精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

哈尔滨市第六中学校2025级上学期期末考试 高一数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合，利用交集和并集的定义依次判断选项即可. 【详解】因为集合，集合， 所以，. 故选：D 2. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可判断ABC；利用不等式性质可判断D. 【详解】当，时，，故A错误； 当，，，时，，故B错误； 当时，可得，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 3. 设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要性、充分性定义，结合一元二次不等式的解集性质、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】对于来说， 若，则有，显然成立， 若，要想关于的不等式对一切恒成立， 只需， 综上所述，的取值范围为； 因为指数函数（且）在上单调递减， 所以有，则的取值范围为， 显然， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正切函数的定义计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：C 5. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助扇形周长公式、弧长公式与面积公式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故选：B. 6. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 7. 已知函数，若的图象关于对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知正弦函数关于对称，得出，求出表达式，再利用的范围确定的值． 【详解】，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 8. 设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到在上单调递增，确定关于原点对称，得到为偶函数，，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【详解】，，，故， 即函数在上单调递增， 函数的图象关于中心对称，则关于原点对称， 即为奇函数，为偶函数，故函数在上单调递减. ，则，， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，； 综上所述：. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成的形式是 C. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D. 若是第二象限角，则是第二或第四象限角 【答案】ABC 【解析】 【分析】角度与弧度的转换，以及象限角的概念和性质，对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A选项，，A正确； 对于B选项，，B正确； 对于C选项，如果是第一象限的角，则， 那么，这表明是第四象限的角，C正确； 对于D选项，若是第二象限角， 则，则， 当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角，所以是第一或第三象限角，D错误. 故选：ABC. 10. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围，从而作出判断． 【详解】由题意可知，，所以． 所以． 即a的取值范围是． 故选：AC 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. 一元二次不等式的解集为，则 C. 正数满足，则的最小值为2 D. 若且，则的最小值是16 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用全称命题的否定的定义判断A，利用一元二次方程根与系数的关系判断B，利用基本不等式判断CD. 【详解】对于选项A，由全称命题的否定的定义可知，“”的否定是“”，故A正确； 对于选项B，一元二次不等式的解集为，可知， 由韦达定理得，解得，则，故B正确； 对于选项C，由得， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 故C错误. 对于选项D，因为所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以，解得，故D正确； 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数且的图象恒过定点P，则P的坐标为_________． 【答案】（-22） 【解析】 【分析】由对数函数图象恒过（1,0）点，即可求解. 【详解】因为对数函数图象恒过（1,0）点， 所以令，解得：， 所以函数且的图像恒过（-2,2）. 故答案为：（-2,2） 13. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是___________；若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，函数恰有2个不同的零点当且仅当函数的图像与直线有2个不同的交点，据此可得答案；第二空，令，则原方程可化为，然后由图像结合第一空解析可得答案. 【详解】第一空，如图，作出函数的图像，函数恰有2个不同的零点， 当且仅当函数的图像与直线有2个不同的交点，由图知，实数的取值范围是． 第二空，令，原方程化为，即， 解得或，因方程有5个解， 结合图像可得与有2个交点，与有3个交点， 于是，则. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知为第一象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知正切值及为第一象限角，把原式中正弦、余弦化为正切，从而求解； （2）利用正切得出正、余弦的关系，再利用及为第一象限角，求出正弦和余弦值，进而计算求解． 【小问1详解】 ，为第一象限角，则， ． 【小问2详解】 ，， 又，， 为第一象限角， ，， ． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求在上解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的对称性和时的解析式可求答案； （2）根据求出范围，结合对称性可求答案. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数， 令，则，所以, 即当时 【小问2详解】 当时，即，所以；又函数是定义在上的偶函数, 综上不等式的解集. 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在闭区间上的最值以及对应的值 【答案】（1）； （2）当时有，当时. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式与辅助角公式可得，然后由最小正周期计算公式可得答案； （2），然后由单调性结合题意可得答案. 【小问1详解】 由函数 ， ， 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由（1）可知，， 因在 上单调递减，在上单调递增， 则，此时； ，此时. 综上可得：，. 18. ①函数（其中）在处取得最大值， ②函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，且为奇函数． 在这①②两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： “已知___________，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为．” （1）求函数的单调递增区间． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据周期求出，选择①则根据最值情况求出，得到解析式，选择②则利用平移和奇函数求出得到解析式，根据正弦型函数单调性可求答案； （2）先求出的范围，换元，利用恒成立可求答案. 【小问1详解】 选择条件①：（其中，，）在处取得最大值； 由题设条件知的周期，即，解得． 因在处取得最大值，所以． 从而，所以，． 又由得，故的解析式为． 选择条件②： 依题意，由题设条件知的周期，从而， ，， 又的图像关于原点对称，则，由知，从而， 令，解得. 【小问2详解】 当时，可得，不等式可化为 ，有. 令，，则， 则等价于，解得：. 故实数的取值范围为. 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）；当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. 【小问1详解】 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数. 【小问2详解】 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. 【小问3详解】 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2025级上学期期末考试 高一数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 设：关于的不等式对一切恒成立，：指数函数（且）在上单调递减，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知扇形的周长为16cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A B. C. D. 6. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数，若的图象关于对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于中心对称，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成形式是 C. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D. 若第二象限角，则是第二或第四象限角 10. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. “”的否定是“” B. 一元二次不等式的解集为，则 C. 正数满足，则的最小值为2 D. 若且，则的最小值是16 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数且图象恒过定点P，则P的坐标为_________． 13. 若，则______． 14. 已知函数，若函数恰有2个不同的零点，则实数的取值范围是___________；若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知为第一象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，． （1）求在上的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在闭区间上的最值以及对应的值 18. ①函数（其中）在处取得最大值， ②函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，且为奇函数． 在这①②两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： “已知___________，函数图像相邻两条对称轴之间的距离为．” （1）求函数的单调递增区间． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $