精品解析：黑龙江省哈尔滨市第一二二中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

哈一二二中学2025-2026年度上学期期末考试高二数学试题 考试时间：2026年1月8日 时长：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 的虚部为（　　） A. i B. 5i C. 1 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法运算结合虚部定义求解. 【详解】由于，则的虚部为； 故选：C 2. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得， 抛物线的准线为. 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D. 如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项ABC；根据相关系数的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：样本数据点的中心一定在线性回归直线上，故A错误； 对于选项B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确； 对于选项C：线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故C错误； 对于选项D：如果两个变量的相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故D错误； 故选：B. 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 故其渐近线方程为，结合渐近线方程为，故， 故选：A 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为，结合常数项求解即可． 【详解】根据题意二项展开式的通项公式为， 当，解得， 所以常数项为． 故选：D． 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 ：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据离心率求得，进而求得双曲线方程，然后代入即可得解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有，， 可得双曲线的方程为，代入，可得， 故该花瓶的高为. 故选：B. 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 8. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线 ．直线：与曲线 恒有公共点，则 的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出动点的轨迹方程，再根据直线与曲线的位置关系求出 的取值范围. 【详解】设动点的坐标为，已知，且. 则，化简得：. 所以曲线 ：是以原点为圆心，为半径的圆. 因为直线：与曲线 恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径. 即，化简得恒成立. 所以，解得：. 故选：. 9. 已知直线和直线，抛物线上一动点 到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出焦点，准线，设动点 到直线的距离分别为，求出点 到直线的距离为，由抛物线定义得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 点 到直线的距离为． 点 到直线的距离， 点 到直线的距离为， 所以， 当且仅当点 在点 到直线的垂线上且 在 与之间，即时（如图），等号成立， 故动点 到直线、直线的距离之和的最小值是2. 故选：B 10. 已知椭圆上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立 、 关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由 、 关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 二、多选题(本大题共4题，每小题6分，满分24分) 11. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数x（千人） 3 4 5 m 自主创业人数y（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数r为负数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据经验回归方程的性质，结合已知条件逐一分析各选项，对相关性、相关系数、残差等进行判断． 【详解】经验回归方程为，斜率为，函数单调递增， y随着x的增大而增大，即y与x正相关，故A正确； 样本中心点必在回归线方程上， ，将代入回归方程，得，解得， ，解得，故B正确； 当时，预测值，实际值为， 残差，故C错误； 经验回归方程为，斜率为， 样本的相关系数，故D错误． 故选：AB． 12. 若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ） A. B. 各项二项式系数和为128 C. 二项式系数最大项有2项 D. 第5项系数等于-35 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项展开式的性质和通项公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误. 故选：BC. 13. 已知抛物线 ：（）的焦点 到准线的距离为4，过 的直线与抛物线交于 ， 两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线 的准线方程为 B. 若，则点到 轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质结合抛物线焦点弦即可判断ABC，由，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线 的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到 轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点 作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 14. 双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与 的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；利用即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，，则， 又因为以为直径的圆与 的一条渐近线交于、，则， 则若过点往 轴作垂线，垂足为，则， 则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，因为，则， 则双曲线的渐近线方程为，故C正确； 对于D，当时，由C可知， 故，故四边形为，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题(本大题共4题，每小题6分，满分24分) 15. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 【答案】72 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以600即可求解. 【详解】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以， 所以， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 16. 已知双曲线 ：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于 ， 两点，的中点是，则双曲线的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 17. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】购买5个盲盒，得到玩偶所有情况有种； 其中集齐 种玩偶的情况有： 所求概率. 故答案为：. 18. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共52分). 19. 已知圆 过两点，且圆心 在直线上. （1）求圆 的标准方程； （2）若过圆心 的直线在 轴， 轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用中垂线组方程组来求圆心和半径，可得圆的标准方程； (2)利用直线过原点和直线不过原点且截距互为相反数，再用待定系数法来求解即可. 【小问1详解】 由可知中点， 设过的中垂线斜率为， ，则. 所以，即 由，解得，故， 圆 的半径为， 故圆 的标准方程为 【小问2详解】 ①若直线过原点，满足题意，则可设， 因为直线过，所以，则. ②若直线不过原点，由于直线在 轴， 轴上的截距是互为相反数， 设，因为直线过， 所以，则，即 综上所述：直线的方程为或. 20. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 21. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】（1）； （2）分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【小问1详解】 设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 22. 已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为2． （1）求椭圆 的方程； （2）动圆的圆心坐标，过点作圆 的两条切线分别交椭圆于 和两点，记直线的斜率分别为和．求证：； （3）设直线与椭圆 交于两点（不是左右顶点），若以为直径的圆经过点，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先应用正弦定理求得三角形的外接圆的直径，结合椭圆的性质，以及三角形的特征，求得短半轴； （2）结合直线与圆相切，转化为和是方程的两根，结合韦达定理，即可求解； （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合题中的条件化简即可得到恒过定点.. 【小问1详解】 因为右顶点为，所以 ，， 所以 ，设的外接圆的半径为， 则 ，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设过点与圆 的切线的直线为，动圆的半径为， 由已知，，化简得， 当时，过点的两条切线的方程分别为，，与条件矛盾， 当时，和是方程的两根， 由韦达定理知，. 【小问3详解】 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消 可得， 方程的判别式如下， 为， 设，， 则是方程的两个根， 所以，， 因为以为直径的圆经过点，所以， 又，， 所以 ，① 又 ， 所以， 将，，代入①式， 可得 ，解得 或， 当时，直线的方程为，直线过定点， 当时，直线的方程为，直线过定点，矛盾， 所以直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈一二二中学2025-2026年度上学期期末考试高二数学试题 考试时间：2026年1月8日 时长：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 的虚部为（　　） A. i B. 5i C. 1 D. -5 2. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据点的中心不一定在线性回归直线上 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 D. 如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于1 4. 双曲线的渐近线方程为，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 ：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 7. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线 ．直线：与曲线 恒有公共点，则 的取值范围是（    ） A. B. C. D. 9. 已知直线和直线，抛物线上一动点 到直线、直线的距离之和的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 10. 已知椭圆上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4题，每小题6分，满分24分) 11. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数x（千人） 3 4 5 m 自主创业人数y（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. y与x正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数r为负数 12. 若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ） A. B. 各项二项式系数和为128 C. 二项式系数最大项有2项 D. 第5项系数等于-35 13. 已知抛物线 ：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于 ， 两点，为线段 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线 的准线方程为 B. 若，则点到 轴的距离为6 C. 当，则直线 的倾斜角为 D. 14. 双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与 的一条渐近线交于，两点，且，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题(本大题共4题，每小题6分，满分24分) 15. 百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为_____人． 16. 已知双曲线 ：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于 ， 两点， 的中点是，则双曲线的离心率______. 17. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面．已知某盲盒产品共有4种玩偶，小明购买5个盲盒，则他能集齐4种玩偶的概率是_____． 18. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 四、解答题;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共52分). 19. 已知圆 过两点，且圆心 在直线上. （1）求圆 的标准方程； （2）若过圆心 的直线在 轴，轴上的截距是互为相反数，求直线的方程. 20. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 21. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 22. 已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点，右顶点为，的外接圆半径为2． （1）求椭圆 的方程； （2）动圆的圆心坐标，过点作圆 的两条切线分别交椭圆于 和两点，记直线的斜率分别为和．求证：； （3）设直线与椭圆 交于两点（不是左右顶点），若以 为直径的圆经过点，求证：直线 恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $