专题03：三角恒等变换【8大考点+8大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

该高中数学三角恒等变换专题复习讲义通过知识框架图与表格系统构建知识体系，将两角和差公式、二倍角公式、半角公式及辅助角公式等核心内容按逻辑关系整合，用表格清晰呈现公式名称、简记符号、表达式及使用条件，直观展示知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-变式-强化”的三阶练习设计，如题型四“辅助角公式应用”通过函数求周期、最值及单调区间，引导学生运用公式推理与运算，培养数学思维。专题强化包含选择、填空、解答题分层训练，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能突破综合问题，为教师实施精准教学提供支持，助力学生提升三角恒等变换的应用能力。

专题03：三角恒等变换 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点五　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点六　辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型归纳】 题型一：两角和差的三角函数公式 【例1】．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【详解】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 【变式1】．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系及诱导公式化简求值即可； （2）利用倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以. （2）由（1）知， ， 又，， 所以 . 【变式2】．（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，所以， 因为，且，所以 由（1）知，因为，且，所以； 所以， 所以，所以. 题型二:二倍角公式 【例2】．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角关系求解的值，即可根据二倍角公式以及和差角公式求解； （2）根据余弦的和差角公式即可求解. 【详解】（1）均为锐角， ，， 故， 又，， ， ， 故； （2）， ，， . 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 【答案】/0.25 【分析】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先对函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，再根据对称轴方程计算即可； （2）根据（1）中函数的关系式，进一步结合诱导公式二倍角公式计算即可． 【详解】（1） 由，可得， 所以图象的对称轴方程为； （2）由（1）知， 由，可得， 所以 ， 题型三：降幂公式的化简求值问题 【例3】．（20-21高一下·河南商丘·期末）已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求的最小值； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据余弦函数得单调性求出函数的增区间，再根据在区间上单调递增，即可得出答案； （2）利用降幂公式、两角和差的余弦定理及辅助角公式将函数化为，根据正弦函数的值域即可求解. 【详解】（1）令，得， 在区间上单调递增，故的最小值为. （2） . ， ， ， 即所求的函数的值域为. 【变式1】．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用降幂公式和诱导公式即可. 【详解】 ， 故选：A． 【变式2】．（21-22高一上·湖南长沙·期末）已知，且满足，求：的值 【答案】 【详解】因为，整理可得， 解得或．                     因为，所以．                            则 ． 题型四：辅助角公式的应用 【例4】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值及取得最大值时x的值； (3)当时，求的单调递增区间． 【答案】(1) (2)的最大值为，取得最大值时x的值为 (3)， 【分析】（1）由二倍角公式化简，然后利用最小正周期的公式计算可得结果； （2）根据正弦函数的最值求解即可； （3）根据正弦函数的单调性计算可得结果. 【详解】（1）， 所以的最小正周期为. （2）令，解得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，取得最大值时x的值为. （3）令，解得，， 当时，，当时，， 所以当时，的单调递增区间为，. 【变式1】．（24-25高一下·河北·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）整体代换求解函数的值域即可. 【详解】（1）因为 ， 由， 即， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以函数在区间上的值域为. 【变式2】．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)函数，若且，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简为，利用周期公式求解； （2）由解出的的范围就是的单调递增区间； （3）由求出，由的范围求出的范围，从而得到的范围，由得到，从而求出的值，继而得到的最大值. 【详解】（1），， ，， ， ，， ，的最小正周期为； （2）， ， ，， 的单调递增区间为； （3），， ， ，， ， ，， 时的， ，，， 同理可得， 时，取最大值， 且最大值为， 的最大值. 题型五：三角恒等式变换中的给角求值问题 【例5】．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 【变式2】．（23-24高三下·甘肃·月考）计算（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. 题型六：三角恒等式变换中的给值求值问题 【例6】．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ，， . 故选：B. 题型七：三角恒等式变换中的给值求角问题 【例7】．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 【变式2】．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 题型八：三角恒等变换综合问题 【例8】．（25-26高一上·浙江·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性， （2）根据五点作图法即可求解， （3）根据，利用和差角公式以及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 令，解得， 故单调递增区间为 （2） 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （3）由可得， 由于，则，故，故， 因此， 由于，则， 故当，即时，取最大值为. 【变式1】．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，然后根据两角和的正弦公式计算即可； （2）先计算，然后利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）由均为第一象限的角，， 所以， 所以， 所以 （2）， 所以， 所以 【变式2】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的根． （i）求实数的取值范围； （ii）求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解； （2）（i）由题意结合辅助角公式得．其中，利用正弦函数的值域求得答案；（ii）当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解；当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解. 【详解】（1）. 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）（i）由， 得， 化简整理得， 则．其中， 所以在内有两个不同的根， 当且仅当，即时，满足题意， 故实数的取值范围为. （ii）当时，，则， 所以， 又， 所以， 由（i）知，所以， 故； 当时，，则， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 故. 【变式3】．（24-25高一下·北京·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间及最小正周期； (2)设，若集合恰有两个元素，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为， (2) 【详解】（1） . 因此的最小正周期. 设. 解得. 因此的单调递增区间为. （2）方法一：令，于是， 因此，解得. 因为集合恰有两个元素， 所以，即. 方法二：因为，所以. 若集合恰有两个元素， 则，解得. 即. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角三角函数的定义得到，，再结合二倍角公式对目标式合理变形，进而求值即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 由任意角三角函数的定义得， ，，则， 由二倍角公式得 ，故C正确. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：D 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用辅助角公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦的两角和差公式，先求出，再用同角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 则， 又因为可得由， 可知即， 所以. 故选:D. 5．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据角的终边所经过的点计算角的正弦值和余弦值，根据的余弦值计算其正弦值，最后将所有已知量代入两角差的余弦公式计算即可. 【详解】依题意，，， 由可知， 则或. 故选：D. 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角均为锐角，所以， 因为， 所以，， 所以 . 故选：C 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解. 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 10．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的值为2 B． C．函数在单调递增 D．当时，方程存在两个根，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由题函数，所以由函数的最小正周期为得，A正确； 对于B，，， 即不是图象对称轴，因此，B错误； 对于C，当时，，因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，且 当时，方程存在两个根，等价于函数与图象在上有两个交点， 所以，D正确. 故选：ACD 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 12．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 【答案】BCD 【分析】将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于选项D，正确 对于选项B，，B正确； 对于选项A，将代入函数的解析式，得，函数的图象不关于点对称，A错误， 对于选项C，因为，C正确； 故选：BCD. 13．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递减 B．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C．若函数的最小正周期为，则 D．当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 【答案】AB 【分析】根据辅助角公式化简，即可根据余弦函数的单调性判断A，根据平移的性质，可得求出即可判断B，根据周期公式即可求判断C，由题可求得方程的根计算可判断D. 【详解】由可得， 对于A，当时，，当时，， 故在上单调递减，A正确； 对于B，将函数的图象向左平移得， 则，可得， 解得，故的最小值为5，B正确； 对于C，的最小正周期为，故，解得，故C错误； 对于D，当时，，由可得， 故， 则 ，故，因此，故D错误. 故选：AB 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的单调递增区间是 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】由，然后逐项判断. 【详解】由题意可得，则的最小正周期为，故A正确． 因为，所以的最大值为1，故B错误． 令，解得， 则的单调递增区间是，故C正确． ，即，则， 解得， 即不等式的解集是，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 15．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【详解】由可得， 故. 故答案为： 16．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ，又，所以， 故答案为：. 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】方法一：先利用二倍角公式，结合同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角公式结合弦化切进行求值. 方法二：分子分母同乘以，利用平方关系求值. 【详解】法1： ，解得：， . 法2：∵， ∴ 又，，∴. 故答案为： 18．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】首先根据余弦的和差角公式得到方程组，通过解方程组求得与的值，然后利用商数关系进行转换并代入求解即可. 【详解】已知；. 联立方程组，解得：. 由，所以. 故答案为： 四、解答题 19．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 【答案】(1)； (2), 【分析】（1）利用条件先判定角的范围，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 而，所以，即， 则， 结合上知，而， 所以； （2）由上易知： ， 又， 因为，所以. 20．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若α是的一个零点，求的值． 【答案】(1)函数的单调递增区间为. (2). 【分析】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数，再根据的单调性求函数的单调递增区间； （2）根据零点条件求出α的正切值，利用倍角公式结合正切值计算出的正弦、余弦值，代入函数计算. 【详解】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数： 函数的单调递增区间为. 令： 解得： 故函数的单调递增区间为. （2）根据零点条件： 利用倍角公式： ， 所以 21．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 【答案】(1)， (2)，最小值为 【分析】（1）根据辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数对称性求参，根据单调性即可求得单调增区间； （2）利用平移伸缩变换得到，再由角的范围结合正弦函数图象性质即可求得最值. 【详解】（1）由已知可得，. 又图象的相邻两对称轴间的距离为，则函数的周期满足， 则，解得，故得. 由可得，， 故的单调递增区间为. （2）由（1）知，， 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象. 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象. 因为，所以 故当，即时，的最小值为. 22．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2)， 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的单调性即得； （2）由，得，利用正弦函数的单调性得解. 【详解】（1）， 故的最小正周期， 令，可得， 故的单调递增区间为. （2）当，， 故当时，即时，． 当时，即时，. 23．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最小值及相应的值. 【答案】(1)(2)，， 【详解】（1）由于 ，， 由得：， 故的单调递增区间为， （2）时，， 当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 故当时，有最小值，且， 24．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的最小正周期与对称中心； (2)若，求的值域； (3)若，方程有三个实数解，且，求取值范围． 【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为(2)(3) 【详解】（1）， 所以的最小正周期为，由，解得， 所以的对称中心为； （2）因为，所以，所以， 即的值为； （3）当时，令， 由题意方程在上有三个实数解，分别为且， 即函数与的图象在区间上有三个交点，作出函数图象，如图： 则，由正弦函数的对称性可知，，， 则，解得，又，所以， 故，即取值范围为． 25．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知 (1)求的最小正周期； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 【答案】(1) (2)①或 ② 【详解】（1） ， ∴的最小正周期为即为所求. （2） ①令，其中x与t是一一对应的，当时，， ，所以，如图， 要使在区间上恰有两个零点 等价于的图象与直线在有两个交点， 所以要使在区间上恰有两个零点， 的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象对称性可知， 即，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03：三角恒等变换 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 知识点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识点五　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 知识点六　辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 【题型归纳】 题型一：两角和差的三角函数公式 【例1】．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式1】．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2】．（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 题型二:二倍角公式 【例2】．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 【变式2】．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数. (1)求图象的对称轴方程； (2)若，求的值. 题型三：降幂公式的化简求值问题 【例3】．（20-21高一下·河南商丘·期末）已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求的最小值； （2）求函数的值域. 【变式1】．（22-23高一下·云南保山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（21-22高一上·湖南长沙·期末）已知，且满足，求：的值 题型四：辅助角公式的应用 【例4】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的最大值及取得最大值时x的值； (3)当时，求的单调递增区间． 【变式1】．（24-25高一下·河北·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域. 【变式2】．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)函数，若且，求的最大值. 题型五：三角恒等式变换中的给角求值问题 【例5】．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高三下·甘肃·月考）计算（   ） A．2 B． C． D． 题型六：三角恒等式变换中的给值求值问题 【例6】．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【变式2】．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：三角恒等式变换中的给值求角问题 【例7】．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型八：三角恒等变换综合问题 【例8】．（25-26高一上·浙江·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【变式1】．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 【变式2】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的根． （i）求实数的取值范围； （ii）求的值（用含的代数式表示）． 【变式3】．（24-25高一下·北京·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间及最小正周期； (2)设，若集合恰有两个元素，求的取值范围. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期末）的值为（ ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，则（    ） A．7 B． C． D． 5．（25-26高二上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的值为2 B． C．函数在单调递增 D．当时，方程存在两个根，则 11．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 12．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知函数，则（ ） A．函数的图象关于点对称 B．的最小值为-2 C．直线是函数的一条对称轴 D．函数步骤正确 13．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递减 B．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C．若函数的最小正周期为，则 D．当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的单调递增区间是 D．不等式的解集是 三、填空题 15．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则 ． 16．（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ． 17．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，则 ． 18．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则 . 四、解答题 19．（25-26高二上·河北保定·期中）已知，，，. (1)分别求和的值； (2)求、的值. 20．（24-25高一下·四川德阳·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若α是的一个零点，求的值． 21．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 22．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 23．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最小值及相应的值. 24．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的最小正周期与对称中心； (2)若，求的值域； (3)若，方程有三个实数解，且，求取值范围． 25．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知 (1)求的最小正周期； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ① 求m的取值范围； ② 求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $