精品解析：辽宁省大连市西岗区2025—2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

西岗区期末质量抽测试卷 九年级数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 2. 已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而减小这一性质． 根据当时，函数图象在第一象限内y随x的增大而减小即可判断． 【详解】解：∵， ∴函数图象在第一象限内y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴． 故选A． 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4. 如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，根据主视图是从正面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从正面看到的图形，即主视图如下： ， 故选：B． 5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． 按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：∵抛物线向下平移2个单位， ∴新解析式为， 故选B． 6. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 9. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 10. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 12. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____． 【答案】 【解析】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 14. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 17. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【小问1详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 18. 海边有一遮阳棚：测得棚口P距地面，棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（）是棚顶距棚口的水平距离，y（）是棚顶距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在棚内距棚口P水平距离处，身高的小红在棚里走动，当她的头顶恰好接触到棚顶时，则此时她与爸爸的水平距离是_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据“棚口P距地面，棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面”求解即可； （2）将代入解析式求解，进而根据“爸爸站在棚内距棚口P水平距离处”作答即可． 【小问1详解】 解：∵棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面，并设抛物线的表达式为， ∴， ∵棚口P距地面， ∴， 解得：， 即； 【小问2详解】 解：将代入得， 即， 解得：（舍去）， ∵爸爸站在棚内距棚口P水平距离处， ∴小红与爸爸的水平距离是． 故答案为：． 19. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米． （1）求点到的距离； （2）求、两点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理． （1）过点作，交于点，交于点，利用旋转的性质可得出厘米，，利用矩形的性质可得出，在中，通过解直角三角形可求出的长，结合及可求出点到的距离； （2）连接，，，，利用旋转的性质可得出，，进而可得出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，结合可得出、两点的距离． 小问1详解】 解：如图，过点作，交于点，交于点， 由题意得厘米，， 四边形是矩形， ， ， 在中，厘米， 厘米，厘米， 厘米， 厘米， 答：点到的距离为厘米； 【小问2详解】 如图，连接，，， 由题意得，， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， 在中，厘米，厘米， 厘米， 厘米， 答：、两点的距离是厘米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 【答案】（1）4；6 （2）6 【解析】 【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值； （2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象轴交于点， ∴，OB=4， ∴一次函数解析式为， 设点C（m，n）， ∵的面积是2． ∴，解得：m=1， ∵点C在一次函数图象上， ∴， ∴点C（1，6）， 把点C（1，6）代入得：k=6； 【小问2详解】 当y=0时，，解得：x=-2， ∴点A（-2，0）， ∴OA=2， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键． 21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，利用圆周角定理推出，则，再利用切线的性质得到，进而利用平行线的判定可得结论； （2）连接，证明，得到，进而求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴，则， ∵与相切于点E， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴，即的半径为． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【答案】（1） （2） （3）或5或2或 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解． （2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）如图，过点D作，设长度为x， 由旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故长度为． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况， ①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； 综上所述，的长度为或5或2或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的动点问题，旋转的性质，掌握相关知识点并做适当的辅助线构造全等是解题的关键． 23. 已知，抛物线过点，点、是抛物线上的两个动点，横坐标分别为，． （1）则抛物线的解析式为__________________； （2）若直线平行轴，求此时的值； （3）抛物线在、两点之间的部分记为图象（含、两点），当图象中的最大值与最小值的差为时，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合、求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1)用待定系数法即可求出二次函数的解析式； (2)根据点、的横坐标分别为，，分别求出点、的纵坐标，根据轴，可得关于的方程，解方程即可求出的值； (3)根据点、是抛物线上的动点，二次函数的最小值是，再结合图像中的最大值与最小值的差为，分情况讨论． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得：， 抛物线的解析式是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：点、是抛物线上的两个动点，横坐标分别为，， 当时，， 当时，， 轴， ， 解得：，， 当时，， 点、重合， ， ； 【小问3详解】 解：二次函数最小值是，对称轴是， 由(2)可知，当时，， 当时，， ①当且时， 解得：， 可得：， 整理得：， 或， 当时， 解得：或，当时， 解得：或， 和，，均不在范围内， 故不符合题意； ②当且时， 解不等式，可得：， 故不成立； 当点、分别在对称轴的两侧时， 此时图像中最小值是，最大值是或， ③当最大值是时， 可得：， 整理得：或， 解方程， 可得：或， 当时，可得：， 此时点与对称轴的距离是，点与对称轴的距离是， ， ， 不满足是最大值的条件， 故不符合题意舍去； 当时，可得：， 则有点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，满足是最大值的条件， 故符合题意； ④当最大值是时， 可得：， 整理得：或， 解方程， 整理得：， 解得：或， 当时，， 满足图像的最小值是，最大值是的条件， 当时， ，， ， 不符合题意，舍去， 故成立； 解方程， 整理得：， ， 方程无解； 综上所述或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西岗区期末质量抽测试卷 九年级数学 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由正方体组成的立体图形．其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C D. 10. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 12. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____． 14. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________． 15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 17. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 18. 海边有一遮阳棚：测得棚口P距地面，棚顶在距棚口P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（）是棚顶距棚口的水平距离，y（）是棚顶距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在棚内距棚口P水平距离处，身高的小红在棚里走动，当她的头顶恰好接触到棚顶时，则此时她与爸爸的水平距离是_________． 19. 图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米． （1）求点到的距离； （2）求、两点的距离． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 21. 如图，内接于，是的直径，平分交于点E，交于点H，过点E作的切线，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 23. 已知，抛物线过点，点、是抛物线上的两个动点，横坐标分别为，． （1）则抛物线的解析式为__________________； （2）若直线平行轴，求此时的值； （3）抛物线在、两点之间的部分记为图象（含、两点），当图象中的最大值与最小值的差为时，直接写出满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $