第19章 二次根式单元复习（寒假衔接讲义）（6大全章知识点总结+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期

第19章 二次根式全章复习 知识点1：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，叫做被开方数。 2.核心特征：①形式上含二次根号； ②被开方数为非负数（双重非负性：且）； ③可以是数或整式。 3.识别要点：同时满足“含二次根号”和“被开方数非负”的式子才是二次根式。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.单个二次根式：。 2.多个二次根式相加：、、、（所有被开方数均非负）。 3.二次根式作为分式分母或：（分母不为0且被开方数非负）。 4.二次根式与分式结合：且（被开方数非负且分母不为0）。 知识点3：二次根式的性质 性质1：（），即非负数的算术平方根的平方等于它本身。 性质2：，即任意数的平方的算术平方根等于它的绝对值。 性质3（乘法）：（，），算术平方根的积等于积的算术平方根。 性质4（除法）：（，），算术平方根的商等于商的算术平方根。 知识点4：最简二次根式 1.定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简要求：二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式，且分母中不含二次根式。 知识点5：同类二次根式 1.定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。 2.核心作用：只有同类二次根式才能进行加减合并。 知识点6：二次根式的运算 1.加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（“化简→找同类→合并”三步法）。 2.乘除运算：遵循乘法法则（，）和除法法则（，），结果化为最简。 3.混合运算：顺序与整式混合运算一致——先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；可运用整式乘法公式（平方差、完全平方公式）简化计算。 4.分母有理化：通过分子分母同乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 【基础必考题型】 【题型1】求二次根式有意义的字母取值范围 1.核心知识点： 二次根式有意义的条件（被开方数非负） 分式有意义的条件（分母不为0） 2.解题方法技巧： 列不等式（组）：根据“被开方数≥0”“分母≠0”列出约束条件； 解不等式（组）：注意不等式的求解规则，结果用不等式表示； 验证特殊值：代入边界值检验是否符合条件。 【例题1】.请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，然后在范围内取的值即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，则， ∴实数范围内有意义的的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题1-1】.下列各式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数必须非负，否则无意义．逐一分析各选项被开方数的符号即可判断． 【详解】解：A. ：被开方数为正数2，有意义，整体为负数，有意义，不符合题意； B. ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，符合题意； C. ：被开方数为，是正数，有意义，不符合题意； D. ：，被开方数为正数，有意义，不符合题意； 故选： B． 【变式题1-2】.下列选项中的数能使二次根式无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件是被开方数非负，即无意义时，，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式有意义的条件为被开方数必须满足， 能使二次根式无意义的条件是， 解得， 故选：B． 【变式题1-3】.当 时，有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分母不能为零，被开方数是非负数，建立不等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得代数式有意义的条件是且， 解得且， 故答案为：且． 【题型2】最简二次根式化简与同类二次根式合并 1.核心知识点： 最简二次根式的定义（不含分母、无开尽方因数/因式） 同类二次根式的判定（化简后被开方数相同） 同类二次根式的合并法则 2.解题方法技巧： 分步化简：先将所有二次根式化为最简（去分母、开尽方）； 精准判定：比较化简后被开方数，相同即为同类二次根式； 规范合并：同类二次根式合并时，系数相加，被开方数保持不变。 【例题2】.下面二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 根据最简二次根式定义：被开方数不含有分母且不含能开得尽方的因数和因式，解答即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、是最简二次根式，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 【变式题2-1】.化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是二次根式的化简． （1）把原式化为，再进一步化简即可． （2）把原式化为，再进一步化简即可． （3）把原式化为，再进一步化简即可． （4）把原式化为，再进一步化简即可． （5）把原式化为，再进一步化简即可． （6）把原式化为，再进一步化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式题2-2】.若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 【变式题2-3】.计算． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【题型3】二次根式混合运算（结合乘法公式） 1.核心知识点： 二次根式的混合运算顺序 平方差公式、完全平方公式的灵活运用 2.解题方法技巧： 确定运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； 巧用公式：、； 分步化简：每一步运算后及时化为最简，减少后续计算量。 【例题3】.计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式展开，然后去括号计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题3-1】.计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则、二次根式加减法法则是解决问题的关键． （1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算，最后将各二次根式化为最简二次根式即可； （2）先利用乘法分配律进行计算，然后将各二次根式化为最简二次根式，并计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （3）先利用平方差公式进行计算，然后利用完全平方公式进行计算，最后合并同类二次根式即可； （4）先计算二次根式的乘法、化简二次根式、利用完全平方公式化简，然后合并括号内的同类二次根式，接着算二次根式的除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式题3-2】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题3-3】.计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，然后再计算二次根式的加法和除法即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4】利用二次根式的双重非负性求值 1.核心知识点： 双重非负性（且） 非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0） 2.解题方法技巧： 识别非负形式：、、等均为非负数； 列方程求解：若，则、、； 代入计算：求出字母的值后代入目标式子计算。 【例题4】.已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的性质，代数式求值．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及绝对值和算术平方根的非负性，是解题的关键． （1）根据互为相反数的两数之和为0，以及非负性进行求解即可； （2）根据二次根式的性质进行化简，再代值计算． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ； ∴原式 ． 【变式题4-1】. ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题4-2】.已知和互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值和二次根式的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【变式题4-3】.已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能，周长为，理由见解析． 【分析】本题考查的是二次根式的加减，非负数的性质，三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， 且， ，，， ，，． （2）解：，，， 即， 能构成三角形． 周长为：． 【培优高频题型】 【题型5】利用化简式子 1.核心知识点： 二次根式的性质（） 绝对值的化简规则 2.解题方法技巧： 先化绝对值：直接转化为； 再去绝对值：根据的正负性（已知条件或隐含条件）去掉绝对值符号； 最简结果：不含绝对值符号，分母不含根号。 【例题5】.若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式化简及绝对值的性质．根据算术平方根的性质和绝对值的定义，结合条件 进行化简． 【详解】解：∵ ，且已知 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题5-1】.若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，算术平方根的性质， 根据的条件，确定的符号，从而化简平方根表达式，再代入绝对值中计算． 【详解】解：因为， 所以， 因此 ． 则． 由于，所以， 因此． 故答案为：． 【变式题5-2】.求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】（1）先将根号内的式子化为完全平方式，再根据二次根式性质，结合的取值判断绝对值内式子的符号，进而判断小亮、小芳的解法对错； （2）先将根号内的式子配方，根据的取值确定绝对值内式子的符号，去掉根号后化简代数式，再代入的值计算． 【详解】（1）解：小亮 ∵根号内， ∴原式 根据二次根式性质，原式应为 ∵， ∴，小芳的解法正确； 而小亮将根号内错误分解为，因式分解错误， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：原式． ， ， 原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与代数式求值，掌握，并根据字母的取值确定绝对值符号的化简方向是解题的关键． 【变式题5-3】.已知，化简：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ． ， ，， 原式 ． 【题型6】二次根式化简求值（整体代入法） 1.核心知识点： 二次根式的化简 整体代入思想的应用 2.解题方法技巧： 化简已知条件：将已知字母表达式分母有理化或变形（如化为）； 构造整体：由已知条件推导目标式子的整体形式（如由得，两边平方得）； 整体代入：将构造的整体代入目标式子计算，避免单独求字母值。 【例题6】.已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 【变式题6-1】.请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，把代入得到，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由，，则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 【变式题6-2】.阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式题6-3】.阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 【题型7】跨学科融合题（物理自由落体运动） 1.核心知识点： 二次根式的化简与求值 物理公式的应用（自由落体时间公式，） 2.解题方法技巧： 理解公式含义：明确各字母代表的物理量（为时间，为高度）； 代入数据：将已知物理量代入公式，转化为二次根式计算； 精确结果：根据题目要求保留根号或近似值。 【例题7】.行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用： （1）把代入，即可求解； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，． 答：该物品落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下：     当时，． ． 所以小明的说法不正确． 【变式题7-1】.行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1)该楼层落地时的速度为 (2)不正确，见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． （1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得： ， ∴该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴， 将的值代入公式中得： v小明 ， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 【变式题7-2】.行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简 。 （）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果，。 （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式然后，与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得，． 把，，代入得 ， ∴该楼层落地时的速度为． （2）解：不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的倍， ∴． 将的值代入公式中，得： ∴，   即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确． 【变式题7-3】.海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度 ，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的最值求解（基于非负性与配方法） 1.核心知识点: 二次根式双重非负性（且）； 配方法转化被开方数（将二次式化为完全平方式）。 2.解题方法技巧: 单根式最值：利用，当时取最小值0（如最小值为0）； 含二次式的最值：通过配方转化为，当时，被开方数取最小值，根式取最小值； 结合实际情境时，需验证结果满足被开方数非负的约束条件。 【例题8】.【阅读材料】已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知，则当　　时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？ 【答案】（1）； （2） （3）所用的围栏至少为米 【分析】本题考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，二次根式的运算及分式的运算，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）参考例题得求解过程即可； （2）根据，求出得最小值即可求解； （3）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； 【详解】解：（1）令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）， 令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 代数式的最小值为； （3）设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， 令，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故：所用的围栏至少为米； 【变式题8-1】.阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (2)4，3 (3)的最小值为，的最大值为 【分析】本题考查了二次根式的应用，利用完全平方公式变形求值，正确理解“均值不等式”是解题的关键． （1）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，则矩形的宽为米，那么得到，再运用“均值不等式”求解； （2）将变形为，再运用“均值不等式”求解； （3）当和时，原式变形为，然后对分母运用“均值不等式”即可求解，再讨论时代数式的值与和时的比较即可． 【详解】（1）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，周长有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴最小值为3， 故答案为：4，3； （3）解：， 当时，， ∵， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最大值为； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∴， 当且仅当时，即时，等号成立， ∴当时，取得最小值为； 当时，，可知， 综上：的最小值为，的最大值为． 【变式题8-2】.我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________； (2)请你求的最小值； (3)若a、b满足，请计算； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题． （1）利用配方法分解因式； （2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值； （3）利用配方法变式分组因式分解，求出，，再代入算式中计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 所以当时，它有最小值是，所以的最小值是． （3）， ， ， ， ，， ． 【变式题8-3】.材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当 时，有最小值； (2)若函数，则 时，函数的最小值为 ． (3)如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 【答案】(1)1 (2)4，7 (3)四边形的面积最小值为24； 【分析】本题属于四边形综合题，考查了完全平方公式，最小值问题． （1）根据阅读材料内容解决问题即可； （2）根据阅读材料内容解决问题即可； （3）设，由矩形的面积为12，可得，推出，由题意，转化为例题的模型解决问题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴当时，即时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴当时，y有最小值，最小值为7， ∴， ∵， ∴时，y有最小值，最小值为7， 故答案为4，7； （3）解：设， ∵矩形的面积为12， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴当时，即时，四边形的面积最小，最小值为24， 此时， ∴． 【题型9】二次根式的规律探究题 1.核心知识点： 二次根式的化简 归纳推理思想 2.解题方法技巧： 观察已知式子：分析式子的结构特征（如被开方数、根号外系数的变化规律）； 猜想规律：根据前几个式子的结果，猜想第个式子的表达式； 验证证明：代入特殊值验证猜想，或通过代数运算证明规律的正确性； 应用规律：利用猜想的规律求解未知式子的值或进行求和运算。 【例题9】.观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中式子即可得到答案； （2）根据题中式子即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式：； （2）解：由题意可得：第n个等式：； （3）解：原式 ， ， ， ． 【变式题9-1】.找规律： （1）观察下列式子： ①； ②； ③； ④ 第个式子呢？ （2）观察下列式子：①；②；③ 若（、为正整数），求 ． （3）观察下列式子： ； 猜想： ． （4）观察下列式子：①；②；③；④； 通过观察、归纳、比较： 请用字母，写出反映上述规律的表达式 ． （5）观察下列式子： ①； ②． 猜想：① ； ．（为大于1的正整数） ② ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律、不等式的规律、二次根式分母有理化、二次根式的加减运算等知识． （1）观察所给等式的规律，写出第n个式子即可； （2）观察所给等式和序号的规律进行解答即可； （3）观察所给式子得到结果的规律，进行解答即可； （4）观察已知不等式体现的规律进行解答即可； （5）①分子与分母分别乘以和进而化简即可；②利用①中所求规律先分母有理化，再计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④ 第个式子是； 故答案为： （2）①； ②； ③， …… 第n个式子为： ∵（、为正整数）， ∴， ∴； 故答案为： （3）； ； ； ； …… 则， 故答案为： （4）①； ②； ③； ④； 通过观察、归纳、比较：； 请用字母，写出反映上述规律的表达式为． 故答案为：； （5）①； ②． ； ②由①得， ； 故答案为：①；；② 【变式题9-2】.观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 【变式题9-3】.阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． （2） （3）∵， ∴ （4）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 【题型10】二次根式阅读理解与新定义应用（信息转化型） 1.核心知识点: 二次根式的化简、运算（平方差、配方法）； 新定义信息的提取与转化（如“和谐根式”“新运算规则”）。 2.解题方法技巧: 精读材料，明确新定义本质（如“二重根式化简”本质是配方法）； 提取关键条件，转化为熟悉的二次根式问题（如新运算转化为乘法、化简）； 结合平方差或配方法计算，验证结果符合定义要求。 【例题10】.综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【答案】（1）①，；②24；（2）， 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，理解定义，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用已知公式求出p的值，进而代入海伦的三角形面积公式中得出答案；②直接利用秦九韶给出的公式代入求值即可． （2）因为三角形的三边长都是整数，所以代入海伦公式求出求p和S，然后根据面积求出三角形的高，根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：（1）①因为，，， 所以．     所以 =     ．     ②           ．     （2），，， 所以．     所以．     ∵， ∴．     ∴． ∴ ． 【变式题10-1】.我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，新定义，按照新定义，逐一判断即可，能理解题意熟练计算解此题的关键． 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、， ， ， 与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、， ， ， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意， 故选：D． 【变式题10-2】.请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算； （2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：示例：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，掌握根据新运算的规则代入数值计算，以及结合已知数的特征设计新运算是解题的关键． 【变式题10-3】.新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区间”的定义是解题的关键． （1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 易错点 1.忽略二次根式有意义的条件：如求中的取值范围时，遗漏； 2.化简时忘记加绝对值：直接写成，忽略的情况； 3.二次根式乘除运算中违反条件：如，忽略被开方数需非负的前提； 4.合并非同类二次根式：如将直接合并为，未先判断是否为同类二次根式； 5.分母有理化时选择错误的有理化因式：如同乘时计算出错。 重点 1.二次根式的概念与有意义的条件：是后续学习的基础，也是中考常考基础题型； 2.二次根式的核心性质：尤其是双重非负性和，是化简和求值的关键； 3.二次根式的四则运算：包括乘除、加减、混合运算，需熟练掌握法则和技巧； 4.最简二次根式的化简：是运算的最终要求，也是同类二次根式合并的前提； 5.分母有理化：是解决分式型二次根式问题的核心技巧，应用广泛。 难点 1.含参数的二次根式问题：需结合分类讨论思想，根据参数范围化简或求值； 2.二次根式混合运算中乘法公式的灵活运用：需准确识别公式结构，简化复杂运算； 3.二次根式的实际应用：需将实际问题转化为数学模型，涉及跨学科知识融合； 4.规律探究题的归纳推理：需从特殊式子中提炼通用规律，考验逻辑思维能力； 5.整体代入思想的应用：在化简求值中，需构造整体表达式，避免复杂计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括减法、除法、加法和乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、 ，，∴ ，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义需分母不为零、二次根式有意义需被开方数非负的综合应用是解题的关键． 结合分式有意义和二次根式有意义的条件，确定分母中二次根式的被开方数的取值范围，进而得到的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴分母 ，且被开方数 ， 但当时，， ∴， 即 ． 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 5．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 二、填空题 6．三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式乘除法的应用，三角形的面积公式，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 利用三角形面积公式求解即可. 【详解】解：设底边上的高为 ， 由题意，得 ， 化简得 ， 解得 . 故答案为：. 7．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 8．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 9．已知，n是m的整数部分，则n的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据二次根式的性质得到，再把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵， ，，， ∴m的整数部分为 5，即． 故答案为：5． 10．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目． 已知，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1)1 (2)2025 【分析】（1）对已知的a进行移项，将含根号的部分单独放在一边，再两边平方，整理后得到的值； （2）利用（1）的结果变形得到的表达式，将拆分为，代入表达式化简，再结合（1）的结论计算结果． 【详解】（1）解：由得， 移项得， 两边平方得， 化简得． （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与代数式求值，掌握通过移项、平方构造整式方程，再利用方程变形化简高次代数式是解题的关键． 13．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 14．当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 【答案】，最大值为8 【分析】本题考查的是二次根式的非负性，理解题意是解题的关键． 要使得式子有最大值，那么需取最小值，根据二次根式的非负性可知，时最小，由此可求出这个最大值． 【详解】解：由题意，得，解得． 当，即时，有最大值，最大值为8． 15．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 二次根式全章复习 知识点1：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，其中“”称为二次根号，叫做被开方数。 2.核心特征：①形式上含二次根号； ②被开方数为非负数（双重非负性：且）； ③可以是数或整式。 3.识别要点：同时满足“含二次根号”和“被开方数非负”的式子才是二次根式。 知识点2：二次根式有意义的条件 1.单个二次根式：。 2.多个二次根式相加：、、、（所有被开方数均非负）。 3.二次根式作为分式分母或：（分母不为0且被开方数非负）。 4.二次根式与分式结合：且（被开方数非负且分母不为0）。 知识点3：二次根式的性质 性质1：（），即非负数的算术平方根的平方等于它本身。 性质2：，即任意数的平方的算术平方根等于它的绝对值。 性质3（乘法）：（，），算术平方根的积等于积的算术平方根。 性质4（除法）：（，），算术平方根的商等于商的算术平方根。 知识点4：最简二次根式 1.定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简要求：二次根式运算的最终结果必须化为最简二次根式，且分母中不含二次根式。 知识点5：同类二次根式 1.定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。 2.核心作用：只有同类二次根式才能进行加减合并。 知识点6：二次根式的运算 1.加减运算：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（“化简→找同类→合并”三步法）。 2.乘除运算：遵循乘法法则（，）和除法法则（，），结果化为最简。 3.混合运算：顺序与整式混合运算一致——先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；可运用整式乘法公式（平方差、完全平方公式）简化计算。 4.分母有理化：通过分子分母同乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。 【基础必考题型】 【题型1】求二次根式有意义的字母取值范围 1.核心知识点： 二次根式有意义的条件（被开方数非负） 分式有意义的条件（分母不为0） 2.解题方法技巧： 列不等式（组）：根据“被开方数≥0”“分母≠0”列出约束条件； 解不等式（组）：注意不等式的求解规则，结果用不等式表示； 验证特殊值：代入边界值检验是否符合条件。 【例题1】.请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【变式题1-1】.下列各式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.下列选项中的数能使二次根式无意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.当 时，有意义． 【题型2】最简二次根式化简与同类二次根式合并 1.核心知识点： 最简二次根式的定义（不含分母、无开尽方因数/因式） 同类二次根式的判定（化简后被开方数相同） 同类二次根式的合并法则 2.解题方法技巧： 分步化简：先将所有二次根式化为最简（去分母、开尽方）； 精准判定：比较化简后被开方数，相同即为同类二次根式； 规范合并：同类二次根式合并时，系数相加，被开方数保持不变。 【例题2】.下面二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式题2-2】.若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-3】.计算． 【题型3】二次根式混合运算（结合乘法公式） 1.核心知识点： 二次根式的混合运算顺序 平方差公式、完全平方公式的灵活运用 2.解题方法技巧： 确定运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； 巧用公式：、； 分步化简：每一步运算后及时化为最简，减少后续计算量。 【例题3】.计算 (1)； (2) 【变式题3-1】.计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式题3-2】.计算： (1)； (2)． 【变式题3-3】.计算： (1) (2) 【题型4】利用二次根式的双重非负性求值 1.核心知识点： 双重非负性（且） 非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0） 2.解题方法技巧： 识别非负形式：、、等均为非负数； 列方程求解：若，则、、； 代入计算：求出字母的值后代入目标式子计算。 【例题4】.已知与互为相反数． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【变式题4-1】. ． 【变式题4-2】.已知和互为相反数，求的值． 【变式题4-3】.已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【培优高频题型】 【题型5】利用化简式子 1.核心知识点： 二次根式的性质（） 绝对值的化简规则 2.解题方法技巧： 先化绝对值：直接转化为； 再去绝对值：根据的正负性（已知条件或隐含条件）去掉绝对值符号； 最简结果：不含绝对值符号，分母不含根号。 【例题5】.若，则 ． 【变式题5-1】.若，则 ． 【变式题5-2】.求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【变式题5-3】.已知，化简：． 【题型6】二次根式化简求值（整体代入法） 1.核心知识点： 二次根式的化简 整体代入思想的应用 2.解题方法技巧： 化简已知条件：将已知字母表达式分母有理化或变形（如化为）； 构造整体：由已知条件推导目标式子的整体形式（如由得，两边平方得）； 整体代入：将构造的整体代入目标式子计算，避免单独求字母值。 【例题6】.已知，求的值 【变式题6-1】.请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值．小明根据二次根式的性质：． 联想到了以下的解题方法： 由得，则， 即，∴， 把作为整体，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【变式题6-2】.阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【变式题6-3】.阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【题型7】跨学科融合题（物理自由落体运动） 1.核心知识点： 二次根式的化简与求值 物理公式的应用（自由落体时间公式，） 2.解题方法技巧： 理解公式含义：明确各字母代表的物理量（为时间，为高度）； 代入数据：将已知物理量代入公式，转化为二次根式计算； 精确结果：根据题目要求保留根号或近似值。 【例题7】.行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空抛物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，已知小亮家所住楼层的高度是30m． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度； (2)小明家所住楼层的高度是．小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以如果两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品落地速度的2倍．小明的说法正确吗？请说明理由． 【变式题7-1】.行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【变式题7-2】.行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）． (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【变式题7-3】.海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 【压轴素养题型】 【题型8】二次根式的最值求解（基于非负性与配方法） 1.核心知识点: 二次根式双重非负性（且）； 配方法转化被开方数（将二次式化为完全平方式）。 2.解题方法技巧: 单根式最值：利用，当时取最小值0（如最小值为0）； 含二次式的最值：通过配方转化为，当时，被开方数取最小值，根式取最小值； 结合实际情境时，需验证结果满足被开方数非负的约束条件。 【例题8】.【阅读材料】已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知，则当　　时，代数式到最小值，最小值为________． （2）已知，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？ 【变式题8-1】.阅读材料：已知，为非负实数，∵，∴，当且仅当“”时，等号成立，这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (2)已知，则当_____时，代数式取到最小值，最小值为_____； (3)已知为任意实数，代数式的值为，求的最大值和最小值． 【变式题8-2】.我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 又例如：求代数式的最小值． 可知：当时，的最小值是，因此有最小值，最小值是． 请你用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________； (2)请你求的最小值； (3)若a、b满足，请计算； 【变式题8-3】.材料1：对于任意正实数a，b，∵，∴，，只有当时，等号成立． 结论：在，（a，b均为正实数）中，若为定值p，则，，只有当时，有最小值． 材料2：若函数（，，m为常数），由材料1结论可知：，即．∴当，即，∴时，函数的最小值为．根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当 时，有最小值； (2)若函数，则 时，函数的最小值为 ． (3)如图，已知，，点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形的面积始终为12，求四边形面积的最小值以及此时P点的坐标． 【题型9】二次根式的规律探究题 1.核心知识点： 二次根式的化简 归纳推理思想 2.解题方法技巧： 观察已知式子：分析式子的结构特征（如被开方数、根号外系数的变化规律）； 猜想规律：根据前几个式子的结果，猜想第个式子的表达式； 验证证明：代入特殊值验证猜想，或通过代数运算证明规律的正确性； 应用规律：利用猜想的规律求解未知式子的值或进行求和运算。 【例题9】.观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 【变式题9-1】.找规律： （1）观察下列式子： ①； ②； ③； ④ 第个式子呢？ （2）观察下列式子：①；②；③ 若（、为正整数），求 ． （3）观察下列式子： ； 猜想： ． （4）观察下列式子：①；②；③；④； 通过观察、归纳、比较： 请用字母，写出反映上述规律的表达式 ． （5）观察下列式子： ①； ②． 猜想：① ； ．（为大于1的正整数） ② ． 【变式题9-2】.观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【变式题9-3】.阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【题型10】二次根式阅读理解与新定义应用（信息转化型） 1.核心知识点: 二次根式的化简、运算（平方差、配方法）； 新定义信息的提取与转化（如“和谐根式”“新运算规则”）。 2.解题方法技巧: 精读材料，明确新定义本质（如“二重根式化简”本质是配方法）； 提取关键条件，转化为熟悉的二次根式问题（如新运算转化为乘法、化简）； 结合平方差或配方法计算，验证结果符合定义要求。 【例题10】.综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【变式题10-1】.我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【变式题10-2】.请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【变式题10-3】.新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 易错点 1.忽略二次根式有意义的条件：如求中的取值范围时，遗漏； 2.化简时忘记加绝对值：直接写成，忽略的情况； 3.二次根式乘除运算中违反条件：如，忽略被开方数需非负的前提； 4.合并非同类二次根式：如将直接合并为，未先判断是否为同类二次根式； 5.分母有理化时选择错误的有理化因式：如同乘时计算出错。 重点 1.二次根式的概念与有意义的条件：是后续学习的基础，也是中考常考基础题型； 2.二次根式的核心性质：尤其是双重非负性和，是化简和求值的关键； 3.二次根式的四则运算：包括乘除、加减、混合运算，需熟练掌握法则和技巧； 4.最简二次根式的化简：是运算的最终要求，也是同类二次根式合并的前提； 5.分母有理化：是解决分式型二次根式问题的核心技巧，应用广泛。 难点 1.含参数的二次根式问题：需结合分类讨论思想，根据参数范围化简或求值； 2.二次根式混合运算中乘法公式的灵活运用：需准确识别公式结构，简化复杂运算； 3.二次根式的实际应用：需将实际问题转化为数学模型，涉及跨学科知识融合； 4.规律探究题的归纳推理：需从特殊式子中提炼通用规律，考验逻辑思维能力； 5.整体代入思想的应用：在化简求值中，需构造整体表达式，避免复杂计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 二、填空题 6．三角形的面积为，底边长为，则底边上的高为 ． 7．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 8．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 9．已知，n是m的整数部分，则n的值为 ． 10．计算的结果为 ． 三、解答题 11．计算下列各式： (1)； (2)． 12．利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目． 已知，求： (1)的值． (2)的值． 13．规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 14．当取什么值时，式子有最大值？请求出这个最大值． 15．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $