精品解析：黑龙江省佳木斯市第二中学2024-2025学年高二下学期开学验收考试数学试卷

黑龙江省佳木斯市第二中学2024—2025学年度第二学期开学验收考试 高二数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分133分，考试时间100分钟. （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. （3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（共58分） 一、单选题 1. 直线的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，即可得其斜率． 【详解】根据题意，直线的方程为，其斜截式方程为， 其斜率. 故选：D. 2. 4与9的等比中项为（ ） A. 6 B. C. D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C 3. 抛物线焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将抛物线方程化为标准形式，再求焦点坐标. 【详解】由得，所以抛物线为开口向上的抛物线，且， 所以焦点坐标为， 故选：C 4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”可得，结合递推关系式，分类讨论可得. 【详解】由“冰雹猜想”可知：若，则，， 若为偶数，则；若为奇数，则； 综上所述：或. 故选：D. 5. 长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 1或 C. 12 D. 1或12 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，的向量表示，再求出这两个向量夹角的余弦值，进而可得直线与所成角的余弦值，由题意可得列方程，可得的值． 【详解】长方体中， 底面ABCD是边长为2的正方形， 设，直线与所成角的余弦值为， 因，， 由题意可得， 所以， ，， 所以，， 所以， 整理可得， 可得或，解得或 所以或 故选： 6. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 7. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 8. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，又直线与圆交于、两点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设、，方程组消元后求得，再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得． 【详解】圆的标准方程为，则圆的圆心为，半径为， 所以，，故， 易知直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 所以，， 因为，解得. 故选：A. 二、多选题 9. 等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时， D. 时n的最小值为10 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据单调性可得时，，当时，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，故， 由于是递增数列，故，因此，故A正确，B错误， 进而可得当时，，当时， 因此取得最小值时，或，C错误， 由于， 故当时，，因此时n的最小值为10，D正确， 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 11. 已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则 C. 若，则的周长为8 D. 若，则的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解. 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误； 对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确； 对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（共75分） 三、填空题 12. 已知为等比数列，且，，则公比________． 【答案】3 【解析】 【分析】由即可求出. 【详解】设公比为，则有. 故答案为：3. 13. 若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】依题意得到关于的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】依题意，成等差数列，则有，， 化简并两边平方可得，， 因，代入整理得，，解得. 故答案为：. 14. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的范围. 【详解】依题意，， 则曲线表示为圆心，1为半径在直线及上方的半圆，如图： 当直线为曲线的切线时，，，解得，令切线为， 当直线过点时，它还过点，且这两点都在曲线上，此时，令此直线为， 当直线在直线与之间（不含，含）平行移动时，它与曲线始终有两个交点， 当直线由向右平移时，该直线与曲线最多一个交点， 所以实数b的取值范围是. 故答案为： 四、解答题-问答题 15. 在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得通项公式，然后由题目条件结合等比数列知识可得通项公式； （2）由分组求和法可得答案. 【小问1详解】 易知 故求数列的通项公式分别为 【小问2详解】 由（1）知： 设数列的前项和为，数列的前项和为，则 则数列的前n项和 . 16. 已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出通项公式和求和公式即可； （2）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写出； （3）应用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 设公差为，结合题设有，解得， 故. 【小问3详解】 由（2）有， 故 . 17. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的标准方程； （2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【小问1详解】 由题知，设点， 则，所以， 即，整理得， 所以曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：， 与C的交点坐标为，，此时弦长等于，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：， 设曲线C的圆心到直线l的距离为d， 由（1）知曲线C的圆心为， 所以， 因为曲线C截l所得弦长等于， 所以，解得． 所以，解得． 所以直线l的方程为：． 综上，直线l的方程为：或． 18. 设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出方程； （2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积. 【小问1详解】 过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程可得，解得； 因此可得，又，且， 解得， 故双曲线的方程为． 【小问2详解】 如下图所示： 联立，解得， 所以四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省佳木斯市第二中学2024—2025学年度第二学期开学验收考试 高二数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分133分，考试时间100分钟. （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效. （3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷（共58分） 一、单选题 1. 直线的斜率是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 4与9的等比中项为（ ） A 6 B. C. D. 6.5 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A B. C. D. 4. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（ ） A B. C. D. 或 5. 长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为（ ） A. B. 1或 C. 12 D. 1或12 6. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，又直线与圆交于、两点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时， D. 时n的最小值为10 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 11. 已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 若是椭圆，则 B. 若是双曲线，则 C. 若，则的周长为8 D. 若，则的离心率为 第II卷（共75分） 三、填空题 12. 已知为等比数列，且，，则公比________． 13. 若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 14. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是________. 四、解答题-问答题 15. 在数列中，点在直线上；在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前项和. 16. 已知是等差数列的前项和，且. （1）写出等差数列的通项公式和求和公式. （2）求； （3）若，记数列前项和为，求. 17. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的标准方程； （2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 18. 设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $