专题20.1勾股定理 寒假预习题型突破讲义（1）(12大题型+典题专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题20.1勾股定理寒假预习题型突破讲义（1) 【12常考题型共计70题】 专情分析 一、 整体定位 初中几何核心必考点，各地中考每年必考，分值3~8分，题型覆盖选择、填 空、解答，综合题可突破10分。 二重点考向 基础计算：解直角三角形、两点距离、勾股数（必拿分） 图形应用：折叠问题、网格问题、三边图形面积关系（高频中等题） 拓展应用：弦图背景题、无理数的几何表示（趋势性考点） 三、命题趋势 综合化：与函数、圆、三角函数、折叠变换结合成综合题。 情境化：结合生活实际（如最短路径）或传统文化背景命题。 创新化：网格动态、多解问题增多，考查思维灵活性。 预习内容概览 知识点01.勾股定理与逆定理 知识点02.勾股数 知识点03.勾股定理基础应用 知识点04.图形相关应用 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.坐标法求两点距离 题型3勾股数的判定与应用 题型4.直角三角形相关图形面积计算 题型5网格中的勾股定理计算与证明 题型6折叠问题中的勾股定理应用 题型7勾股定理求线段的平方和与平方差 题型8勾股定理证明线段平方关系 题型9.勾股定理的经典证明方法梳理 题型10.弦图背景下的勾股定理计算 题型11构造直角三角形解决几何问题 题型12.勾股定理与无理数的几何表示 知识点梳理 【知识点01.勾股定理及逆定理】 勾股定理 适用范围：直角三角形 试卷第1页，共3页 内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 公式表达：若直角边为a、b,斜边为c,则a+b2-c2 变形公式：a=a=c2-b2;b-Vc2-a;c-a+b 勾股定理的逆定理 内容：若一个三角形的三边长a、b、c满足a+b=c2,则这个三角形是直角三 角形 作用：判断三角形的形状；证明两条线段垂直 【知识点02.勾股数】 定义：满足a+b'-c2的正整数组(a,b,c)称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若(a,b,c)是勾股数，则其正整数倍(ka,kb,kc)(k>0且为整数)也 是勾股数，如(6,8,10)、(9,12,15) 【知识点03.勾股定理的基础应用】 解直角三角形 己知直角三角形两边长，直接代入公式求第三边 已知一边长及另两边的数量关系，设未知数结合勾股定理列方程求解 平面直角坐标系中两点间距离 公式：若两点坐标A(x1,y)、B(x2,y2), 则AB=(x2-xP+(y2-y12 本质：将两点连线作为直角三角形的斜边，横、纵坐标差作为直角边，用勾股 定理推导 【知识点04.图形相关应用】 直角三角形三边关联图形的面积关系 核心结论：以直角三角形三边为对应边，作相似图形（正方形、半圆、等边三 角形等)，则直角边上两个图形的面积之和等于斜边上图形的面积 试卷第2页，共3页 原理：相似图形的面积比等于相似比的平方，结合勾股定理推导 网格中的勾股定理应用 计算网格中任意两点间的线段长度：构造直角三角形，利用网格边长确定直角 边长度，再用勾股定理计算 判断网格中三角形的形状：计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理的逆 定理 折叠问题中的勾股定理应用 关键性质：折叠前后对应边相等、对应角相等 解题步骤： 1设未知边长为x,根据折叠性质表示出相关线段长度 2.确定折叠后形成的直角三角形 3.代入勾股定理列方程求解 【知识点05.拓展应用】 线段平方关系的证明 解题思路：通过作高（如锐角/钝角三角形作高，构造直角三角形）、补形 (将不规则图形补成直角三角形或矩形)，将待证线段转化到直角三角形中， 再利用勾股定理推导 勾股定理的证明方法 核心思路：面积法（利用图形的割补、拼接，保持总面积不变） 典型方法： 赵爽弦图法：用四个全等的直角三角形拼成正方形，通过大、小正方形的面积 关系推导 总统证法：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成梯形，利用梯 形面积等于三个三角形面积之和推导 无理数的几何表示 原理：利用勾股定理构造直角三角形，将无理数表示为直角三角形的斜边长度 示例：在数轴上作出表示V2的点一一构造直角边长为1的等腰直角三角 形，其斜边长为2，再用圆规将斜边长度转移到数轴上 试卷第3页，共3页 4 常考题型精讲精练 【题型1.用勾股定理解三角形】 1.若等腰三角形的顶角为120°，腰长为3cm,则这个等腰三角形的底边长为() A.12cm B.33cm C.3cm D. 6v3cm 2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上.若AB=6, BC=9,则BF的长为() D B A.4 B.3V2 C.4.5 D.5 3.若一个直角三角形的周长为30cm ,面积为 0cm2 ,则这个直角三角形的斜边长为 cm 4.如图，在平面直角坐标系中，以点13,1为端点的四条射线AB,4C,AD,E分别 过点B0,1,C13),D4,E(52),连接BC,DE,则CcC(填> ”“<”或“=”)， 5 4 B A 012345x 5.如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距 试卷第4页，共3页 离，已知CD1BD,现测得MD=7N5m,BC=60m,CD=30m,请计算4，B两个凉亭 之间的距离。 B 6.长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级 (1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行 了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米： ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. D enaaaana72077 (I)求风筝的垂直高度CE: (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【题型2.坐标法求两点距离】 7.在平面直角坐标系中，若点M2,4与点(x4)之间的距离是3，则x的值是（) A.5 B.-1 C.5或-1 D.5或1 8.在平面直角坐标系中，若点M2,4与点Nx4之间的距离是3，则x的值是() A.5 B.-1 C.5或-1 D.5或1 9.已知点P3m,44m为平面直角坐标系中一点，0为原点，则线段P0的最小值为 试卷第5页，共3页 A.2.4 B.2.5 C.3 D.5.76 10.某乡镇为了实现村村通柏油马路，对该乡镇村庄进行了坐标标注（单位：k)点 4-12和点B(5,2是一条公路上的两个村庄，点C(2,m是乡镇中学所在地。 (1)A,B两个村庄的距离为_km: (2)为方便学生上学，准备从中学到公路1B修一条路，所修道路的最短距离为 km ,则 m的值为 11.代数式Vx-3)2+25+V4-x)2+9 的最小值是() √62 A. B.v65 C.v69 D.分 解答题 12.阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点M(,少），4，(，)，我们把 d=x-x+y-厂叫做M,M,两点间的距离，记作dM,M,.如A-2,3), B2,5),则d(4,B=V-2-2}+3-5=25 请根据以上阅读材料，解答下列问题： ①若435,0，B04,直接写出d4,B的值： ②当4a,1,8-14的距离d(4B=5时，求出“的值： ③)若在平面内有一点C(x,),使式子V++(-4+-+(+少有最小值，请 求出这个最小值. 13.阅读材料： 如图1，为了求平面直角坐标系中任意两点1(，少，B,)之间的距离，可以以B为斜 边作R△ABC,则点C的坐标为C,,于是1C=-,BC=5-,根据勾股 试卷第6页，共3页 定理，得AB=-x广+(-y.因此，我们把x-x)+(%-'叫做A,B两点之 间的距离公式，记作AB=Vx,-x)2+(y2-y)2」 B(x2,y2) A(x,y) 图1 图2 根据上面材料，回答下面的问题： 0)在平面直角坐标系中，已知点46-，B16,5,则线段4B的长为一 ②若点C在'轴上，点D的坐标是-3,0，且CD=6,则点C的坐标是 (6)如图2，在平面直角坐标系中，点11,4，B30 ,点C是'轴上的一个动点，且4B,C 三点不在同一直线上，求△ABC的周长的最小值. 【题型3.勾股数的判定与应用】 14.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算 经》中，下列各组数中是“勾股数”的是() A.6,8,10B.5,12,11 C.7,8,9 D.2,3,5 15.有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以 直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续 “生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有 的正方形的面积和是一 图1 图2 试卷第7页，共3页 16.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方 形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如 图1所示.如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2024 次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是( 图1 图2 A.2025 B.2024 C.2223 D.22021-1 17.中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫 “勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于 以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若C为“整 弦数”，则c不可能为正整数；④若 =4+b3,n=a,+b26≠b,?且m,n,4,4,b,b均 正整数，则m与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正 整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”·其中结论正确的个数为 解答题 a,b,c 18.定义： 为正整数，若c=a2+ ”，则称为“完美勾股数”，ab为 为‘的“伴侣勾 股数”.如 32=52+122 ,则13是“完美勾股数”，5,12是13的“伴侣勾股数”. (1)判断填空：数17 “完美勾股数”（填“是”或“不是”）： 试卷第8页，共3页 2已知△4BC的三边a.6C满是“++c-6a-86-10c+50=0.求证：C是“完美勾股 a,b,c 数” 【题型4.直角三角形相关图形面积计算】 19.已知x,y都为正数，且-4+广-=0，若以x,y为两条直角边长作一个直角 三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为() A.3 B.9 C.10 D.41 20.如图，字母B所代表的正方形的面积是() 81cm2 225cm2 A.144cm2 B.12cm2 306cm2 C. D.306cm2 21.如图，分别以Rt△8C的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S,S,S 若，=32m,S=18m,则= B S3 S2 22.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦 图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正 方形1BCD,正方形EFGH,正方形KT的面积分别为，了，8，若8+S+8=19 ,则2的值是一· 试卷第9页，共3页 D 圖弦 G H A 图1 图2 解答题 23.猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形 S (1)BC=,AC=_,AB=_. 同S, 3的关系是： 24.小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下 面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完 成. B G S2 C B ① ② ③ 山)如图O是以R△MBC的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为S,S,S,请 试卷第10页，共3页 专题20.1勾股定理寒假预习题型突破讲义（1） 【12常考题型共计70题】 一、整体定位 初中几何核心必考点，各地中考每年必考，分值 3~8 分，题型覆盖选择、填空、解答，综合题可突破 10 分。 二.重点考向 基础计算：解直角三角形、两点距离、勾股数（必拿分） 图形应用：折叠问题、网格问题、三边图形面积关系（高频中等题） 拓展应用：弦图背景题、无理数的几何表示（趋势性考点） 三、命题趋势 综合化：与函数、圆、三角函数、折叠变换结合成综合题。 情境化：结合生活实际（如最短路径）或传统文化背景命题。 创新化：网格动态、多解问题增多，考查思维灵活性。 知识点01.勾股定理与逆定理 知识点02.勾股数 知识点03.勾股定理基础应用 知识点04.图形相关应用 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.坐标法求两点距离 题型3.勾股数的判定与应用 题型4.直角三角形相关图形面积计算 题型5.网格中的勾股定理计算与证明 题型6.折叠问题中的勾股定理应用 题型7.勾股定理求线段的平方和与平方差 题型8.勾股定理证明线段平方关系 题型9.勾股定理的经典证明方法梳理 题型10.弦图背景下的勾股定理计算 题型11.构造直角三角形解决几何问题 题型12.勾股定理与无理数的几何表示 【知识点01.勾股定理及逆定理】 勾股定理 适用范围：直角三角形 内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 公式表达：若直角边为 a、b，斜边为 c，则 a2+b2=c2 变形公式：a=​；b=​；c= 勾股定理的逆定理 内容：若一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 作用：判断三角形的形状；证明两条线段垂直 【知识点02.勾股数】 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 【知识点03.勾股定理的基础应用】 解直角三角形 已知直角三角形两边长，直接代入公式求第三边 已知一边长及另两边的数量关系，设未知数结合勾股定理列方程求解 平面直角坐标系中两点间距离 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则 AB= 本质：将两点连线作为直角三角形的斜边，横、纵坐标差作为直角边，用勾股定理推导 【知识点04.图形相关应用】 直角三角形三边关联图形的面积关系 核心结论：以直角三角形三边为对应边，作相似图形（正方形、半圆、等边三角形等），则直角边上两个图形的面积之和等于斜边上图形的面积 原理：相似图形的面积比等于相似比的平方，结合勾股定理推导 网格中的勾股定理应用 计算网格中任意两点间的线段长度：构造直角三角形，利用网格边长确定直角边长度，再用勾股定理计算 判断网格中三角形的形状：计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理 折叠问题中的勾股定理应用 关键性质：折叠前后对应边相等、对应角相等 解题步骤： 1.设未知边长为 x，根据折叠性质表示出相关线段长度 2.确定折叠后形成的直角三角形 3.代入勾股定理列方程求解 【知识点05.拓展应用】 线段平方关系的证明 解题思路：通过作高（如锐角 / 钝角三角形作高，构造直角三角形）、补形（将不规则图形补成直角三角形或矩形），将待证线段转化到直角三角形中，再利用勾股定理推导 勾股定理的证明方法 核心思路：面积法（利用图形的割补、拼接，保持总面积不变） 典型方法： 赵爽弦图法：用四个全等的直角三角形拼成正方形，通过大、小正方形的面积关系推导 总统证法：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和推导 无理数的几何表示 原理：利用勾股定理构造直角三角形，将无理数表示为直角三角形的斜边长度 示例：在数轴上作出表示 的点 —— 构造直角边长为 1 的等腰直角三角形，其斜边长为 ，再用圆规将斜边长度转移到数轴上 【题型1.用勾股定理解三角形】 1．若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 2．如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系． 先求出BC′，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解． 【详解】解：∵点是AB边的中点，， ∴， 由图形折叠特性知，， 在中，， ∴， 解得，， 故选：A． 3．若一个直角三角形的周长为，面积为，则这个直角三角形的斜边长为 ． 【答案】13 【分析】设直角三角形的两条直角边长为和，斜边长为，根据勾股定理、周长和面积条件，建立关系式并求解即可． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握并运用勾股定理是解决此题的关键． 【详解】解：由题意，，， 因此， 又由勾股定理， 由 两边平方得， 即 代入和， 得 化简得， 即， 解得 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，，，，连接，，则 （填“”“”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，无理数的比较大小，正确计算是解题的关键． 通过计算两个三角形的三边长度，利用三边长度之和求出三角形的周长，再比较两个三角形周长的大小即可． 【详解】解：由勾股定理可求得， ，， ，，， ∵ ，即 ∴ 故答案为：． 5．如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ， ． 答：A，B两个凉亭之间的距离为． 6．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． . (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米， （米， 答：风筝的垂直高度为 米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 【题型2.坐标法求两点距离】 7．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【答案】C 【分析】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上，掌握以上知识是解答本题的关键． 点、的纵坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 【详解】解：∵点与点之间的距离是3， ∴， 解得：或， 故选：C． 8．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则x的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．5或1 【答案】C 【分析】本题是基础题，考查了坐标与图形的性质，当两点的纵坐标相等时，则这两点在平行于轴的直线上，掌握以上知识是解答本题的关键． 点、的纵坐标相等，则直线在平行于轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式，从而解得的值． 【详解】解：∵点与点之间的距离是3， ∴， 解得：或， 故选：C． 9．已知点为平面直角坐标系中一点，为原点，则线段的最小值为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5.76 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理求最短距离问题，完全平方公式的变形应用，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键． 利用勾股定理得到，配方得，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． ∴线段的最小值为． 故选：A． 10．某乡镇为了实现村村通柏油马路，对该乡镇村庄进行了坐标标注（单位：km）点和点是一条公路上的两个村庄，点是乡镇中学所在地． （1），两个村庄的距离为 km； （2）为方便学生上学，准备从中学到公路修一条路，所修道路的最短距离为，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间距离计算，垂线段最短，熟练掌握坐标间关系是解题的关键． （1）由于点和点的纵坐标相同，两点位于水平线上，直接利用横坐标之差即可求出距离； （2）公路所在的直线方程为，根据垂线段最短，结合题目给出的最短距离为，得到，求解的值． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2），， 公路所在的直线方程为， 所修道路的最短距离为， 点到公路的垂线段最短， 即， 解得或， 故答案为：或． 11．代数式的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． 先根据两点之间的距离公式，把代数式转化为最短路径问题，再根据勾股定理求解． 【详解】解：∵ ∴代数式表示点到和的距离的和，点是轴上的动点， 如图所示，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径， ∴ ∴代数式的最小值是． 故选：B． 解答题 12．阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由材料中两点之间的距离公式可知； （2）解：，， ，即， ，解得，即或； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 13．阅读材料： 如图1，为了求平面直角坐标系中任意两点之间的距离，可以以为斜边作，则点的坐标为，于是，，根据勾股定理，得．因此，我们把叫做两点之间的距离公式，记作． 根据上面材料，回答下面的问题： (1)在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长为______； (2)若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是______； (3)如图2，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的一个动点，且三点不在同一直线上，求的周长的最小值． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． （1）根据坐标的特征即可解答； （2）设点，利用勾股定理列方程即可解答； （3）设点关于轴的对称点为点，则点的坐标为，连接，当点为与轴的交点时，的周长最小，再利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：设点， 在中，， 即， 解得， 点的坐标为或． （3）解：如图，设点关于轴的对称点为点，则点的坐标为． 连接，当点为与轴的交点时，的周长最小． ， 的周长． 点的坐标分别为， ，． 的周长的最小值为． 【题型3.勾股数的判定与应用】 14．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 15．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 16．有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图所示如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图所示，若”生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键． 根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可得一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图， 正方形的面积为，. 由勾股定理得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ， “生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 故选：A． 17．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． ①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，为“整弦数”，则c为正整数，不符合题意； ④∵，≠，且均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为（n为正整数）， ∵且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为，较大的正整数为， ∵ ， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． ∴正确的个数为3， 故答案为：3． 解答题 18．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” 【题型4.直角三角形相关图形面积计算】 19．已知，都为正数，且，若以，为两条直角边长作一个直角三角形，则以这个直角三角形的斜边为边的正方形的面积为（） A．3 B．9 C．10 D．41 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质和勾股定理的应用，由非负数的性质求出和的值，再根据勾股定理求出斜边的平方，即为正方形的面积． 【详解】解：∵且，且它们的和为零， ∴且， ∴且， ∴，． ∵均为正数， ∴，． 以为直角边作直角三角形，设斜边为， 则根据勾股定理，． 以斜边为边的正方形的面积等于． 故选：B． 20．如图，字母B所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，会利用勾股定理进行几何计算是解决本题的关键． 如图，利用勾股定理得到，再根据正方形的面积公式得到，，则可计算出，从而得到字母所代表的正方形的面积． 【详解】解：如图，∵， 而，， ， 字母所代表的正方形的面积为， 故选A． 21．如图，分别以的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先根据圆的面积公式求出以、为直径的半圆面积、与、的关系，再利用勾股定理得到，进而求出以为直径的半圆面积. 【详解】解：由图可知： 则， ∴， 在中，， 则 ∴ 故答案为： ． 22．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 解答题 23．猜想直角三角形的三边关系： 图中每个小方格子都是边长为1的小正方形． (1) ， ， ． (2) ， ， ． (3)的关系是： ． 【答案】(1)3，4，5 (2)9，16，25 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形即可得出答案； （3）观察三个数的数量关系即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：3，4，5； （2）解：由图可知， ，，， 故答案为：9，16，25； （3）解：∵， ∴的关系是， 故答案为：． 24．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5.网格中的勾股定理计算与证明】 25．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 26．如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：， 由题意得，， 由图可得，点在原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为． 故选：B． 27．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 28．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 29．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：由图知，， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴N点所表示的数为：． 故答案为：． 解答题 30．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 【题型6.折叠问题中的勾股定理应用】 31．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 32．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 33．运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 34．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①点在点A的右侧，②点在点A的左侧，利用勾股定理求出，根据折叠的性质得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合坐标系即可得到点M的坐标． 【详解】解：①若点在点A的右侧，如图， ∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ②若点在点A的左侧，如图， 由折叠的性质得到，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； ∴综上所述，点M的坐标为或． 故答案为：或． 35．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 解答题 36．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【题型7.勾股定理求线段的平方和与平方差】 37．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 38．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 39．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 40．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 41．如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 解答题 42．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 【题型8.勾股定理证明线段平方关系】 43．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 44．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 45．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 46．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 解答题 47．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                      . (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【分析】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【详解】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 【题型9.勾股定理的经典证明方法梳理】 48．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 49．我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 50．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 51．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 52．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 解答题 53．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 【题型10.弦图背景下的勾股定理计算】 54．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 55．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 56．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 57．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 58.．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 【题型11.构造直角三角形解决几何问题】 59．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 60．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 61．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 62．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米． 【答案】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米， ∴ 米， 故答案为：． 63．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 64．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 cm． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 将容器的侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：将圆柱的侧面展开， 为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F， 则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，即 ， 延长，过作于点D， ∵cm， ∴， 在中，由勾股定理可得， 所以该圆柱底面周长为． 故答案为：． 【题型12.勾股定理与无理数的几何表示】 65．下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 66．如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 67．如图，为数轴原点，，两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰，连接，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后利用画法可得到，于是可确定点对应的数． 【详解】解：为等腰三角形，， ， 在中，， 以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ， 点对应的数为． 故选：D． 68．如图所示，实数可以用数轴上的点来表示，点A表示的数为，点B表示的数为b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，如图，先计算，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵点A表示的数为，点B表示的数为b， ∴， 故答案为：． 69．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，由勾股定理可得表示的数，从而可得表示的数是2，再结合题意得出，即可推出表示的数是，再结合题意可得表示的数是3，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为， 表示的数是2， ∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点， ∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为， ∴表示的数是3， ∴， 故答案为：． 70．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点D在数轴上表示．以点D为圆心，长为半径画弧，交数轴右侧于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．先根据利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ， ， 点E表示的数为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $