精品解析：重庆市西南大学附属中学2025-2026学年上学期九年级1月份定时练习数学试卷

数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据比较各数大小，正数大于负数，负数中绝对值越大数值越小． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ∴， ∴ 最小的数是． 故选：D． 2. 重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计．下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键． 【详解】解：A．图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴与的相似比，即， ． ∵， ∴ 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除，同类项的概念与合并规则，积的乘方运算法则，掌握整式的幂运算法则是解题关键． 根据整式的幂运算及同类项运算规则对选项依次判断即可． 【详解】解：∵，∴正确； ∵，∴错误； ∵，∴错误； ∵，∴错误． 故选：． 5. 已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握比例系数的符号与函数在象限内增减性的关系是解题关键． 当时，在的范围内，随增大而增大，由此建立不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在时，随增大而增大， ∴系数， ∴，即． 故选：C． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆、矩形和平行四边形的性质．选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；选项B错误，因为平分弦的直径不一定垂直于弦（如弦为直径时）；选项C不正确，只有在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；选项D正确，因为对角线互相平分可得平行四边形，对角线相等可得矩形． 【详解】∵ A： 长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，故不是等弧，∴ A错误，不符合题意； ∵ B∶ 当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴ B错误，不符合题意； ∵ C∶ 在同一平面中，过一点（无论点在直线上还是外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，∴原说法没有限制在同一平面内， C错误，不符合题意； ∵ D∶ 对角线互相平分的四边形为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 7. 用大小相同的菱形按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案中有2个菱形，第（2）个图案中有5个菱形，第（3）个图案中有8个菱形，第（4）个图案中有11个菱形，……以此类推，第（15）个图案中菱形的个数是（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索．通过观察图形找到相应的规律，得出第个图案中有个菱形，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第15个图案中菱形的个数为， 故选：B． 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积．过点D作于点E，根据阴影部分的面积为，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：B 9. 在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于点，交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 过点作于，作于，过点作，设正方形的边长为，则可得，由，则，由是正方形可知，可得，，进而可得，计算出，再可证，则可得，由此可得，从而可得，，利用，可得，从而可得，即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作于，作于，过点作，则， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，点为中点， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴在中，， 设与相交于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：A． 10. 已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，，时，则，； ②若，则满足条件的整式M共有15个； ③若，则符合条件的情况有9种． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． 说法①中，由时M和N的值即系数和，结合和的值解出m和n，结果正确；说法②中，时整式的系数需满足和为，且最高次项系数为正整数，计算满足条件的整式个数为，与给出的15不符；说法③中，根据的表达式和系数关系的约束，求解符合条件的组合，结果为种，与给出的9种不符．因此仅说法①正确． 【详解】解：∵时，，， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴，（为正整数），故①正确． ∵，则，其中，，， 令（），则， 当时， ，此时满足条件的自然数解有组，是或或或， 当时， ，此时满足条件的自然数解有3组，是或或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有2组，是或； 当时， ，此时满足条件的自然数解有1组，是； 总解数为个．故②错误． ∵， ∴，， ，， ∴， 又∵， ∴，，，， 由，分两种情况： 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，对应3种情况． 当，，则，，结合，，且， 解得有，，，，对应4种情况． ∴总情况数，故③错误． 综上，仅①正确．故选B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球， ∴搅匀后从中任意摸出1个球摸到白球的概率为：． 故答案为：． 12. 已知，n是m的整数部分，则n的值为________． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据二次根式的性质得到，再把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵， ，，， ∴m的整数部分为 5，即． 故答案为：5． 13. 如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查正多边形有关的角，多边形内角求法，等腰三角形的性质，三角形内角和，利用数形结合求解是解答此题的关键． 首先根据正五边形的性质得到，然后利用三角形内角和定理得，最后利用三角形的内角和得到，即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知：，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的等式变形，分式的基本运算，完全平方公式的灵活应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 由已知方程变形得到，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：， ， 等式两边同时除以，得，即， 两边平方，得，可得，即， ． 故答案为：． 15. 如图，四边形为平行四边形，边与相切于点B，点D在上，分别与交于点E、G、F，点E是弧的中点，若，则________，________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】连接，设与交于点H，根据垂径定理可得，再结合切线的性质可得，可证明，即可求出的长；连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则，证明，可得，根据圆周角定理可得，在和中，根据勾股定理可得，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）； 如图，连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6； 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 若一个两位数恰好比它的各个数位数字之和的8倍还少5，则称这个两位数为“八五数”．则最大的“八五数”为________；若一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“八五数”，则称这个四位数为“双八五数”．若，则记．若s，t都是“双八五数”，其中，，（，z，n，，，，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，当取最大值时，________． 【答案】 ①. 83 ②. 7200 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的整数解和数字问题，两位数和四位数的表示，新定义，掌握新定义“八五数”是解本题的关键． 首先，根据“八五数”的定义，设两位数为，满足，解得，求出和的自然数解，从而确定“八五数”有和，其中最大为．对于“双八五数”和，根据其表达式和“八五数”条件，解出可能为或，t可能为或．计算和，其中，，．得到的最大值为，此时，，故． 【详解】解：设“八五数”为，则，化简得． ∴， ∵，，、为自然数， ，，或，， 故“八五数”有和， 所以最大“八五数”为83． 若s，t都是“双八五数”， ，故s千位为1，s可能为或． ，其数字为千位，百位是3， 由题意得：， 则， 故t为或． 计算：若，则，，； 若，则，，． 计算：若，则，，； 若，则，，． ，当且时，最大．此时． 故答案为83和7200． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题每小题8分，19~25小题每小题10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法以及一元一次不等式组的解集确定，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，确定不等式组的解集，最后从解集中筛选出所有整数即可． 【详解】解：解： ， ， ； 解： ， ， ， ； 则不等式组的解集为， 所以不等式组的所有整数解为，，． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ∴． 平分，平分， ， ∴， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 19. 10分）某学校准备在七、八年级举行英语“词王争霸”活动，为了提前了解学生的词汇量掌握情况，开展了英语单词默写竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：81，86，88，88，89． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 89 a 90 八年级 89 92 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有1000人，八年级有1500人，估计该校七，八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数共多少？ 【答案】（1）94；87；25 （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）1075人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）利用中位数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级20名学生的竞赛成绩中94出现次数最多， ∴， 八年级20名学生竞赛成绩在A组的有， ∴位于第10，11位的分别为88，86 ∴， ，即； 故答案为：94；87；25 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高， 故七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：该校七年级有1000人，八年级有1500人， 人， 即该校七，八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数共1075人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ （2）该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 【答案】（1）甲工程队每天挖掘米，乙工程队每天挖掘米 （2）施工方案有两种：①甲队施工天，乙队施工天；②甲队施工天，乙队施工3天 【解析】 【小问1详解】 解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道36米，乙工程队每天可挖掘隧道24米． 【小问2详解】 解：设乙队施工天数为天， 隧道总长720米，甲队施工天，挖掘米，剩余隧道长度米， ∴乙队施工天数， ∵、为正整数， ∴为偶数，， ∴， 依题意得：，即 解得：， 又∵， ∴可取， 当时，乙队施工天数为， 当时，乙队施工天数为， 答：施工方案有两种：方案①甲队施工16天，乙队施工6天；方案②甲队施工18天，乙队施工3天． 22. 如图，在菱形中，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动，当点P到达点D时停止运动，同时，动点Q以每秒个单位长度也从点B出发，沿着运动，P、Q两点同时停止运动．点E为直线上的一动点，满足．设点P的运动时间为x秒（），的面积为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围，（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）；； （2）图象见解析，函数的一条性质是：当时，有最大值为6； （3）当时x的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当时，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，作于点，利用相似三角形的判定和性质求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在菱形中，，对角线交于点O， ∴，，， ∴， 在中，设边上的高为， ∴， 解得， 当时，； 当时， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上，； 作于点， ∵，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，，当时，， 描点，连线，函数图象如图所示： 观察图象，函数的一条性质是：当时，有最大值为6； 【小问3详解】 解：观察图象，当时x的取值范围是． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，取交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解： 过点作于点，取交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． 【小问2详解】 解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若，抛物线对称轴为直线，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若P是上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为直线上两动点（F在E右侧），且．当取得最大值时，求的最大值． （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点C在新抛物线上的对应点为G，新抛物线与y轴交于点H，连接，，点M是新抛物线上一动点，若，请写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的最大值为 （3）点M的横坐标为或 【解析】 【分析】（1）首先通过抛物线的解析式得到点C的坐标，再利用，得到点A的坐标，进而利用对称轴为直线，得到点B的坐标，即可代入求解抛物线的解析式； （2）首先构造合适的辅助线，利用平行线之间的三角形面积相等得到，利用同底等高的两个三角形进而发现当最大时，最大，即最大，再将利用未知数表示，求得点P的坐标，进而再将直线异侧的两点利用对称性转化到同侧，并将不同点的两个线段利用平移转化为同顶点，即可将的最大值利用三角形的三边关系转化为，利用对称点求解点的坐标，即可求解的最大值； （3）首先利用平行线，将已知条件转化为，进而构造辅助线时，应在直线两侧构造角即可得到点M的位置，在计算时注意利用角和相等线段计算点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴，即， ∵， ∴， ∵点A在x轴负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴， 设抛物线的解析式为， 将代入得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点H，连接， 设直线的解析式为：，代入，，易得：， 设直线的解析式为：，代入，，易得：， ∴，，, ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，即最大， 设， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，即此时， 如图，作点O关于直线的对称点，作轴交于点N，连接，，将点P沿方向平移得到点M，连接， ∵点O关于直线的对称点， ∴， ∵点P沿方向平移得到点M， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即的最大值为， 设，则， ∴，， ∵点O关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∵轴， ∴易得：， ∴，则， ∴，解得：， ∴，则， ∴， ∴， 故：的最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴易得：抛物线是抛物线y向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的， ∴， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形， 如图，作轴于点Q，连接， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①如图，在右侧作，交x轴于点P，使得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， 设直线的解析式为：，代入，，易得：， 联立，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴，则； ②如图，作点O关于直线的对称点，连接，将逆时针旋转得到，连接，此时与抛物线的交点即为点M， ∵将逆时针旋转得到， ∴为等腰直角三角形， ∴，则此时， 首先利用点O关于直线的对称点，求得，并得到直线的解析式， 进而利用和点P在直线上求出点P的坐标，因此可以得到直线的解析式，联立直线与抛物线即可得到； 故：点M的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，构造辅助线和利用二次函数与一次函数联立求解点的坐标是解题的关键． 25. 在等边中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，现将绕点A逆时针旋转60度得到线段，连接，交于K，连接． （1）如图1，若，请用含α的式子表示，并说明理由； （2）如图2，过E作于点G，连接，延长至点H，使得，连接、，请用等式表示线段与的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，将沿翻折至，过作直线，点P是线段上一点，Q是线段上一点，且满足，若点D在直线上运动，当最大时，连接，当最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1），理由见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得出是等边三角形，再根据三角形外角的性质得出结果； （2）延长至点M，使，连接，先证明，再证明，设，利用角度的和差关系及等腰三角形的性质得出，进而证明，利用全等三角形的性质得出结果； （3）先根据已知条件得出点E的轨迹是直线，与的夹角为，再由翻折的性质得出点的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆，当点N，G重合时，此时最大，证明出，当，当A，Q，M三点共线时取等号，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质求出相关线段的长度，最终即可求得的面积． 【小问1详解】 解：， 理由：∵绕点A逆时针旋转60度得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又∵在等边中，， ∴， ∴在中，． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，延长至点M，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴点G为中点， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设与交点为G， ∵，， ∴点E的轨迹是直线，与的夹角为， ∴， ∴点G为中点， 由翻折可知，， ∴点的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， 如图，延长交于点，交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴当点N，G重合时，此时最大， 如图，作，且使，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当A，Q，M三点共线时取等号， 过点F作交于点K， ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，勾股定理及三角形外角的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时练习 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计．下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数中，随增大而增大，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7. 用大小相同的菱形按如图所示的规律拼图案，其中第（1）个图案中有2个菱形，第（2）个图案中有5个菱形，第（3）个图案中有8个菱形，第（4）个图案中有11个菱形，……以此类推，第（15）个图案中菱形的个数是（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 8. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于点，交于点，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，，时，则，； ②若，则满足条件的整式M共有15个； ③若，则符合条件的情况有9种． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球．摸到白球的概率为____． 12. 已知，n是m的整数部分，则n的值为________． 13. 如图，在正五边形中，连接，相交于点，则的度数为________． 14. 已知：，则的值为________． 15. 如图，四边形为平行四边形，边与相切于点B，点D在上，分别与交于点E、G、F，点E是弧的中点，若，则________，________． 16. 若一个两位数恰好比它的各个数位数字之和的8倍还少5，则称这个两位数为“八五数”．则最大的“八五数”为________；若一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“八五数”，则称这个四位数为“双八五数”．若，则记．若s，t都是“双八五数”，其中，，（，z，n，，，，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，当取最大值时，________． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题每小题8分，19~25小题每小题10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 19. 10分）某学校准备在七、八年级举行英语“词王争霸”活动，为了提前了解学生的词汇量掌握情况，开展了英语单词默写竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：81，86，88，88，89． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 89 a 90 八年级 89 92 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有1000人，八年级有1500人，估计该校七，八年级学生参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数共多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 截至2025年6月27日，渝厦高铁（渝黔段）开通后，重庆市高铁总里程为1435公里，未来五年重庆市将持续打造“米”字型高铁网．甲、乙两工程队承接某段高铁隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队的1.5倍：若甲、乙两个工程队合作挖掘360米隧道，用了6天完成． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘多少米隧道？ （2）该段隧道总长720米，计划甲队先施工m天，剩余工程由乙队完成．甲队每天挖掘费用8万元，乙队每天4万元，若总费用不高于160万元，且甲队施工天数不少于16天，则有哪几种施工方案？（甲、乙工程队挖掘天数均为正整数） 22. 如图，在菱形中，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度从点B出发，沿着运动，当点P到达点D时停止运动，同时，动点Q以每秒个单位长度也从点B出发，沿着运动，P、Q两点同时停止运动．点E为直线上的一动点，满足．设点P的运动时间为x秒（），的面积为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围，（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若，抛物线对称轴为直线，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若P是上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为直线上两动点（F在E右侧），且．当取得最大值时，求的最大值． （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点C在新抛物线上的对应点为G，新抛物线与y轴交于点H，连接，，点M是新抛物线上一动点，若，请写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 25. 在等边中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，现将绕点A逆时针旋转60度得到线段，连接，交于K，连接． （1）如图1，若，请用含α的式子表示，并说明理由； （2）如图2，过E作于点G，连接，延长至点H，使得，连接、，请用等式表示线段与的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，将沿翻折至，过作直线，点P是线段上一点，Q是线段上一点，且满足，若点D在直线上运动，当最大时，连接，当最小时，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $