精品解析：山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

枣庄三中高二年级第一学期1月月考考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 3. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求直线上一点的坐标，利用对称知识，即可求得答案. 【详解】设与直线关于轴对称的直线的上一点为， 则在直线上，即得，即， 故与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：A 4. 曲线与曲线的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案． 【详解】设动圆圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆，即的圆心为，半径为2； 依题意得，，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：A. 6. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得 【详解】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 7. 设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合已知条件利用抛物线的定义以及两点间的距离公式求出，再由即可求出. 【详解】如图所示： 由抛物线，则， 所以抛物线焦点为，准线方程为：， 因为为抛物线上一点，且垂直准线， 由抛物线定义得：， 所以， 由， 取，则， 由垂直准线，则，又， 所以， 所以， 所以为等边三角形，故. 故选：C. 8. 在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，点为圆上任意一点则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆C恒有两个公共点 C. 直线被圆截得最短弦长为 D. 当时，点到直线距离最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分离参数法即可得到直线的定点，根据直线与圆的位置关系，弦长计算公式及点到直线的距离逐项分析判断即可. 【详解】选项A：将直线整理为关于的方程：. 令，解得，因此直线恒过定点，A正确； 选项B：圆：圆心为，半径. 圆心到直线恒过定点的距离：， 所以定点在圆内，因此直线与圆恒有两个公共点，B正确； 选项C：由直线的方程易知，直线斜率存在. 又直线方程为，故直线不垂直于直线. 若直线，此时弦心距为，根据弦长公式得，， 所以直线被圆截得弦长，C错误； 选项D：当时，直线方程为，即. 圆心到直线距离为：， 所以圆上点到直线距离最大值为，D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为的一个焦点 B. 双曲线的离心率为 C. 过右焦点作直线与交于，两点，则满足的直线有且只有两条 D. 设，，为上三点且，关于原点对称，则，斜率存在时其乘积为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，即可得到焦点坐标，进而求出离心率，判断出选项A、B；通过比较双曲线实轴长度、通径长度与的大小关系，即可判断出选项C；设出点的坐标，根据作差法得到坐标之间的关系，代入斜率公式即可判断选项D. 【详解】由双曲线：的一条渐近线方程为，即可知， 当焦点在轴上时，双曲线方程为，此时，所以. 由题意可知，解得，满足条件，此时双曲线方程为. 当焦点在轴上时，双曲线方程可变形为，此时，所以. 由题意可知，解得，故舍去. 综上，双曲线方程为. 选项A：，所以焦点坐标为，A错误； 选项B：离心率，B正确； 选项C：当直线同时与双曲线左右两支相交时，弦长最小值为， 当直线与双曲线右支相交时，弦长最小值为通径，此时. 因为，所以满足条件的直线有4条（与双曲线右支相交时2条，同时与双曲线左右两支相交时2条），C错误； 选项D：设，，， 因为，，在双曲线上，所以，， 两式相减得，即. ，D正确. 故选：BD. 11. 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接求解前9项判断A；根据前9项求和判断B；根据累加得判断C；结合累加判断D. 【详解】由题知，，，，，，，，， 故A选项错误； 所以，故B选项正确； 由知：，，，……，，， 将以上式子相加得：，即， 所以，故，C选项正确； 因为，所以 所以，故D选项正确； 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果． 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列， ∴S7==381，解得a1=3．故答案3. 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 13. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间距离的向量方法求解即可； 【详解】由题知，的一个法向量，点在平面内， 所以根据点到平面的距离公式. 所以点到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率. 【详解】因为，所以，所以， 所以双曲线，设， 则，所以，所以； 又，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且． （1）求的长； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，再利用模长公式即可求出答案； （2）求出，，，再根据数量积公式求向量的夹角即可求出答案. 【小问1详解】 因为， 由题意得 ． 【小问2详解】 因为， 由题意得 ， 因为底面是边长为2的正方形，， 又， 所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 16. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，若过点引圆的切线，切点分别为和，且满足，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题目信息列方程，联立即可求出答案； （2）求出，根据两点间距离公式及点在直线上列方程组，即可求出答案. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以， 因为圆经过点，所以， 因为圆与直线相切，所以， 联立，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，由对称性可知， 所以， 且在直线上， 设，所以， 解得或， 所以点的坐标为或. 17. 类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立. （1）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式； 名称 等差数列 等比数列 常用性质 ①… ②______________ ①______________ ② （2）在等差数列中，若，则有．相应地，在等比数列中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明． （3）若等差数列，等比数列，令，求数列的前项和． 【答案】（1）①；②； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述，应用类比思想将等差数列的关系式按规则改写，即可得等比数列的关系式，反之也成立； （2）类比推断出相关的对偶关系式，并根据等比数列性质进行证明即可； （3）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如下表： 名称 等差数列 等比数列 常用性质 ①… ② ① ② 【小问2详解】 类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若，则； 证明如下： 由等比数列性质知； 故当，即时，； 则， 同理当，即时，， 则， 综上所述：. 【小问3详解】 因为， 所以①， ①3：②， ①②：， ． 化简得：． 18. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）条件下，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）由(1)建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可； （3）设三棱锥外接球的球心为，半径为，利用列方程组，求出，再根据球的表面积公式即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接，，， 因为四边形是边长为2的菱形，所以. 因为，所以是等边三角形， 所以，. 因为，所以. 因为，所以，故. 因为，、平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 所以直线，，两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 由， 取，得 设平面的法向量为， 由， 取，得. 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 因为是三棱锥的外接球， 所以， 即，解得， 所以外接球表面积为． 19. 已知椭圆经过点，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程； （3）若直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作直线，垂足为，作直线交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入椭圆方程，结合的关系求得椭圆方程； （2）设直线的方程为，，，联立方程组结合弦长公式可得，求解即可； （3）设，，与椭圆方程联立，求得，进而求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆经过点，所以， 因为右焦点为，所以， 联立方程组，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去整理得， ， 则，解得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 椭圆的右顶点，显然直线的斜率存在，设斜率为， 则，， 点到直线的距离，所以， 联立方程组，消去整理得， 所以，即， 所以， 于， 若，则斜率取时，显然更大， 故最大时，， 令，则， 由基本不等式得最大时，，， 所以当最大时，直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中高二年级第一学期1月月考考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 与直线关于轴对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线与曲线的（ ） A 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 C. 一条抛物线上 D. 一个圆上 6. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：，点为圆上任意一点则下列结论正确是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆C恒有两个公共点 C. 直线被圆截得最短弦长为 D. 当时，点到直线距离最大值为 10. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ） A. 为的一个焦点 B. 双曲线的离心率为 C. 过右焦点作直线与交于，两点，则满足的直线有且只有两条 D. 设，，为上三点且，关于原点对称，则，斜率存在时其乘积为4 11. 斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________ 13. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为_______． 14. 已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且． （1）求的长； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 16. 已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． （1）求圆的标准方程； （2）设为直线上的点，若过点引圆的切线，切点分别为和，且满足，试求所有满足条件的点的坐标． 17. 类比等差数列和等比数列定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“+”改为“×”，“-”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立. （1）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式； 名称 等差数列 等比数列 常用性质 ①… ②______________ ①______________ ② （2）在等差数列中，若，则有．相应地，在等比数列中，若，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明． （3）若等差数列，等比数列，令，求数列的前项和． 18. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）条件下，求三棱锥外接球的表面积． 19. 已知椭圆经过点，且右焦点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程； （3）若直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作直线，垂足为，作直线交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $