2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学第一学期期末模拟试卷

九年级数学上学期期末模拟试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D C B A 1．D 【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． 根据相似形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等． 【详解】解：A、两个直角三角形，只能得到两个三角形的直角对应相等，其它两角不能判断是否对应相等，所以不是相似形，不符合题意． B、两个等腰三角形，不能判断对应角相等，也不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． C、两个矩形，能判断对应角相等，但不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． D、两个等边三角形，它们的内角都是，等边三角形的三边都相等，可以判断对应边的比相等，所以是相似形，符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】作出直角三角形，结合余切函数的定义（邻边比对边）可直接得出． 【详解】解：直角三角形中，，， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，理解余切函数的定义是解题关键． 3．D 【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴与方向相同，且，即是的中点， ∴，，，， 综上可知，只有正确， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长． 【详解】解：， ， 即：， ， ， 故选：B． 6．A 【分析】设抛物线的解析式为，根据题意得到图像过顶点及代入求出解析式，解出时的值，即可得到答案； 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意可得， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，（不符合题意舍去）， 故选：A； 【点睛】本题考查抛物线的运用，解题的关键是根据题意求出抛物线解析式． 7． 【分析】先将化成，然后整体代入求值即可． 【详解】解：==-1=． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，灵活运用分式除法的运算法则化简成为解答本题的关键． 8． 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查向量的线性运算，掌握向量的数乘和加法运算法则是解题的关键．先通过乘法分配律去括号，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 10． 【分析】将原点坐标代入二次函数解析式，列方程求即可． 【详解】解：由题意知，将代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键． 11．a＞2 【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0． 【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下， ∴2-a＜0，即a＞2， 故答案为：a＞2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下． 12．x=-1 【分析】根据抛物线的对称性可求解． 【详解】解：∵当x=-2和x=0时，y的值都是3 ∴该抛物线的对称轴是直线 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象具有对称性是解答本题的关键． 13． 【分析】根据抛物线得到开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴有2个单位，距离对称轴有1个单位， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键． 14．米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设铅直高度为米，根据坡度的概念计算求解即可，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设铅直高度为米， ∵河堤横断面迎水坡的坡度， ∴， ∴， 故答案为：米． 15． 【分析】先根据勾股定理得到BD=4，再根据△ACB∽△BDC时对应边成比例即可得到进而求解． 【详解】解：Rt△BCD中，由勾股定理有：BD²=BC²-CD²=5²-3²=16， ∴BD=4， ∵△ACB∽△BDC， ∴，代入数据得到：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，属于基础题，计算过程中细心即可． 16．4 【分析】由点G是△ABC重心， 可得CD AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长． 【详解】解：∵点G是△ABC重心，， ∴CD ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ACD， ∴ ∴GE 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 17．4 【分析】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上， 每个小的四边形都是边长为1的正方形， ，，，，， ， ∵， ∴， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识．如图，在的下方作，使得，，连接，则，证明，推出，推出，再根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，在的下方作，使得，，连接，则， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 19．． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】原式=3×-2×+×1 =． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．（1），；（2） 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可； （2）将，按题目要求平移即可． 【详解】（1）将点和代入抛物线得： 解得： ∴， （2）原函数的表达式为:， 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得： 平移后的新函数表达式为: 即 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． 21．（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 22．(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 23．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 24．(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H， 则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 即点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式，利用数形结合思想和相似三角形的性质求解是解题的关键． 25．(1)①；② (2) 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级数学上册(相似三角形+锐角三角比+二次函数)。 第一部分选择题 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列图形一定是相似形的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 2．在Rt中，，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 3．已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（    ）    A． B． C． D． 第二部分非选择题 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果，那么 ． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 9．计算： ． 10．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 11．如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是 ． 12．如果抛物线过点，且与y轴的交点是，那么抛物线的对称轴是直线 ． 13．已知点，在抛物线的图象上，判断 ． 14．河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为米，则铅垂高度为 ． 15．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°，CD＝3，BC＝5，则当AB＝ 时，△ACB∽△BDC． 16．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ． 17．如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为 ． 18．如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为 ． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23，24题每题12分；第25题14分：满分78分） 19．计算：3sin60°-2cos30°+tan60°•cot45° 20．已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 21．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      22．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 23．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 24．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 25．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期末模拟试卷 考试时间：100分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级数学上册(相似三角形+锐角三角比+二次函数)。 第一部分选择题 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列图形一定是相似形的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键． 根据相似形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等． 【详解】解：A、两个直角三角形，只能得到两个三角形的直角对应相等，其它两角不能判断是否对应相等，所以不是相似形，不符合题意． B、两个等腰三角形，不能判断对应角相等，也不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． C、两个矩形，能判断对应角相等，但不能判断对应边的比相等，所以不是相似形，不符合题意． D、两个等边三角形，它们的内角都是，等边三角形的三边都相等，可以判断对应边的比相等，所以是相似形，符合题意． 故选：D． 2．在Rt中，，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出直角三角形，结合余切函数的定义（邻边比对边）可直接得出． 【详解】解：直角三角形中，，， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，理解余切函数的定义是解题关键． 3．已知直线上三点，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴与方向相同，且，即是的中点， ∴，，，， 综上可知，只有正确， 故选：D． 4．下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可． 【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意； ．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意； ．，是的二次函数 ，故该选项符合题意； ．，是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，已知，，若，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长． 【详解】解：， ， 即：， ， ， 故选：B． 6．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面米，最高点距灯柱的水平距离为米，灯柱为米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米．（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线的解析式为，根据题意得到图像过顶点及代入求出解析式，解出时的值，即可得到答案； 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意可得， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，（不符合题意舍去）， 故选：A； 【点睛】本题考查抛物线的运用，解题的关键是根据题意求出抛物线解析式． 第二部分非选择题 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果，那么 ． 【答案】 【分析】先将化成，然后整体代入求值即可． 【详解】解：==-1=． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，灵活运用分式除法的运算法则化简成为解答本题的关键． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，据此列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设的长为，则， 根据黄金分割的定义可知：，即， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的长为； 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查向量的线性运算，掌握向量的数乘和加法运算法则是解题的关键．先通过乘法分配律去括号，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为 ． 10．二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】将原点坐标代入二次函数解析式，列方程求即可． 【详解】解：由题意知，将代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键． 11．如果抛物线开口向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】a＞2 【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a＜0． 【详解】∵抛物线y=（2-a）x2+2开口向下， ∴2-a＜0，即a＞2， 故答案为：a＞2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向下． 12．如果抛物线过点，且与y轴的交点是，那么抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】x=-1 【分析】根据抛物线的对称性可求解． 【详解】解：∵当x=-2和x=0时，y的值都是3 ∴该抛物线的对称轴是直线 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象具有对称性是解答本题的关键． 13．已知点，在抛物线的图象上，判断 ． 【答案】 【分析】根据抛物线得到开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴有2个单位，距离对称轴有1个单位， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键． 14．河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为米，则铅垂高度为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设铅直高度为米，根据坡度的概念计算求解即可，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】解：设铅直高度为米， ∵河堤横断面迎水坡的坡度， ∴， ∴， 故答案为：米． 15．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°，CD＝3，BC＝5，则当AB＝ 时，△ACB∽△BDC． 【答案】 【分析】先根据勾股定理得到BD=4，再根据△ACB∽△BDC时对应边成比例即可得到进而求解． 【详解】解：Rt△BCD中，由勾股定理有：BD²=BC²-CD²=5²-3²=16， ∴BD=4， ∵△ACB∽△BDC， ∴，代入数据得到：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，属于基础题，计算过程中细心即可． 16．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝12，那么线段GE的长为 ． 【答案】4 【分析】由点G是△ABC重心， 可得CD AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长． 【详解】解：∵点G是△ABC重心，， ∴CD ∵GE∥BC， ∴△AEG∽△ACD， ∴ ∴GE 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 17．如图，在的网格中，已知每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：设与网格线交于点R，取格点Q，连接、、，则A、C、Q三点在同一条直线上，D、B、Q三点在同一条直线上， 每个小的四边形都是边长为1的正方形， ，，，，， ， ∵， ∴， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识．如图，在的下方作，使得，，连接，则，证明，推出，推出，再根据，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，在的下方作，使得，，连接，则， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23，24题每题12分；第25题14分：满分78分） 19．计算：3sin60°-2cos30°+tan60°•cot45° 【答案】． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】原式=3×-2×+×1 =． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20．已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可； （2）将，按题目要求平移即可． 【详解】（1）将点和代入抛物线得： 解得： ∴， （2）原函数的表达式为:， 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得： 平移后的新函数表达式为: 即 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． 21．已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 22．某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 23．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 24．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H， 则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 即点P坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式，利用数形结合思想和相似三角形的性质求解是解题的关键． 25．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； (2)如图3，若，当时，直接写出的值为_____． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $