专题04：对指幂函数 讲义【15大考点+15大题型】-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以“对指幂函数”为核心，通过表格对比、图像特征归纳构建知识体系，梳理幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质及运算规律，突出定义域、单调性等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖运算、图像、实际应用等15类题型，如“种群增长问题”引导用数学模型解决实际问题，培养数学思维与应用意识。变式题与强化精练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题04：对指幂函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点02：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点03　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 知识点04：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点05．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点06：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点07：对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点08：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点09：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【题型归纳】 题型一：对指幂运算 【例1】．（25-26高一上·云南昆明·期中）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 【变式1】．（24-25高一上·福建莆田·期末）计算 (1)求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值. 【变式2】．（23-24高三上·陕西咸阳·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 题型二：幂函数的定义和性质 【例2】．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【变式1】．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【变式2】．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 题型三：幂函数的图像问题 【例3】．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式1】．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：幂函数的综合问题 【例4】．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【变式1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【变式2】．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 题型五：指数函数的图象问题 【例5】．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2】．（24-25高一上·江西景德镇·期末）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 题型六：指数函数定义域和值域问题 【例6】．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【变式1】．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，求函数的值域为 ． 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 题型七：指数函数的单调性问题 【例7】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 题型八：指数函数的综合问题 【例8】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【变式1】．（23-24高一上·广东广州·期末）函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式2】．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 题型九：对数函数的定义域（复合型对数函数） 【例9】．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·湖南湘西·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型十：对数函数的值域问题 【例10】．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十一：对数函数的图像问题 【例11】．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式1】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【变式2】．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 题型十一：对数函数的单调性问题 【例11】．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十二：对数函数的综合问题 【例13】．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【变式3】．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 题型十三：对指幂比较大小问题 【例13】．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 题型十四：对指幂的实际应用问题 【例14】．（25-26高一上·广东·期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 题型十五：对指幂函数交汇问题 【例15】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【变式1】．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西·期中）设函数且，表示不超过实数的最大整数，如，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 10．（25-26高一上·重庆·期中）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 12．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是： C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为 13．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三、填空题 14．（25-26高一上·新疆喀什·期末）计算： ． 15．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 16．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 17．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 四、解答题 18．（25-26高一上·福建·月考）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 19．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 20．（25-26高一上·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 21．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数且的图象过点，． (1)求a的值； (2)当时，求方程的实数根； (3)记函数在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求k的取值范围． 22．（25-26高一上·海南·期中）已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 23．（25-26高一上·四川广元·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04：对指幂函数 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：.幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 知识点02：五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点03　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 知识点04：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点05．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 知识点06：.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 知识点07：对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 知识点08：对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (2)对数的性质 ①＝ N ；②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． (3)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 知识点09：对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1,0) (4)当x>1时，y>0; 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0; 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 技巧归纳： 1、换底公式的两个重要结论 (1)logab＝；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 【题型归纳】 题型一：对指幂运算 【例1】．（25-26高一上·云南昆明·期中）求下列各式的值． (1)； (2)（其中，，注意：计算结果用分数指数幂表示．）； (3) 【答案】(1)10 (2) (3)2 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据指数幂运算法则化简即可； （3）结合指数运算法则、对数运算法则、对数换底公式计算即可. 【详解】（1）； （2）原式 （3） 【变式1】．（24-25高一上·福建莆田·期末）计算 (1)求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值. 【答案】(1)27 (2)4 (3)-1 【分析】（1）根据指数与对数的运算法则进行求解即可； （2）由通过两边同时平方可得，同理可以求解； （3）根据指数与对数的相互转化再结合对数的运算法则进行求解即可. 【详解】（1） （2）因为， 所以，即， 所以，即， 故． （3）已知， 依题意得， 所以. 【变式2】．（23-24高三上·陕西咸阳·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数的定义及运算求解． 【详解】（1）原式 . （2） ． 【变式3】．（25-26高一上·云南昆明·期中）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 题型二：幂函数的定义和性质 【例2】．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 【变式2】．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则（    ） A．时，是偶函数 B．时，的值域为 C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数 【答案】A 【详解】对于A，当时定义域为， 且，所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，则的值域为，故B错误； 对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误； 对于D，当时，在上单调递增，故D错误； 故选：A 题型三：幂函数的图像问题 【例3】．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【变式2】．（23-24高一上·海南·期末）已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为在时，方程有解，作出函数图象，利用数形结合求解. 【详解】当时，由函数图象与直线相交可得有解， 化简得，方程有解， 可设，，在同一坐标系内作出函数的大致图象，如图， 由图象可知，当时，即，解得， 此时函数图象有交点，即方程有根. 故选：D 题型四：幂函数的综合问题 【例4】．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在m=3 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. （2）由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 【变式1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数为幂函数，且满足. (1)求实数的值； (2)若函数，其定义域为. ①根据定义证明在上为减函数； ②求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的性质求解即可； （2）①利用单调性的定义按照步骤证明即可； ②利用的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 又因为，所以为奇函数，故. （2）①证明：由（1）知，则， 设， 则， 因为，所以，所以， 故. 所以在上为减函数. ②因为在上为减函数.，其定义域为， 所以等价于，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)在上为减函数，证明见解析 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得，故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 题型五：指数函数的图象问题 【例5】．（24-25高一上·福建龙岩·期末）若幂函数在区间上单调递增，则函数的过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质得到方程，求出，从而，由指数函数性质得到所过定点坐标. 【详解】为幂函数，且在区间上单调递增， 由题意得且，解得， 故， 令得，则， 所以的过定点. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·江西景德镇·期末）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 题型六：指数函数定义域和值域问题 【例6】．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 【变式1】．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，求函数的值域为 ． 【答案】 【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得. 【详解】令，由，则， 则 ， 由，则， 又当时，， 当时，， 有， 故，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型七：指数函数的单调性问题 【例7】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 【变式1】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·山西吕梁·月考）已知函数的定义域为，为偶函数，且对任意的（），都有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】得到的图象关于直线对称，且在上单调递增，从而不等式转化为，分和两种情况，得到不等式解集. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又对任意的，都有， 所以在上单调递增， 所以可等价为，即， 当时，不等式可化为，即， 令，则，由于，无解； 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得． 综上，关于的不等式的解集为． 故答案为： 题型八：指数函数的综合问题 【例8】．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 【变式1】．（23-24高一上·广东广州·期末）函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见详解； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）判断出函数在上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）由（2）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解. 【详解】（1）由题意，得，结合且不等于1，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，合题意，故. （2）函数为上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为上的增函数. （3）由（2）得在上单调递增， ， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以， 即，当且仅当，即时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，； (2). 【分析】（1）根据函数是奇函数应用计算求参，再代入验证，根据指数函数单调性判断函数单调性，再应用单调性解不等式即可； （2）根据解析式及不等式化简，得出恒成立，再结合指数函数及二次函数最值计算求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. （2），，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 题型九：对数函数的定义域（复合型对数函数） 【例9】．（24-25高一上·新疆喀什·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】函数的定义域需满足，解得且， 故选：D 【变式1】．（24-25高一上·湖南湘西·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数、根式的性质列不等式求定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为中， 所以函数中，即， 所以的定义域为， 故选：B． 题型十：对数函数的值域问题 【例10】．（24-25高一下·福建泉州·开学考试）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 【变式1】．（24-25高一上·重庆江北·期末）若函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，需使真数在上取遍一切正数，由解不等式即得. 【详解】由题意，需使取遍一切正数， 故需使，解得或. 故选：C. 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出在上的取值范围，依题意需当时，，分、两种情况讨论，结合对数函数的性质计算可得. 【详解】当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，所以，即； 若函数的值域是，则需当时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得，又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B 【变式2】．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故选：A 题型十一：对数函数的图像问题 【例11】．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 【变式1】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 【变式2】．（24-25高一下·广西贵港·期末）已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，由定义域排除CD，根据单调性排除B，得到答案. 【详解】当时，取得最大值，则，所以， 由，得，C，D错误． 当时，单调递减，B错误． 故选：A． 题型十一：对数函数的单调性问题 【例11】．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知且，函数是减函数，则a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是减函数，列不等式组，解出即可. 【详解】因为是减函数，所以，解得． 故选：B. 【变式1】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，由可得， 所以，函数在上为减函数， 函数在上为减函数，则，解得； 函数在上为减函数，则； 且有，即， 所以有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 题型十二：对数函数的综合问题 【例13】．（25-26高一上·重庆·月考）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)求函数的值域． (3)设函数，且函数在区间上的最小值为7，求的值． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)答案见解析 (3)2 【分析】（1）利用奇偶性的判定方法即可求解； （2）由（1）可得，由对数函数定义域可得，然后分，两种情况，即可求解； （3）由题化简可得，令，则可得，，再结合二次函数性质及最小值，即可求解. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 由题意得，则， 所以的定义域为，关于原点对称， 由， 则， 所以是偶函数. （2）因为， 因为，又因为，则， ①当时，为增函数，此时，故的值域为， ②当时，为减函数，此时，故的值域为. 综上所述，当时，故的值域为. 当时，的值域为. （3）由题意， 设，因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 所以时，， 所以在区间上的最小值为，且对称轴为，开口向上， ①当，即时，此时在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值为，不符合题意，故舍去； ②当，即时，此时在区间上单调递减， 在上单调递增，则时，有最小值为，解得（负值舍去），符合题意； ③当，即时，此时在区间上单调递减， 所以当时，最小值为，解得舍去. 综上所述，的值为. 【变式2】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 【变式3】．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，. (1)若，证明：为偶函数； (2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值； （ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明； （2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式. 【详解】（1）时，，定义域为，且， 所以函数是偶函数； （2）（ⅰ）当时，， 当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以， 的对称轴是， 当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是 当时，即，函数的最小值是，的最小值是， 综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是 （ⅱ）由题意可知，， ，，设，则， 函数的最小值是， 由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立， 当时，的最小值是，则 则，，则， 综上可知， 题型十三：对指幂比较大小问题 【例13】．（25-26高一上·云南昭通·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数性质判断即可 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以，即， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即； 因为函数在上单调递增，且， 所以，即； 所以. 故选：B. 【变式1】．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数函数和指数函数性质证明由此比较它们的大小. 【详解】因为， 所以． 故选：D． 题型十四：对指幂的实际应用问题 【例14】．（25-26高一上·广东·期末）如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（   ）（参考数据：， A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】设该生物原来的数量为，由题意知，，进而根据指数函数的性质及对数的运算性质求解即可. 【详解】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：D． 【变式1】．（25-26高三上·北京海淀·月考）某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意且，结合指数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 【变式3】．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 题型十五：对指幂函数交汇问题 【例15】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 【变式1】．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 【强化精练】 一、单选题 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆·月考）已知幂函数 在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】由题可得，解得或， 又在区间上单调递增，所以，故， 所以过定点. 故选：B. 3．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式，可得函数奇偶性，根据特殊值及函数图象的变换，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，则函数为奇函数，图象关于原点对称，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误，A正确. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性求法，分析计算即可. 【详解】令，则， 当时，在R上单调递减， 当时，在R上单调递增， 由一次函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上单调递增，根据复合函数的单调性可知，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 5．（25-26高一上·陕西·期中）设函数且，表示不超过实数的最大整数，如，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数幂的运算性质化简得到，从而得到表达式，再利用函数新定义分与的大小讨论化简可得. 【详解】， 故选：C． 6．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 7．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若恰有3个零点.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】探讨给定函数的性质，将函数零点问题转化为直线与函数图象的交点问题，作出图形数形结合求出范围. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 由，得或；由，得或或， 函数恰有3个零点， 即直线与的图象有3个交点，且交点的横坐标为， 在同一坐标系内作出直线与的图象，如图， 观察图象得，， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，所以，即． 对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 10．（25-26高一上·重庆·期中）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，结合选项，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，所以，所以A正确； 对于B，由对数的运算法则，可得，所以B错误； 对于C，由指数幂的运算法则，可得，所以C正确； 对于D，由对数的运算法则，可得，所以D不正确. 故选：AC. 11．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 12．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．a，b，c的大小关系是： C．函数在区间上单调递减 D．关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 13．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 14．（25-26高一上·新疆喀什·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】利用指数、对数的运算性质及换底公式化简计算即可． 【详解】原式 故答案为：3． 15．（25-26高一上·上海闵行·期中）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【分析】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可. 【详解】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 16．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，若在上存在最小值，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得到，再根据的单调性和零点即可得a的取值范围. 【详解】当时，单调递减，没有最小值； 当时，单调递增，其最小值为. 由在上存在最小值，得，即. 因为是的单调增函数，又， 所以. 故答案为： 17．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 四、解答题 18．（25-26高一上·福建·月考）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为. （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，. （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为． 19．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 20．（25-26高一上·广东东莞·期中）如图所示是函数的图象，由函数的图象与函数的图象“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求实数的取值范围； (3)若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意可得，解得，故. （2）因为函数在定义域上为增函数， 由可得，解得， 故实数的取值范围是. （3）因为关于的方程存在实数解，即存在实数解， 结合图象可得，整理可得，解得或， 故实数的取值范围是. 21．（2025高一上·湖北·专题练习）已知函数且的图象过点，． (1)求a的值； (2)当时，求方程的实数根； (3)记函数在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在指数函数上，代入计算求解； （2）化简方程列式计算，结合指数、对数转化求解； （3）先根据指数函数的单调性求出函数值域，再根据必要条件定义列式计算求解． 【详解】（1）函数且的图象过点， ，解得，又，． （2）由（1）知，当时，， 等价于，即， 令，则，，原方程变为，整理得，解得或（舍去）， ，解得． （3）由（1）知，函数单调递增， 当时，； 是的必要条件，， 当时，在上单调递减，此时， ，解得； 当时，在上单调递增，此时， ，，解得； 综上，实数k的取值范围为． 22．（25-26高一上·海南·期中）已知函数是偶函数，. (1)求的解析式； (2)若函数的图象与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)(3)存在， 【详解】（1）因为函数是偶函数，. 所以， 解得：，经验证符合题意， 所以 （2）由题意，方程无解， 即方程无解. 令， ， 因为，所以，则， 因此，即，所以函数的值域是. 故a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，，，解得； ②当时，，，解得（舍去）； ③当时，，，解得（舍去）. 综上所述，存在，使得最小值为. 23．（25-26高一上·四川广元·期中）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”. (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合. 【答案】(1)不是“伪奇函数“，也不是“伪偶函数“， (2)实数的取值范围为； (3)整数的取值集合为 【分析】（1）判断“伪奇函数”：计算，看是否有非零解；判断“伪偶函数”：计算，看是否有非零解； （2）先确定幂函数，再根据“伪奇函数”定义得方程，通过换元法结合函数性质求范围； （3）根据“伪奇函数”定义得方程，换元后转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围. 【详解】（1）由题可知，则， 则，因为恒成立， 不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”； ，， 若，则， 故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”； （2）因为是幂函数，则，所以， 故，所以， 则，所以，因为且， 所以在上有非零实数解，则且， 令，且，令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以，当且，， 故， 所以实数的取值范围为； （3）由定义可得，，则， 所以在上存在非零实数解， 令，，故， 即方程在开区间上存在非零实数解， 令，，对称轴为， 当时，，满足题意； 当时，则， 所以，故； 当时，则， 即，即. 综上，，则满足整数的取值集合为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $