精品解析：辽宁省朝阳市北票市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

北票市2024-2025学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0是有理数； 是无理数． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 下列是正方体的四种平面展开图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么该图形就是轴对称图形．根据该定义判断即可解答． 【详解】A、C、D选项中的图形都不能沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，它们都不是轴对称图形； 如图，B选项中的图形能够沿着一条直线折叠，使直线两旁的部分能够完全重合，它是轴对称图形． 故选：B 3. 下面的三个数据，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 2，3，4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，最大边的平方等于两个较小的边的平方之和，即为直角三角形，据此进行作答即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，故该选项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边长，故该选项不符合题意； D、，不能作为三角形的三边长，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：BG∥AF，可得∠FAE=∠BED=50°，再根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：BG∥AF， ∴∠FAE=∠BED=50°， ∵AG为折痕， ∴ ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；图形折叠前后对应角相等是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴，平面镜所在点的竖线为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标护卫相反数． 7. 如图，，与交于点O，添加下列条件后依然不能判定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．根据三角形全等的判定方法处理． 【详解】解：∵，， 若添加，不能判定； 若添加，根据能判定； 若添加，根据能判定； 若添加，则，根据能判定； 故选：A． 8. 已知一次函数，则该函数的图像大致是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，，函数值随的增大而增大，即可得到结论． 【详解】∵一次函数，， ， ∴函数经过第一，二，三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 9. 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，利用两种方法，表示出阴影部分面积，即可得出结果． 【详解】解：阴影部分的面积． 故选：A． 10. 如图，在等腰直角中，为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰交于．连接与相交于点G，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的外角定理等知识．先证明，求出，再根据，，即可得到． 【详解】解：根据为等腰直角三角形，， ，， ∴，， ∵， ∴， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】运用提公因式、平方差公式因式分解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式、公式法因式分解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 若使二次根式有意义，则a 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零求解即可． 【详解】∵二次根式有意义 ∴ ∴． 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25，则∠ACB的度数为_____． 【答案】105° 【解析】 【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质得∠DCB度数，再利用三角形外角的求法得∠ADC，在中利用等腰三角形求得∠A=∠ADC，最后利用角的和差求∠ACB＝∠ACD+∠BCD即可． 【详解】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∵∠B＝25， ∴∠DCB＝∠B＝25， ∴∠ADC＝50， ∵CD＝AC， ∴∠A＝∠ADC＝50， ∴∠ACD＝80， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80+25＝105， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了尺规作图、垂直平分线、等腰三角形、三角形外角的性质，解决此类题目的关键是发现尺规作图所作的内容，并会应用垂直平分线、等腰三角形、三角形外角的性质． 15. 如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 【答案】4.1 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、立方根、解二元一次方程组等知识点，掌握相关运算法则和运算方法是解题的关键． （1）先根据立方根、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得：，解得：， 将代入①得：， 所以方程组的解为：． 17. 先化简，再求值：，请在的范围内选择一个合适的整数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点灵活运用分式的混合运算法则是解题的关键 先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据分式有意义的条件结合的值确定x，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，，． ∴当时，原式． 18. 如图，在中，是的平分线，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求；见解析；（2）如图所示：，即为所求；见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标. 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键. 20. 将和如图放置．已知，，， 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质．由等角的补角相等求得，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质求得，再利用即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21 列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 【答案】（1） （2）总费用为20元 【解析】 【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系式列方程组是解决问题的关键．总费用由里程费和耗时费组成，根据小明和小刚打车的费用表格，可以列出两个关于，的等式组成二元一次方程组，解这个方程组即可求出、的值． （2）第一问已求得里程费和耗时费的单价、，根据小华打车的里程和耗时分别乘以单价得到里程费与耗时费，两者之和即是打车总费用． 【小问1详解】 解：根据题意得方程组 解方程组得 【小问2详解】 解： 小华的里程数是12公里，时间为16分钟． 总费用是：（元）． 答：总费用是20元． 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得 一次函数的“不动点”为 【小问2详解】 解：根据定义可得，点在上， 解得 点又在上， ， 又 解得 【小问3详解】 直线上没有“不动点”， 直线与平行 ，令， 令，则 设 即或 解得或 或 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 23. 【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上的点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和应用，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可； （2）连接，过点作交的延长线于点，证明，得到，再根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，求出，证明和，再由即可得到答案． 【详解】解：（1）过D点作于点N，于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，过点作交的延长线于点； ， ， 由“双外弦三角形”的含义得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， ， 由平行线间的距离处处相等可得：， ， ， 和是等腰直角三角形，， ， ， ， 和的面积和为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北票市2024-2025学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列是正方体的四种平面展开图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面三个数据，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 2，3，4 D. 4. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴，平面镜所在点的竖线为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，与交于点O，添加下列条件后依然不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数，则该函数图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在边长为a正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角中，为斜边上高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰交于．连接与相交于点G，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 12. 若使二次根式有意义，则a 的取值范围是_________． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25，则∠ACB的度数为_____． 15. 如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 先化简，再求值：，请在的范围内选择一个合适的整数代入求值． 18. 如图，在中，是的平分线，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 20. 将和如图放置．已知，，， 求证：． 21. 列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 （1）求出x，y的值； （2）周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了12公里，用时16分钟，那么小华的打车总费用为多少？ 22. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为 ． （2）若一次函数的“不动点”为，求m、n的值． （3）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标． 23. 【概念建构】 在中，，，直线经过点A，于点D，于点E．如图1，当直线在外部时，称和是的“双外弦三角形”，如图2，当直线在内部时，称和是的“双内弦三角形”，依据全等的判定定理，我们可以得到“双外弦三角形”和“双内弦三角形”都是全等三角形，即． 【概念应用】 （1）如图3，在中，，于点M，，E是边上点，，，连接，，若，，求的长． 小亮受到【概念建构】的启发，想到解决方法：过D点作于点N构造出如图4所示的“双内弦三角形”，并应用“双内弦三角形”是全等三角形的结论求出了．请你依照小亮的解题思路，写出解答过程． （2）如图5，在中，，，D是边上一点，，，交于点N，延长，交于点F，直接写出，，之间的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图6，，和是等腰直角三角形，，，，直接写出和的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $