专题05：函数基础知识与性质讲义【11大考点+11大题型】-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

该高中数学单元复习讲义以“函数基础知识与性质”为核心，通过表格系统梳理函数定义、单调性、最值、奇偶性等核心概念，构建“概念-性质-应用”的知识框架，清晰呈现定义域、值域等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计11类题型，从基础定义域求解到综合性质应用，如利用奇偶性与单调性解不等式，培养逻辑推理与运算能力。强化精练覆盖选择、填空、解答题，基础题巩固概念，压轴题提升思维，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

专题05：函数基础知识与性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点02：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点03．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点04．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 【例1】．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·云南曲靖·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 【例2】．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【变式1】．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2). 题型三：求解析式三大方法 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【变式1】．（22-23高一上·河南新乡·期末）已知，则 . 【变式2】．（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则 . 题型四：函数相等问题 【例4】．（24-25高一上·四川达州·期末）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·广东·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】．（25-26高一上·山西大同·期中）下列各组中的函数与是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五：分段函数问题 【例5】．（25-26高一上·广东·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六：函数的单调性问题 【例6】．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 题型七：函数的最值问题 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式2】．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 【例8】．（24-25高一上·广东深圳·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为 ． 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 【变式2】．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 题型九：抽象函数问题 【例九】．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 【变式1】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【变式2】．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 题型十：函数性质的综合问题 【例十】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)求使成立的实数的取值范围． 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，. (1)求的值； (2)判断函数在定义域上的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数m的取值范围． 【变式2】．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 题型十一：函数压轴问题 【例11】1．（25-26高一上·甘肃·期末）已知函数满足，，，且当时，． (1)求的值． (2)证明：在上单调递减． (3)若，且，，求m的取值范围． 【变式1】．（25-26高一上·福建厦门·月考）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是否为型函数”； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 5．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江湖州·月考）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．是定义域上的减函数 【答案】AC 10．（25-26高一上·云南文山·月考）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 12．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．当时， D．函数在定义域上为奇函数 三、填空题 15．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为 ． 16．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则 . 17．（2025高一上·江苏·专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 18．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 四、解答题 19．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 20．（25-26高一上·四川·月考）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 21．（25-26高一上·北京·月考）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 22．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 23．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05：函数基础知识与性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点02：函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点03．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点04．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【题型归纳】 题型一：函数的定义域 【例1】．（25-26高一上·贵州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出使函数解析式有意义的的取值范围即可. 【详解】因为函数， 所以，解得且， 所以函数的定义域为：且. 故选：B. 【变式1】．（25-26高一上·云南曲靖·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 题型二：复杂（根式、分式）函数的值域 【例2】．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号，所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3），则，所以函数的值域为． 【变式1】．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 题型三：求解析式三大方法 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 【变式1】．（22-23高一上·河南新乡·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用换元法求解即可 【详解】令，则， 所以， 即， 故答案为： 【变式2】．（25-26高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则 . 【答案】 【分析】用代替构造方程组求解. 【详解】用代替，得， 与联立得，. 故答案为： 题型四：函数相等问题 【例4】．（24-25高一上·四川达州·期末）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应关系是否都相同，逐项判断即可. 【详解】对于A，的定义域为的定义域为， 由于定义域不同，则不是同一函数，故A错误； 对于B，， 由于对应关系不同，则不是同一函数，故B错误； 对于C，和的定义域都是， 且对应关系相同，则是同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为的定义域为， 由于定义域不同，则不是同一函数，故D错误； 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·广东·期末）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 【变式2】．（25-26高一上·山西大同·期中）下列各组中的函数与是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为，的定义域为，故A错误； ，故B错误； 的定义域为，的定义域为，故C错误；，的定义域均为，且，故D正确． 故选：D． 题型五：分段函数问题 【例5】．（25-26高一上·广东·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值. 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得． 故选：B． 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 【变式2】．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 题型六：函数的单调性问题 【例6】．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质可知， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 【变式2】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】在上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示.    由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是. 故选：B 题型七：函数的最值问题 【例7】．（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 【变式2】．（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】由已知当时，需， 令，则函数在上为减函数， 所以， 又函数在定义域上为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是， 最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 题型八:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 【例8】．（24-25高一上·广东深圳·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由条件结合奇函数性质求出函数的解析式，分别在条件下解不等式即可. 【详解】结合题意：若，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以， 当时，，而，此时不满足； 当时，，而，此时不满足； 当时，要使，只需， 即，令， 则在上单调递增，且， 而，解得. 即的解集为. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集． 【详解】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，． 综上，不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设是定义域为的奇函数，且在上是增函数，又满足，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而符号法得到不等式的解集. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 又在上是增函数，则在上也单调递增， 因为，所以， 当或时，，当或时，， 故当时，，满足， 当时，，满足， 综上，的解集为. 故答案为： 题型九：抽象函数问题 【例九】．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知定义在上的函数，对任意都满足，且当时，，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】利用赋值法可求出的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：C 【变式1】．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域为，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法可判断AB；结合偶函数定义，举反例判断C；令，可推出，判断的奇偶性，即可判断D. 【详解】由题意知，， 令，则，A正确； 令，则，即得，B错误； 令，则， 令，取，则，取，则， 即，故不是偶函数，C错误； 由于，故， 令，则， 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，即为奇函数，D正确， 故选：AD 【变式2】．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知定义在实数集上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．函数在上单调递增 D．若不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可求出、的值，可判断A选项；利用赋值法求出的值，再令结合函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；利用偶函数的性质以及单调性可得出，解之即可. 【详解】因为定义在实数集上的函数满足， 对于选项，令可得，解得， 令可得，解得， 所以，，A对； 对于B选项，令可得，则， 令可得，故函数为偶函数，B对； 对于C选项，任取、且，则，可得， 所以，，故函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，故函数在上为减函数，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，且该函数在上为增函数， 由可得，则，可得或， 解得或， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：ABD 题型十：函数性质的综合问题 【例十】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上是减函数，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据奇函数定义以及函数值解方程组可得； （2）由函数单调性定义按照步骤并结合指数函数单调性证明即可得出结论； （3）利用函数奇偶性以及单调性解不等式即可得出结果. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即①， 又，得②， 由①②可得，此时， 经检验此时满足，即满足在上是奇函数， 所以． （2）在上是减函数，证明如下： 任取，且，则 因为，所以，， 所以，即， 因此在上是减函数． （3）因为是奇函数，所以由 可得，由（2）知是减函数， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围为 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，. (1)求的值； (2)判断函数在定义域上的单调性，并证明你的结论； (3)对于任意的，不等式恒成立，试求常数m的取值范围． 【答案】(1)0； (2)函数在上为单调递增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）令代入关系式即可求； （2）设且，结合已知及、单调性的定义证明单调性； （3）利用函数的单调性及不等式恒成立，将问题化为在上恒成立，再应用指数函数的性质、换元法及分式型函数的性质求右侧的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由对任意的，都有， 令，可得，解得； （2）函数在上为单调递增函数，证明如下： 设且，则，所以， 则，即， 所以函数在上为增函数； （3）由（2）知，函数在上为增函数， 对于任意的，不等式恒成立， 所以不等式在上恒成立，且， 即不等式在上恒成立， 设，则，所以在上恒成立， 由在上为增函数，所以， 所以，即实数m的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一上·江西·期末）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”. (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求的最大值. 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）对于函数的定义域内存在， 则，故不是“依赖函数”. （2）设函数的定义域内的值域为， 若该函数为“依赖函数”，则对任意的，且，可得， 因为在上单调递增，则在上的值域为， 故， 则，所以， 由，则，解得， 则， 设，可知函数在内单调递增， 且，，即， 所以的取值范围为. （3）若，可知在上单调递增，则在上的值域为， 可得，即，解得或（舍去）. 若存在，使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 则，可得， 因为，可得， 且在单调递增， 故当时，， 则，解得， 综上所述：故实数的最大值为. 题型十一：函数压轴问题 【例11】1．（25-26高一上·甘肃·期末）已知函数满足，，，且当时，． (1)求的值． (2)证明：在上单调递减． (3)若，且，，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，代入已知等式可求解； （2）利用单调性的定义，设且，通过判断的正负来说明单调性； （3）由已知条件化简不等式，结合函数的单调性求解的范围. 【详解】（1）因为对，， 所以令，则，所以. （2）设且，则， 因为当时，，所以，即， 又， 所以，因为， 所以， 所以对，当时，都有， 所以在上单调递减. （3）因为，由， 令，得， 所以，， ， 即， . 又，所以， 因为为上的减函数， 所以，对恒成立， 令，则，即， 当时，不等式恒成立，所以； 当时，，因为，所以，所以； 当时，，因为，所以，所以， 综上，. 【变式1】．（25-26高一上·福建厦门·月考）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是否为型函数”； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，，若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是型函数 (2)， (3) 【分析】（1）由，根据指数幂的运算性质，求得，即可得证； （2）由函数是“型函数，结合指数幂的运算性质，得到，进而求得的值； （3）根据题意，得到的值域为，且求得，问题转化为在上的值域为的子集，结合二次函数的性质，对的取值分类讨论，求得函数在上的值域，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数， 可得， 所以函数是型函数. （2）解：由型函数的定义，可得对定义域内的所有成立， 因为函数是“型函数，可得， 由于为常数，需要为常数，所以分子的系数，即， 此时，所以. （3）解：因为是型函数，对应的实数对为，可得， 当时，函数， 当时，可得函数， 当时，，函数在上单调递减， 因此当时，，则函数在上的值域为， 由于当时，都存在，使得， 所以函数在的值域为的子集， 根据，在等式中， 令，可得，所以，符合题意； 若在上的值域为，则， 对于任意，可得，则，且，所以， 所以问题等价于在上的值域为的子集， 当时，的对称轴为， ①若，即时，在上单调递增，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ②若，即时，在上单调递减，可得， 此时不是的子集，不符合题意； ③若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 根据题意，函数在上的值域为的子集，则满足， 解得，所以实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式． 【详解】令，则，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 3．（25-26高一上·全国·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】D 【分析】A：令结合可求解出；B：令结合可求解出；C：令结合换元法可得的关系，由此可判断出奇偶性；D：根据C中的关系可进行判断. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则， 因为，所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到在上单调递增，再利用分段函数需要在两段上都单调递增与在分段点处的值建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得，在上单调递增， 当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 故函数在上单调递增， 则有，解得． 故选：C． 6．（25-26高一上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得函数和的单调性情况，进而得，，从而即可一一判断各选项. 【详解】由题意可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，. 对于A：因为，在上单调递增，所以，故A错误； 对于B：因为，在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为，在上单调递减，所以，故C正确； 对于D，因为正负不知， 所以大小关系不定，故D错误； 故选：C. 7．（25-26高一上·陕西·期末）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、对称性、单调性来确定正确答案. 【详解】由函数是偶函数，则图象关于轴对称， 因为函数的图象可由函数向右平移个单位得到， 所以的图象关于直线对称，即， 任意，当时都有， 所以在区间上单调递减， 由，则， 故D选项正确. 故选：D. 8．（25-26高一上·浙江湖州·月考）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和得到，整理得到，构造函数，从而得到，即在上是单调递增函数，由是定义在上的偶函数，得到是偶函数，再结合已知可将原不等式转化为，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】，， ，， ， 设，， ，在上是单调递增函数， 是定义在上的偶函数，， 是偶函数， ，， ，， ， ， 是偶函数，， 转化为， 在上是单调递增函数， 转化为，，， 满足的实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．是定义域上的减函数 【答案】AC 【分析】对于A选项，根据抽象函数定义域的求解方法得到答案；对于B选项，两函数定义域不同，B错误；对于C选项，先得到，求出，得到值域；对于D选项，由函数单调性定义得到D错误. 【详解】对于A选项，由题意得，则，故函数的定义域为，A正确； 对于B选项，的定义域为，的定义域为，两函数不是同一函数，B错误； 对于C选项，由于，故，所以，则的值域为，C正确； 对于D选项，的定义域为，又在上单调递减， 又，，，，故在定义域上不单调递减，D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·云南文山·月考）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两函数相等则定义域与对应法则相同，即可判断出答案. 【详解】对于A选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，A错误； 对于B选项：与的定义域与对应法则都相同，为同一个函数，B正确； 对于C选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，C错误； 对于D选项：因为，，故与是同一个函数，D正确； 故选：BD. 11．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，且，则（　　） A． B．函数在上单调递增 C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，即可求出；对于B，采用举反例来进行判断；对于C，先证明，再令，得到，从而判断；对于D，采用赋值法，求出和，再结合进行比较. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，因为，而，不符合单调递增的定义，故B错误； 对于C，令，则，则， ，则， 又，则， 令，，则，故C正确； 对于D，由，则， 所以，， 又，则，即，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 【答案】ABD 【分析】根据对称中心定义可判断A正确，赋值法代入计算可知B正确，结合奇偶性并根据周期函数定义可得C错误，结合已有分析求出所有零点可知D正确. 【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．的解集为 【答案】BD 【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案. 【详解】，故A选项错误；，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得， 即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得， 综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 14．（24-25高一上·云南昆明·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．当时， D．函数在定义域上为奇函数 【答案】ABC 【分析】根据高斯函数的定义分析A、B选项；根据高斯函数的定义代入化简的解析式，可判断C选项；根据的值判断D选项. 【详解】，，使得，则， 因为，所以， 所以，即的值域为，故A正确； 又因为，所以， 所以，故B正确； 当时，，所以，故C正确； 因为，，所以， 显然不可能是奇函数，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 15．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知幂函数是奇函数，则满足不等式的实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及奇偶性求得，根据函数的性质解不等式即可． 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，是奇函数，符合题意； 当时，是偶函数，不符合题意； 所以，，因为在上单调递增， ，所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 16．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】由求出，，设，则为奇函数，求出，由得到关于的等式，解得的值，从而得解. 【详解】， ， 设， 为奇函数，为奇函数， ， ， ， ， ， 对于任意的恒成立， ，， . 故答案为：. 17．（2025高一上·江苏·专题练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，再分讨论即可． 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又因为奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： ①当时，有或， 解得：， ②当时，有或， 解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 18．（25-26高一上·辽宁·月考）已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于对称，再利用复合函数单调性求出函数在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 故答案为: 四、解答题 19．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 20．（25-26高一上·四川·月考）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 21．（25-26高一上·北京·月考）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)5. 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【详解】（1）∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. （2）由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 22．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在上单调递增，证明见解析； (2) (3)或或. 【分析】（1）根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； （2）由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； （3）令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）为定义在上的奇函数， 故，即，故，， 又，故，解得， 在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； （2）为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； （3）令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 23．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)已知函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出的定义域，由是奇函数，由奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，利用奇函数的定义检验成立，从而求得的值； （2），且，计算与的大小，与的大小，利用定义得到结论； （3）由题意得到，利用单调性求出，，求出对称轴方程为，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 法二：第（3）问也可转化为，设，即恒成立，即转化为求当时m的取值范围. ，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则， 经验证，此时， 故满足题意； （2）函数在单调递增. 证明：，且， 则， 因为，所以，则， 所以， 即，所以， 函数在单调递增. （3）由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ①当时，即时，， 解得，又， 故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以. 综上，实数的取值范围为. 法二：第（3）问也可转化为， 设， 即恒成立， 即转化为求当时m的取值范围. ，对称轴为， ①当时，即时，， 解得，又，故； ②当时，即时，， 解得，又， 所以； ③当时，即时，， 解得，又， 所以.综上，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $