19.2二次根式的乘法与除法寒假预习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下学期（3知识点+6题型专练+18巩固提升）

第十九章19.2二次根式的乘法与除法寒假预习讲义 (3知识点+6题型专练+18巩固提升) 01预习目标 1.掌握二次根式乘法和除法的运算法则，明白公式成立的前提条件（被开方数的符号限制）。 2.能够利用法则进行简单的二次根式乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。 · 3.理解公式的逆用，即利用=·来化简复杂的根式。 · 4.在运算过程中，进一步巩固“被开方数必须是非负数”这一核心概念。 02知识点梳理 知识点1二次根式的乘法 1)乘法法则：·=​（a≥0,b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘； 2）语言描述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变； 3）关键提醒：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，公式中a,b都必须是非负数，即a≥0,b≥0; 4 ）通常需要化简,如果ab含有能开得尽方的因数，要将其开出来； 5）=·(a≥0,b≥0)即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 知识点2二次根式的除法 1)除法法则： =(a≥0,b≥0),即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除； 2)语言描述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变； 3)关键提醒：在运用二次根式的除法法则进行运算时，公式中a,b被除式（分子）的被开方数a可以为 0，但除式（分母）的被开方数b必须大于0； 4)当被开方数是一个分数时，可以将其分子分母分别开方，便于计算和化简。 知识点3最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式。 要点提示 二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式． 03题型解读专练 题型解读1二次根式的乘法 例1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 专练1．计算： ． 专练2．计算： (1) (2) 题型解读2二次根式的除法 例2．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 专练1． ． 专练2．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 题型解读3二次根式的乘除混合运算 例3．计算结果为（   ） A． B． C． D． 专练1．计算： ． 专练2．计算： 题型解读4最简二次根式的判断 例4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 专练1．若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 专练2．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型解读5化为最简二次根式 例5．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 专练1．化简： ． 专练2．化简： (1)； (2)； (3)． 题型解读6已知最简二次根式求参数 例6．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 专练1．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 专练2．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 04巩固提升 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 6．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 二、填空题 7．计算的结果是 ． 8． ． 9．计算： ． 10．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 11．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 12．若和都是最简二次根式，则 ， ． 三、解答题 13．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 14．计算： (1)． (2)． 15．计算： (1) (2) 16．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 17．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章19.2二次根式的乘法与除法寒假预习讲义 (3知识点+6题型专练+18巩固提升) 01预习目标 1.掌握二次根式乘法和除法的运算法则，明白公式成立的前提条件（被开方数的符号限制）。 2.能够利用法则进行简单的二次根式乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。 · 3.理解公式的逆用，即利用=·来化简复杂的根式。 · 4.在运算过程中，进一步巩固“被开方数必须是非负数”这一核心概念。 02知识点梳理 知识点1二次根式的乘法 1)乘法法则：·=​（a≥0,b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 2）语言描述：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 3）关键提醒：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，公式中a,b都必须是非负数，即a≥0,b≥0; 4 ）通常需要化简,如果ab含有能开得尽方的因数，要将其开出来。 5）=·(a≥0,b≥0)即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 知识点2二次根式的除法 1)除法法则： =(a≥0,b≥0),即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 2)语言描述：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 3)关键提醒：在运用二次根式的除法法则进行运算时，公式中a,b被除式（分子）的被开方数a可以为 0，但除式（分母）的被开方数b必须大于0. 4)当被开方数是一个分数时，可以将其分子分母分别开方，便于计算和化简。 知识点3最简二次根式 （1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式． 要点提示 二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1） 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式． 03题型解读专练 题型解读1二次根式的乘法 例1．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根，二次根式的乘法，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质，立方根的性质，二次根式的乘法公式逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 中，即， ∴， ∴ A选项错误； 对于选项B：∵ ， ∴ B正确； 对于选项C：∵ 中，且和分别要求、， ∴当且仅当且时，成立， ∴ C选项错误； 对于选项D：∵ 是一个值，而表示两个值， ∴ D选项错误． 因此，等式一定成立的是B， 故选：B． 专练1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 专练2．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的乘法，二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型解读2二次根式的除法 例2．若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 专练1． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 专练2．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出b即可； （2）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出a即可． 【详解】（1）解：根据题意得：b； （2）解：根据题意得：a． 题型解读3二次根式的乘除混合运算 例3．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 专练1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 专练2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解． 【详解】解： ． 题型解读4最简二次根式的判断 例4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A：，被开方数10的因数中不含完全平方数，且不含分母， ∴是最简二次根式，符合题意； B：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； C：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； D：∵， ∴不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 专练1．若，则“（   ）”内的最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用除以即可求解． 【详解】解：， 即“（   ）”内的最简二次根式是， 故答案为：． 专练2．下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是最简二次根式； (2)不是最简二次根式，化简见解析； (3)不是最简二次根式，化简见解析； (4)是最简二次根式． 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义（被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，分母不含根号）是解题的关键． （1）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式． （2），先将带分数化为假分数，再判断是否为最简二次根式，若不是则化简． （3）将被开方数分解因数，找出能开得尽方的因数进行化简． （4）判断被开方数是否为整数且不含能开得尽方的因数或因式，分母是否为1． 【详解】（1）解：∵，5和7都是质数， ∴是最简二次根式． （2）解：不是最简二次根式， ； （3）解：不是最简二次根式， ； （4）解：∵是质数，分母为， ∴是最简二次根式． 题型解读5化为最简二次根式 例5．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 专练1．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 专练2．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质及化简求解（1）（2）（3）小问即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型解读6已知最简二次根式求参数 例6．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 专练1．已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 专练2．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 04巩固提升 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质， 根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可． 【详解】A．，正确； B．，正确； C．，故选项错误； D．，正确． 故选：C． 3．在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 6．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的运算法则化简是解题的关键．由是正整数且，得到是完全平方数，即可求出的最小值． 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 二、填空题 7．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，直接计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8． ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 11．将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 三、解答题 13．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 14．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）（2）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先计算乘方，二次根式，绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 17．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式． 把二次根式中能开得尽方的因数开出来，即可得到最简二次根式； 把二次根式分母有理化，即可得到最简二次根式； 把根号下的化为分数，再进行分母有理化； 把二次根式分母有理化． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $