 7．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝35°，则∠BDC的度数是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可． 【解答】解：∵在△ABE和△ACD中 ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠C＝∠B， ∵∠B＝35°， ∴∠C＝35°， ∵∠A＝60°， ∴∠BDC＝∠A+∠C＝95°， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC＝∠A+∠C． 8．（3分）在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的性质，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB和△DOC是全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【解答】解：在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴AB＝CD， 故选：B． 【点评】本题考查的是全等三角形的应用，掌握SAS公理是解题的关键． 9．（3分）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（　　） A．（7，4） B．（6.5，4） C．（6，4） D．（4.5，4） 【分析】由题意得，此图形的对称轴为直线x＝，则可得点D的纵坐标为4，横坐标为2×4﹣1＝7，即可得出答案． 【解答】解：∵点A（3，0）与点B（5，0）对称， ∴此图形的对称轴为直线x＝， ∴点D的纵坐标为4，横坐标为2×4﹣1＝7， ∴点D的坐标为（7，4）． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称、坐标确定位置，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 10．（3分）如图，从边长为（a+4）的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（　　） A．a2+4a B．2a2+8a C．2a2+4a D．a2+8a 【分析】根据拼图得出拼成长方形的长、宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：拼成的长方形的长为a+4+4＝a+8，宽为a，因此面积为a（a+8）＝a2+8a， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）计算：2﹣1+（π+2）0＝　　． 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：2﹣1+（π+2）0 ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝　y（x+2）（x﹣2）　． 【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：x2y﹣4y， ＝y（x2﹣4）， ＝y（x+2）（x﹣2）． 故答案为：y（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键． 13．（3分）计算：＝　　． 【分析】根据分式的乘法法则计算即可． 【解答】解：•＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝6，则点D到边BC的距离是　6　． 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：如图：过点D作DE⊥BC于E， ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝6， ∴DE＝AD＝6，即点D到边BC的距离是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，当PO+PA的值最小时，∠OAP的度数是 　45°　． 【分析】作O关于l的对称点E，找到最小值，再根据等腰三角形的性质求解． 【解答】解：作O关于l的对称点E，连接AE交l于P′， 则OP＝EP， ∴PO+PA＝EP+PA≥AE，此时P与P′重合， ∵A（4，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线l， ∴E（0，4），OA＝4，∠AOB＝90°， ∴OE＝4＝OA， ∴∠OAP＝∠OEP＝（180°﹣90°）＝45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，理解转化思想和等腰三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）计算： （1）； （2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）． 【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先根据平方差公式和多项式乘法法则计算，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝+6﹣2+1 ＝2+6﹣2+1 ＝7； （2）原式＝y2﹣4﹣（y2+4y﹣5） ＝y2﹣4﹣y2﹣4y+5 ＝﹣4y+1． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了整式的混合运算． 17．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3． 【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x＝3代入求出即可． 【解答】解：原式＝[﹣]÷， ＝×， ＝×， ＝， 当x＝3时，原式＝＝1． 【点评】本题综合考查了分式的加减法则、乘除法则，约分等知识点的应用，关键是考查学生的运算能力，培养学生的解决问题的能力，题目比较典型，是一道很好的题目． 18．（7分）如图，AB＝AC，∠A＝40°． （1）作AB边的垂直平分线MN，直线MN交AC边于点D，连接BD；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求∠DBC的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质推出∠DBA＝∠A＝40°，再根据等边对等角即可推出结果． 【解答】解：（1）作图如图所示； （2）∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝40°， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°， ∴∠DBC＝70°﹣40°＝30°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 19．（6分）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为10＝32+12；再如：M＝x2+2x+2＝（x+1）2+12（x是整数），所以M也是“妙数”． （1）判断20是否为“妙数”　是　（填“是”或者“否”）； （2）已知M＝x2+4xy+8y2﹣12y+8+k（x，y是整数），k是常数，要使M为“妙数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【分析】（1）把20写成两个整数平方和的形式，再根据已知条件中的定义进行判断即可； （2）把M＝x2+4xy+8y2﹣12y+8+k的右边的多项式进行分组，写成两个完全平方公式，从而列出关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵20＝22+42， ∴20是“妙数”， 故答案为：是； （2）k＝1，理由如下： M＝x2+4xy+8y2﹣12y+8+k ＝（x2+4xy+4y2）+（4y2﹣12y+8+k） ＝（x+2y）2+（4y2﹣12y+8+k）， ∵要使M为“妙数”，4y2﹣12y+8+k必须是完全平方式， ∴8+k＝9， 解得：k＝1． 【点评】本题主要考查了因式分解及其应用和新定义，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． 20．（9分）A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【分析】设B型机器人每小时搬运x kg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，根据A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，列方程即可得到结论． 【解答】解：设B型机器人每小时搬运x kg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料， 依题意得＝， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝100． 答：A型机器人每小时搬运100kg原料，B型机器人每小时搬运80kg原料． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21．（8分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图1是2025年1月份的月历，我们用如图2所示的“N”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，再相减，例如：10×12﹣17×5，20×22﹣27×15，不难发现，这两个代数式计算结果都等于　35　（请完成填空）． （2）设“N”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）在2025年某月历中，用正方形框框住如图3阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为y，求y的值． 【分析】（1）根据题中的算式，进行计算可得到结果； （2）分别表示出A、B、D、E位置的数，再根据题意，进行计算，即可证得结果． （3）分别表示出各个位置上的数，找出最大和最小的数，进行计算可得到结果． 【解答】（1）解：10×12﹣17×5＝35，20×22﹣27×15＝35， 故答案为：35； （2）证明：∵C上的数为x， ∴B上的数为（x﹣1），D上的数为（x+1），A上的数为（x+6），E上的数为（x﹣6）， ∴（x﹣1）（x+1）﹣（x+6）（x﹣6） ＝x2﹣1﹣（x2﹣36） ＝x2﹣1﹣x2+36 ＝35； （3）解：设中间位置上的数为y， ∴左边的数为（y﹣1），右边的数为（y+1），y上面的数为（y﹣7），y下面的数为（y+7）， 左上角的数为（y﹣8），右上角的数为（y﹣6）， 左下角的数为（y+6），右下角的数为（y+8）， ∴最大的数为（y+8），最小的数为（y﹣8）， ∴（y+8）（y﹣8）＝225， ∴y2﹣64＝225， ∴y2＝289， ∴y＝±17， ∵日历中的数y＞0， ∴y＝17． 【点评】本题考查了整式的混合运算，涉及到平方差公式的应用，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． 22．（12分）【教材呈现】 人教版八年级上册数学教材第84页《实验与探究》有这样一段话： 在一个三角形中，等边所对的角等；反过来，等角所对的边等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？ 为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B． ①如图2，小涛认为：作∠BAC的平分线AE，因为AB＞AC，所以在AB上截取AD＝AC，连接DE，利用全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． ②如图3，小亮认为：因为AB＞AC，所以在AB边上截取AD＝AC，连接CD，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明． 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程． 【类比分析】 通过上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面的问题，请你解答． 如图1，在△ABC中，∠ACB＞∠B．求证：AB＞AC． 【知识应用】 如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＞AC+CD．求证：∠C＞2∠B． 【分析】【教材呈现】 ①如图2，小涛：作∠BAC的平分线AE，因为AB＞AC，所以在AB上截取AD＝AC，连接DE，证明△ADE≌△ACE（SAS），得∠ADE＝∠ACB，然后利用三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明； ②如图3，小亮：因为AB＞AC，所以在AB边上截取AD＝AC，连接CD，得∠ADC＝∠ACD，然后利用三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明； 【类比分析】把AC沿∠A的平分线AD翻折，点C落在AB上的点D处，由∠ADE＝∠C，∠ADE＞∠B，可得点D在边AB上，得AB＞AC； 【知识应用】AB上截取AE＝AC，连接DE，证明△ADE≌△ADC（SAS），得∠AED＝∠C，在EB上截取BF＝DF，连接DF，得∠FDB＝∠B，所以∠EFD＝2∠B，进而可以解决问题． 【解答】证明：【教材呈现】 ①如图2，小涛：作∠BAC的平分线AE， 所以∠DAE＝∠CAE， 因为AB＞AC， 所以在AB上截取AD＝AC，连接DE， 因为AE＝AE， 所以△ADE≌△ACE（SAS）， 所以∠ADE＝∠ACB， 因为∠ADE＞∠B． 所以∠ACB＞∠B； ②如图3，小亮：因为AB＞AC，所以在AB边上截取AD＝AC，连接CD， 所以∠ADC＝∠ACD， 因为∠ADC＞∠B， 所以∠ACD＞∠B， 因为∠ACB＞∠ACD， 所以∠ACB＞∠B； 【类比分析】 如图2，把AC沿∠BAC的平分线AE翻折，点C落在AB上的点D处， 所以∠ADE＝∠ACB， 因为∠ACB＞∠B， 所以∠ADE＞∠B， 所以点D在边AB上，AD＝AC， 所以AB＞AD， 所以AB＞AC； 【知识应用】 因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD， 因为AB＞AC+CD， 所以如图4，在AB上截取AE＝AC，连接DE， 因为AD＝AD， 所以△ADE≌△ADC（SAS）， 所以∠AED＝∠C， 因为AB＞AC+CD， 所以如图4，在EB上截取BF＝DF，连接DF， 因为∠FDB＝∠B， 所以∠EFD＝2∠B， 因为∠AED＞∠EFD， 所以∠AED＞2∠B， 所以∠C＞2∠B． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键． 23．（13分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AC上，连接DE，使DE＝DC． （1）求证：∠BDE+∠BAC＝180°； （2）如图2，在BC上取点F，使BF＝DC，连接FE并延长至点G，使∠FED＝∠FDG，延长DG交BA延长线于点H．求证：DH＝EF； （3）如图3，在（2）的条件下，连接EH，若BF+EH＝10，，∠AHE＝∠C，求△DEF的面积． 【分析】（1）根据等边对等角，三角形内角和定理，通过角的等量代换即可得证； （2）在BA上取点M，使BM＝CE，连接DM，证明△MBD≌△ECF（SAS），利用角的等量代换即可解答； （3）在FD上取点P，使FP＝HE，连接EP，证明△FEP≌△HDE（SAS），利用角的等量代换得到△PED是等边三角形，求得∠C＝30°，过点E作EQ⊥PC于点Q，求出EQ，DF即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE＝DC， ∴∠C＝∠DEC， ∴∠C＝∠B＝∠DEC， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠DEC+∠C+∠EDC＝180°， ∴∠BAC＝∠EDC， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠BDE+∠BAC＝180°； （2）证明：如图，在BA上取点M，使BM＝CE，连接DM， ∵BF＝DC， ∴BF+DF＝CD+DF， ∴BD＝CF， 在△MBD和△ECF中， ， ∴△MBD≌△ECF（SAS）， ∴MD＝EF，∠FEC＝∠BMD， ∵∠FED＝∠EGD+∠EDG，∠FDG＝∠FDE+∠EDG，∠FED＝∠FDG， ∴∠BDE＝∠FGD， ∵∠BAC+∠BDE＝180°， ∴∠BAC+∠FGD＝180°， ∵∠BAC+∠HAE＝180°， ∴∠HAE＝∠EGD， ∵∠EGD+∠EGH＝180°， ∴∠HAE+∠HGE＝180°， ∴∠H+∠AEG＝180°， ∵∠AEG＝∠FEC， ∴∠AEG＝∠BMD， ∵∠BMD+∠HMD＝180°， ∴∠H＝∠HMD， ∴MD＝HD， ∴EF＝HD； （3）解：如图，在FD上取点P，使FP＝HE，连接EP， ∵∠AEF＝∠AHG，∠AEF＝∠EFP+∠C，∠AHG＝∠AHE+∠EHG， ∴∠EFP＝∠EHD， 在△FEP和△HDE中， ， ∴△FEP≌△HDE（SAS）， ∴EP＝ED，∠FEP＝∠EDG， ∵∠FED＝∠FEP+∠PED，∠FED＝∠EGD+∠EDH， ∴∠PED＝∠EGD， ∵∠FDE＝∠EGD， ∴∠PED＝∠PDE， ∴PD＝PE， ∵PD＝DE， ∴PD＝CD＝PE， ∴△PED是等边三角形， ∴∠PED＝∠PDE＝60°， ∵∠PDE＝2∠C， ∴∠C＝30°， 过点E作EQ⊥PC于点Q， ∴∠EQC＝90°， ∴， ∵FB+HE＝10， ∴FP+PD＝10， ∴DF＝10， ∴． 【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$