精品解析：安徽省合肥市肥西宏图中学2025-2026学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷

2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第一次段考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法法则可得答案. 【详解】由. 故选：C 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率是倾斜角的正切值即可求出倾斜角． 【详解】， 直线的斜率， ∵在0°到180°范围内，仅有， ∴直线l的倾斜角为150°． 故选：D． 3. 已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】应用空间向量线性运算及模的坐标表示求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 5. 如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 6. 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 7. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 8. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. （多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若向量同向共线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 11. 已知空间中三点，则（ ） A. 向量与向量垂直 B. 平面的一个法向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算数量积是否为0判断A，根据法向量的定义判断B，由向量夹角的坐标表示计算后判断C，坐标法求向量的模判断D． 【详解】由已知，则，所以，A对； 由，则，与不垂直，B错； 由，则，C对； 由，D错. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积公式计算求解. 【详解】，，所以. 故答案为：. 13. 已知直线：，直线：，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线垂直时斜率乘积为列方程，即可求解. 【详解】由于直线的斜率存在且不为零，且， 故直线的斜率也存在，且直线：， ，直线：，， ，即， 解得， 故答案为：2. 14. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 四、解答题（共77分；第15题13分；第16，17题15分；第18，19题17分） 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 16. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程为，代入点的坐标可求直线方程； （2）设直线l的方程为，结合条件可求直线方程； （3）直线的截距不为0，与截距为0两种情况求解可得直线方程. 【小问1详解】 设直线l的方程为为常数，代入点得， 所以直线l的方程为，即； 【小问2详解】 设直线l的方程为，则①，②， 由①②解得，,故直线l的方程为，即； 【小问3详解】 ①若直线的截距不为0，设直线的方程为， 将点代入直线方程可得，，解得，故直线方程为； ②若直线的截距为0，设直线的方程为，将点代入直线方程可得，， 故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 19. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值； 【小问1详解】 在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高二年级数学学科第一次段考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（    ） A. B. C. D. 7. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分） 9. （多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若向量同向共线，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 11. 已知空间中三点，则（ ） A. 向量与向量垂直 B. 平面的一个法向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 已知直线：，直线：，若，则______． 14. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 四、解答题（共77分；第15题13分；第16，17题15分；第18，19题17分） 15. 已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 16. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）求的长； （2）求与夹角的余弦值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $