精品解析：辽宁省朝阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2026年全市八年级学业水平适应性考试数学试卷（北师版） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 6，8，10 C. 3，4，7 D. ，， 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 4. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了三次实心球测试，他们平均成绩相同，方差分别是，，，，则实心球测试成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，，交于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 7. 如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C D. 10. 机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 乐乐比明明早出发 B. C. 乐乐的速度为 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 立方根是__________． 12. 如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 13. 在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按的比例计算，该选手最终的成绩是________分． 14. 今有钢笔不知其数．若每盒装四支，则剩一支；若每盒装六支，则剩三支；若每盒装八支，则剩五支．那么至少有钢笔________支． 15. 如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）解方程组. 17. 如图，点E在上，点F在上，连接，，，交于点G，交于点H，，，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）点P是y轴上一动点，并满足最小，请在图中找出点P的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值． 19. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 20. 全国青少年航空航天模型锦标赛上，造型精美的航模在蓝天中划出绚丽轨迹，赢得观众阵阵掌声．小明和小亮都是航天爱好者，他们购买了甲、乙两种航模纪念品收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了2件甲种航模纪念品和3件乙种航模纪念品，共花了115元． 小亮：我买了3件甲种航模纪念品和2件乙种航模纪念品，共花了110元． 求甲、乙两种航模纪念品每件的售价分别为多少元？ （请利用二元一次方程组方法作答） 21. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，点D为边上一点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段的长． 23. 如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，设点，且． ①求的面积；（用含t的代数式表示） ②如果和的面积相等，求t的值； ③已知直线（k为常数）经过一定点E，在②的条件下，在第一象限内，以为腰作等腰直角，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全市八年级学业水平适应性考试数学试卷（北师版） （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键． 根据实数的大小比较方法进行比较即可． 【详解】解：∵正数大于 0 ，负数小于 0 ，正数大于负数， ， 故最小的数是， 故选：C． 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. B. 6，8，10 C. 3，4，7 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，三角形三边关系，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是正整数，不是勾股数，故该选项不符合题意； B、，是勾股数，故该选项符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项不符合题意； D、，不是勾股数，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征进行判断。 【详解】解：在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，点的横坐标，纵坐标，符合第四象限的坐标特征， 因此，点在第四象限， 故选：D． 4. 甲、乙、丙、丁四位同学进行了三次实心球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则实心球测试成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的意义：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小进行判定． 【详解】解：∵，，，，， ∴实心球测试成绩最稳定的是乙． 故选：B． 5. 如图，，交于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由邻补角的关系可求出的度数，运用两直线平行，内错角相等即可求出的度数，． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 相等的角是对顶角 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了对顶角的性质、不等式、平方的意义、全等三角形的判定、三角形三边关系，根据以上知识点分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A：取，则，但，∴命题不成立． B：取等腰三角形的两底角，它们相等但不是对顶角，∴命题不成立． C：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，∴命题成立． D：条件不能判定三角形全等，例如存在锐角和钝角三角形两种情况，∴命题不成立． 因此，真命题是C． 故选：C． 7. 如图，一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两个一次函数的交点坐标为，那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：将代入得， ∴一次函数和的图象交于点， ∴点满足二元一次方程组； ∴方程组的解是． 故选：A． 8. 已知，是一次函数图象上的两个点，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据的，得出随着增大而减小，又因为，则，即可作答． 【详解】解：∵函数 的， ∴ 随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 9. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 10. 机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 乐乐比明明早出发 B. C. 乐乐的速度为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数的图象获取信息，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：结合图象可知，乐乐的图象从开始，明明的图象从开始， ∴乐乐比明明先出发， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴明明提速前的速度是， ∵明明出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴明明提速后速度为， 故提速后明明行走所用时间为：， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴乐乐的速度为， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∴； 故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 如图，有一个圆柱形的礼盒，上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一条丝带装饰礼盒，丝带沿侧面缠绕礼盒一圈，并且经过A，B两点．若礼盒高，底面圆的周长为，那么需要丝带的长度最少为________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了圆柱体的展开图和勾股定理的应用，准确的计算是解决本题的关键．将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半，再运用勾股定理求出即可得到解答． 【详解】解：将圆柱体展开如图，点为展开图长方形一边的中点，为底面圆周长的一半， ， 在中，， ， ∴需要丝带的长度最少为． 故答案为：52． 13. 在“青春跟党走，逐梦新征程”主题演讲比赛中，某选手的情感传递、语言表达、演讲内容这三个方面得分分别为：92分、80分、84分，若三项得分按的比例计算，该选手最终的成绩是________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．运用加权平均数公式计算即可． 【详解】解：该选手最终的成绩是：分． 故答案为：． 14. 今有钢笔不知其数．若每盒装四支，则剩一支；若每盒装六支，则剩三支；若每盒装八支，则剩五支．那么至少有钢笔________支． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了数的整除，最小公倍数．通过观察余数，发现钢笔数加3后能被4、6、8整除，因此求4、6、8的最小公倍数24，则钢笔数为24的倍数减3，取最小正整数21． 【详解】解：∵若每盒装四支，则剩一支；若每盒装六支，则剩三支；若每盒装八支，则剩五支． ∴发现钢笔数加3后能被4、6、8整除， 则4、6、8的最小公倍数是24， ∴（支） 故答案为：21． 15. 如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了一次函数几何综合，折叠的性质，勾股定理等知识点，如图，当时，过点D作轴，勾股定理得，设，则，根据折叠可得，进而得出，，在中，勾股定理求出，，则，待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【详解】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则，解得：， 则直线的函数关系式为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）解方程组. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再运算加减法，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得； 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 如图，点E在上，点F在上，连接，，，交于点G，交于点H，，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，先由对顶角相等和已知条件证明，则可证明得到，结合得出，证出得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形，写出点C的对称点F的坐标； （2）点P是y轴上一动点，并满足最小，请在图中找出点P的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值． 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， 【解析】 【分析】本题考查了作图－轴对称变换，轴对称－最短路线问题，勾股定理，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的特点：横坐标不变，纵坐标相反，画图即可； （2）作出点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：即为所求，， 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求，此时． 19. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米 （2）4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面垂直高度为米． 【小问2详解】 解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 20. 全国青少年航空航天模型锦标赛上，造型精美航模在蓝天中划出绚丽轨迹，赢得观众阵阵掌声．小明和小亮都是航天爱好者，他们购买了甲、乙两种航模纪念品收藏．下面是两位同学的对话： 小明：我买了2件甲种航模纪念品和3件乙种航模纪念品，共花了115元． 小亮：我买了3件甲种航模纪念品和2件乙种航模纪念品，共花了110元． 求甲、乙两种航模纪念品每件售价分别为多少元？ （请利用二元一次方程组方法作答） 【答案】甲种航模纪念品每件售价20元，乙种航模纪念品每件售价25元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，设甲、乙两种航模纪念品每件的售价分别为元元，结合小明和小亮的对话内容进行列方程组，再解方程组，即可作答． 【详解】解：设甲、乙两种航模纪念品每件的售价分别为元元， 依题意，， 解得， ∴甲、乙两种航模纪念品每件的售价分别为元，元． 21. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】（1）128，136 （2）A （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将乙组的成绩从小到大排列为125，128，128，133，134，138，138，146，148，149， 所以，， 故答案为：128，136； 【小问2详解】 解：从表中可知，甲组的四分位数是， 而图中左边的箱线图（标记为A）的箱子下边缘在132、中位数在 136、上边缘在 144，并且其整体范围从约 115 到 162，与甲组数据对应， 因此A代表甲组成绩． 【小问3详解】 解：甲组测试的成绩的方差更大， 理由如下：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，所以甲组测试的成绩的方差更大．（合理即可）． 22. 如图，和都是等腰直角三角形，，点D为边上一点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题是几何综合题，涉及等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理等知识． （1）需利用等腰直角三角形的边相等和角的关系，通过证明全等； （2）先由全等得对应边和角相等，结合等腰直角三角形内角推出直角，再用勾股定理及等腰直角三角形斜边与直角边关系推导； （3）利用前两问结论，结合勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 证明：和都是等腰直角三角形，且， ，，， 即． 在和中， ． 【小问2详解】 证明：， ，（全等三角形对应角相等）． 是等腰直角三角形，， ． ， 是直角三角形． ． 是等腰直角三角形，， ． ． 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形，， ． 设，设， ， ， 由是直角三角形，得． ， ． 在中，． 又， ， 得． 将代入上式，得， 解得． ， （因长度为正，取正值）． 联立， 两式相加得， 解得． ． 【点睛】本题围绕等腰直角三角形的性质展开，通过全等三角形判定（）解决第一问，再利用全等性质结合勾股定理推导第二问的数量关系，第三问则是前两问结论的应用，通过设未知数、建立方程求解线段长度．解题关键在于灵活运用等腰直角三角形的边、角特征，以及全等三角形和勾股定理的关联． 23. 如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，设点，且． ①求的面积；（用含t的代数式表示） ②如果和的面积相等，求t的值； ③已知直线（k为常数）经过一定点E，在②的条件下，在第一象限内，以为腰作等腰直角，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①的面积；②；③或 【解析】 【分析】该题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定． （1）先将点代入中，求出， 根据点利用待定系数法求出直线函数表达式． （2）①先求出，，根据点，，求解即可． ②先表示出，根据，列出方程求解即可． ③先得出直线（k为常数）经过一定点，，分为当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， ∴， 设直线函数表达式为， 将点代入中，得， 解得：， ∴直线函数表达式为． 【小问2详解】 解：①令，则， ∴， 令，则，解得：， ∴， ∵点，， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ③， 当时，， 故直线（k为常数）经过定点， 当时，， 当时，过点作轴交轴于点G，过点Q作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点作轴交轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，在第一象限内，以为腰作等腰直角，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $