精品解析：湖北省宜昌教育集团2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题

九年级上数学期末考卷 考试时间：120分钟 分卷I 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ） A. 直线 B. 正方形 C. 圆 D. 菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的定义．平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形是圆，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆． 故选：C 2. 下列函数不属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：对于A：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于B：，是二次函数，故本选项不符合题意； 对于C：，是一次函数，故本选项符合题意； 对于D：，是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 是关于x的一元二次方程的条件是（ ） A. a，b，c为任意实数 B. a，b不同时为0 C. a不为0 D. b，c不同时为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的条件是a不为0． 故选：C． 4. 下列结论错误的是（ ） A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 半圆不是弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括对称性、弧和弦的定义． 根据圆的定义和性质判断各选项的正误即可． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、圆是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； C、半圆是弧，原说法错误，故本选项符合题意； D、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； 故选：C 5. 下列图形中一定相似的是（　　） A. 所有矩形 B. 所有等腰三角形 C. 所有等边三角形 D. 所有菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故不符合题意； B、所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故不符合题意； C、所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故符合题意； D、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查相似形的定义，解题关键是相似图形的形状相同，但大小不一定相同． 6. 如图，已知点，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解∶∵点，以为位似中心，按比例尺，把缩小， ∴点的对应点的坐标为或， 即或． 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 7. 用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（ ） A. 没有一个内角是钝角 B. 至少有一个内角是钝角 C. 至少有两个内角是锐角 D. 至少有两个内角是钝角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法；反证法需假设原命题的否定成立，原命题“最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”. 【详解】解：∵原命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”的否定是“至少有两个内角是钝角”， ∴反证法时应先假设“至少有两个内角是钝角”. 故选：D. 8. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB， 则AD=AB=×0.8=0.4米， 设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2， 在Rt△OAD中， OA2=AD2+OD2， 即r2=0.42+（r﹣0.2）2， 解得r=0.5米， 故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米． 故选B． 9. 已知函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由图象可知：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，与x轴没有交点，对称轴在y轴左侧，据此列出不等式求解即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，与x轴没有交点，对称轴在y轴左侧， 解得：. 故选：B. 10. 对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 整数 D. 不能确定的数 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：x2-5x+10=x2-5x++=（x-）2+， ∵（x-）2≥0， ∴（x-）2+＞0． ∴原式是一个正数， 故选B． 11. 已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的对称轴和开口方向，比较两点到对称轴的距离即可判断函数值大小． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵函数的图象经过点，，且， ∴． 故选：B 分卷II 二、填空题（共3小题，每小题3分，共12分） 12. 有一支夹子如图所示，AB=2BC，BD=2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】首先从题目中整理出相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求解． 【详解】解：，， ， ∴ ， 当时， ∴ ， 解得：EC=3（cm）， 故答案为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大． 13. 在直角坐标系中，以为圆心，r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质．作轴，连接，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为且． 【详解】解：作轴，连接，如图所示， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与y轴相切， ∴或． 故答案为：或3． 14. 若点和都在抛物线上，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，熟练掌握函数图象上的点坐标适合函数解析式，是解题的关键． 将点P和Q的坐标代入抛物线解析式，求出a和b的值，得到两点坐标后计算距离． 【详解】解：将点代入， 得； 将点代入， 得． ∴， ∴线段的长度为． 故答案为：2． 15. 方程：的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， 或 解得：． 故答案为： 三、解答题（共9小题，共，75分） 16. 已知点，在二次函数的图象上，当时，． （1）求m的值； （2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程； （1）根据当时，，列出方程求解即可； （2）抛物线与x轴只有一个公共点，则，据此即可求解. 【小问1详解】 解：∵时，， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴，即， ∴. 17. ，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： （1）边上的中线的长； （2）的周长； （3）的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． （1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，边上的中线， ∴， ∴， ∴边上的中线的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴， 即的周长为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， 即的面积为． 18. 如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． （1）用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； （2）求证：． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的判定，圆周角定理，三角形的外角性质，圆的外接圆和内心等，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用尺规作图画出线段、线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆，即为的外接圆； （2）连接，I是的内心可得为角平分线，为角平分线，利用三角形外角定理和圆周角定理可得，即可得证． 【小问1详解】 解：画出线段、线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆，即为的外接圆， 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： ∵I是的内心， ∴为角平分线，为角平分线， ∴点、、共线，， ∵， ， ∴， ∴． 19. 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在处出手时离地面，与篮筐中心的水平距离为，当球运行的水平距离是时，达到最大高度（处），篮筐距地面，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）． 建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； 判断此球能否投中？ 【答案】 ；球能准确投中． 【解析】 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件即可得到结论； （2）根据（1）中的篮球运动抛物线的解析式，把坐标（7，3）代入判断是否满足，则即可确定篮球是否能准确投中． 【详解】过作水平线的垂线，垂直为，以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意得，顶点， 设抛物线的解析式为， ∴． 解得：． ∴抛物线的解析式为：； 当时，， ∵点在抛物线上， ∴球能准确投中． 【点睛】考查了二次函数在实际生活中的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的求得函数的解析式是解题的关键． 20. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 21. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形． （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若DA=AF，求证：CF⊥AB． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB=∠EFA=60°， ∴∠B=30°， ∵∠EFA=∠B+∠FDB， ∴∠B=∠FDB=30°， ∴△DFB是等腰三角形； （2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a， ∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a， 在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=， ∴DM=5a，∴DF=BF=6a， ∴AB=AF+BF=8a， 在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a， ∴AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC， ∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°， ∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°， ∴CF⊥AB． 22. 今年橙子丰收的季节到了，我市的橙子开始上市，嗅到商机的水果批发商用3500元向果农王大爷购进3000千克A、B两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为每千克1元和1.5元 （1）问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？ （2）批发商在销售完后获得了的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元 ①第二次购进A、B两个品种的橙子各多少千克？ ②销售第二批橙子时，品种A先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求A类第一次的标价是多少？ 【答案】（1）批发商购进橙子A为2000千克，B为1000千克 （2）①2600千克，700千克；②1.5元/千克 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设A为x千克，则B为千克，利用购进两种水果一共用3500元列方程求解即可； （2）①设A第二次购进数量增加的百分数为a，利用“将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元”列方程求解即可； ②A每次提价的百分数为m，利用“这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元”，列方程求解即可. 【小问1详解】 解：设A为x千克，则B为千克 解得： 答：批发商购进橙子A为2000千克，B为1000千克. 【小问2详解】 解：①设A第二次购进数量增加的百分数为a，则可以列方程 ∴千克 千克 ②设A每次提价的百分数为m 第一次总利润为：元 可列方程 解得：或（舍去） 元/千克 答：A第一次标价为元/千克. 23. 在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示． （1）如图①，求证：BA=BP； （2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值； （3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=a．     ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB= ，∴BA=BP． （2）； （3）定值为：． 【解析】 【分析】试题分析：（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD=a．通过计算得出AB=BP=a，由此即可证明； （2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD=a，可得CQ=CQ′=a﹣a，由CQ′∥AB，推出的值； （3）如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT=•TH•CK+•TH•BK=HT•（KC+KB）=HT•BC=HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题； 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小． 设AD=BC=QD=a，则AB=CD=a，∴CQ=CQ′=a﹣a，∵CQ′∥AB，∴= =． （3）证明：如图③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K． 由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=，DP=CF=﹣1，∵S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK=HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，∵TH∥AB∥FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT=（FM+BN），∵BN=PM，∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+﹣1）= ，∴S△MNT=HT= =定值． 考点：相似形综合题；定值问题；动点型；新定义；最值问题；压轴题． 24. 如图在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，长为半径作． （1）求证：直线是的切线； （2）过点A左侧x轴上的任意一点，作直线的垂线，垂足为M．若与相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线、、y轴与同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）或 （3）存在，满足条件的点C的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可推出，推出，推出是的切线； （2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线在的左侧与相切时，设切点为D，则四边形是正方形．②如图3中，当直线在的右侧与相切时，设切点为，则四边形是正方形．分别列出方程即可解决问题． （3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件． 【小问1详解】 证明：如图1中，连接． ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， 在中，， ∴， ∵点P沿射线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线运动，速度为每秒5个单位长度． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：①如图2中，当直线在的左侧与相切时，设切点为D，则四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图3中，当直线在的右侧与相切时，设切点为，则四边形是正方形． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：存在．理由如下： 如图4中，当在y轴的右侧与y轴相切时，，， 由（2）可知，或； 如图5中，当在y轴的左侧与y轴相切时，，， 由（2）可知，或． 综上所述，满足条件的点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形 ，圆的基本性质，一次函数等知识点，综合程度较大，能够熟练运用知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上数学期末考卷 考试时间：120分钟 分卷I 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ） A. 直线 B. 正方形 C. 圆 D. 菱形 2. 下列函数不属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 是关于x的一元二次方程的条件是（ ） A. a，b，c为任意实数 B. a，b不同时为0 C. a不为0 D. b，c不同时为0 4. 下列结论错误的是（ ） A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 半圆不是弧 D. 直径是圆中最长的弦 5. 下列图形中一定相似的是（　　） A. 所有矩形 B. 所有等腰三角形 C. 所有等边三角形 D. 所有菱形 6. 如图，已知点，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（ ） A. 没有一个内角是钝角 B. 至少有一个内角是钝角 C. 至少有两个内角是锐角 D. 至少有两个内角是钝角 8. 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 4 9. 已知函数的图象如图所示，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 整数 D. 不能确定的数 11. 已知函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 分卷II 二、填空题（共3小题，每小题3分，共12分） 12. 有一支夹子如图所示，AB=2BC，BD=2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ为6cm，如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点，那么手握的地方EC至少要张开________cm． 13. 在直角坐标系中，以为圆心，r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则r的值为________． 14. 若点和都在抛物线上，则线段的长为________． 15. 方程：的解为__________． 三、解答题（共9小题，共，75分） 16. 已知点，在二次函数的图象上，当时，． （1）求m的值； （2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值； 17. ，，边上的中线，的周长为，的面积是，求： （1）边上的中线的长； （2）的周长； （3）的面积． 18. 如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． （1）用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； （2）求证：． 19. 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在处出手时离地面，与篮筐中心的水平距离为，当球运行的水平距离是时，达到最大高度（处），篮筐距地面，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）． 建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； 判断此球能否投中？ 20. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 21. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形． （1）求证：△DFB是等腰三角形； （2）若DA=AF，求证：CF⊥AB． 22. 今年橙子丰收的季节到了，我市的橙子开始上市，嗅到商机的水果批发商用3500元向果农王大爷购进3000千克A、B两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为每千克1元和1.5元 （1）问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？ （2）批发商在销售完后获得了的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元 ①第二次购进A、B两个品种的橙子各多少千克？ ②销售第二批橙子时，品种A先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求A类第一次的标价是多少？ 23. 在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示． （1）如图①，求证：BA=BP； （2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值； （3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值． 24. 如图在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，长为半径作． （1）求证：直线是的切线； （2）过点A左侧x轴上的任意一点，作直线的垂线，垂足为M．若与相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线、、y轴与同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $