精品解析：安徽省合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高二上学期第三次段考数学试卷

宏图大地中学2025-2026学年度（上）高二年级 数学学科第三次段考试卷 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则在上投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B. 若空间向量，满足，则或； C. 若空间向量满足，则； D. 若空间向量满足，，则． 8. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. 对抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下，准线方程为 B. 开口向下，焦点为 C. 开口向左，焦点为 D. 开口向左，准线方程为 10. 已知直线：，则下列结论正确有（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 直线与直线垂直 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 11. 设等差数列前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，若，则_____. 13. 若等差数列的前项和为，已知，则___________． 14. 已知实数满足的方程为，则的最大值为______． 四、解答题（共77分；第15题13分；第16，17题15分；第18，19题17分） 15. 已知等差数列的前项和为，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求使得不等式成立的的最小值． 16. 如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知圆. （1）过点作圆切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 19. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宏图大地中学2025-2026学年度（上）高二年级 数学学科第三次段考试卷 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 得分： 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列满足，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得到，解出即可. 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得. 故选：C． 2. 若圆和圆相交于两点，则公共弦的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆方程相减即可得公共弦直线方程. 【详解】由两圆和圆方程相减， 可得公共弦的直线方程， 故选：C. 3. 若双曲线方程为，则它的两条渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，双曲线方程为， 由，解得双曲线的渐近线方程为. 故选：A 4. 已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项. 【详解】 在  上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 5. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 【详解】由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 6. 已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线可以得出双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上，且椭圆与双曲线有相同焦点，设标准方程为，将点代入椭圆方程，最后计算结果 【详解】双曲线方程为，有 双曲线的焦点在轴上，所以椭圆的焦点也在轴上， 设其标准方程为，因为椭圆与双曲线同焦点，所以. 将点代入椭圆方程， 解得，又因为， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 7. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B. 若空间向量，满足，则或； C. 若空间向量满足，则； D. 若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 8. 已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. 对抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向下，准线方程为 B. 开口向下，焦点为 C. 开口向左，焦点 D. 开口向左，准线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断. 【详解】由题设，抛物线可化为， 开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误. 故选：AB. 10. 已知直线：，则下列结论正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 直线与直线垂直 D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】整理直线方程后得到一个方程组，可得直线所过定点，判断A；首先根据方程得到斜率，再求得其倾斜角，可判断B；由直线垂直的充要条件可判断C；根据直线的方程求得截距，进而判断D. 【详解】对于A，由得. 因为该方程对所有的恒成立，所以，所以直线恒过点，故A正确. 对于B，当时，直线的方程为，所以其斜率为，所以的倾斜角为，故B正确. 对于C，对于直线：与直线，当时，两条直线分别为和，满足垂直关系；当时，整理两条直线的方程得，，斜率之积为，满足垂直关系，所以C正确. 对于D，当时，直线的方程为，即，直线与坐标轴的交点为，因为，所以在两坐标轴上的截距不相等，故D错误. 故选：ABC. 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知空间向量，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】已知空间向量，，若，则， 即，有，解得， 所以，则， 故答案为： 13. 若等差数列的前项和为，已知，则___________． 【答案】26 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式，通项公式及其性质变形求解. 【详解】设数列的公差为， ，则， 故． 故答案为：26 14. 已知实数满足的方程为，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的几何意义并结合图象求解出最大值. 【详解】，其表示圆上的点与点连线的斜率， 如图所示，显然当直线与圆相切时，切点与原点的连线斜率有最值，即有最值， 当与圆相切时，则，解得， 所以的最大值为，即的最大值为， 故答案为：. 四、解答题（共77分；第15题13分；第16，17题15分；第18，19题17分） 15. 已知等差数列的前项和为，其中． （1）求数列的通项公式； （2）求使得不等式成立的的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可. 【小问1详解】 记等差数列的公差为，则，① ，即，② 联立两式，解得 故． 【小问2详解】 由（1）可知， 故，即，即， 又，故 因为，所以的最小值为5． 16. 如图，在四棱锥平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得余弦值，再求正弦值即可. 【小问1详解】 因平面，且， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 则、、、、. 于是，，, 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又，显然，，故得平面. 【小问2详解】 设平面的法向量为，且，， 则，令，可得. 而平面的法向量是， 所以，即 因此，平面与平面所成夹角的正弦值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可. 【小问1详解】 如图所示，建立以A为原点的空间直角坐标系， 由，， 可知， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 易知， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 由上可知，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 则点到平面的距离. 18 已知圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）已知直线，判断直线与圆的位置关系，如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】（1）或 （2）直线与圆相交，弦长为 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线被圆截得的弦长. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，则直线的方程为，即， 由题意得，解得，此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 19. 已知抛物线过其中两点，为的焦点. （1）求的方程； （2）若过点的直线与相交于两点，且的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）分别选两点，代入抛物线方程求解即可； （2）设直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理及面积求出即可. 【小问1详解】 若点在上，则，解得， 此时，点B不在E上； 若点在E上，则，无解； 若点在E上，则，无解. 综上，E方程为. 【小问2详解】 如图，可知直线的斜率可能不存在，但不为0， 设 联立l及E的方程得，则 此时，，解得. 故直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $