精品解析：天津市第四十三中学2025-2026学年高二上学期阶段二检测数学试题

2025-2026第一学期高三数学阶段二检测卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A. B. C. D. 2. 中，“”是“是以为的直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 4. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则(　　) A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 1或 9. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 11. 过点与圆相切的直线方程为______. 12. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=10，S8=36，当n∈N*时，的最大值为______． 14. 已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________. 15. 设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小： （2）若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 17. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，. （1）设向量为平面的法向量，证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆和直线l：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 19. 已知数列的前n项和为，，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：． 20. 已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期高三数学阶段二检测卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 2. 中，“”是“是以为的直角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即，则或， 因此是以为顶角的等腰三角形或以为直角的直角三角形， 所以“”是“是以为的直角三角形”的必要不充分条件. 故选：B 3. 函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择. 详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义、在上递减逐项判断可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，在开区间上单调递减，故A不正确； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，且在上单调递减，故C正确； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 由于在上单调递增， 所以在上单调递增，故D错误, 故选：C. 5. 已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则(　　) A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c 【答案】A 【解析】 【分析】由，，分别为f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点，所以依次代入得，，，得，，的关系式，判断取值范围，比较大小 【详解】∵ea＝－a，∴a<0，∵lnb＝－b，且b>0，∴0<b<1，∵lnc＝1，∴c＝e>1，故选A. 【点睛】根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 7. 设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是（    ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；利用线线、面面平行关系判断C；利用面面垂直及线面平行关系判断D. 【详解】对于A，由，，得，而，则，A错误； 对于B，由，得存在过的平面且与不重合，则， 由，得存在过的平面，则， 又，因此，又，则，B正确； 对于C，由，，，得与相交或平行，C错误； 对于D，由，，，得与相交、平行或异面，D错误. 故选：B 8. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，根据可求出的取值范围，根据在上只有一个极大值点，可得出关于的不等式，从而可得出正整数的值. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 得到函数的图象，则， 当时，， 因为在上只有一个极大值点，则，解得， 因为，故正整数的值为1或. 故选：D. 9. 如图，四棱锥的体积为1，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用锥体体积公式通过转化法求多面体的体积. 【详解】设点到平面的距离为，由题意可知， 因为底面是平行四边形，所以， 又因为为棱的中点，所以点到平面的距离为， 所以， 因为为棱的中点，所以 ， 因为，分别是所在棱的中点，所以且， 所以四边形为梯形，设，梯形的高为， 所以，， ， ， 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得，从而可求解. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 11. 过点与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意； ②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即， 要求直线与圆相切，则有，解可得， 此时要求直线的方程为：， 综上可得：所求直线的方程为：或 故答案为或 【点睛】本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题． 12. 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的离心率确定形状，设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式计算求解. 【详解】设椭圆半焦距为，由其离心率为，得， 则椭圆的方程为，而的上顶点为，为其焦点， 则，为等边三角形，又，因此直线垂直平分， ，且直线的倾斜角为， 直线方程为，设， 由，得，则， ，解得，， 所以的周长为. 故答案为： 13. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=10，S8=36，当n∈N*时，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求得，求得，进而得出的表示，结合函数的单调性，即可求解． 【详解】由题意，等差数列的前n项和为，若， 设首项为，公差为，则 ，解得， 所以，所以， 则， 当取最小值时，取最大值， 结合函数的单调性，可得当或时，． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算，同时结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14. 已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为__________；如果直线与相交于点，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题. 【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为， ，则最大值为， 由直线，， 可得且过定点过定点， 点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为， ， ，， ， 的最小值为. 故答案为：；. 15. 设函数，则当时，的最小值为______；若恰有两个零点，则实数所在的区间是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围； 【详解】解：当时，令，，设且，则 因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为； 对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即； 故答案为：；； 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小： （2）若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）①先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； ②由角平分线定理求出，再利用余弦定理可求. 【小问1详解】 由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； ②由角平分线定理可得，即， 又，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得. 17. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，. （1）设向量为平面的法向量，证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接. ， 平面平面，平面平面平面， 平面. 是边长为2的等边三角形，. 以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则， . 是平面的一个法向量，令. ， ， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可； （2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可； （3）应用空间向量法求二面角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 设平面的法向量为， 则 令，可得， 平面的一个法向量为， 点到平面的距离为. 【小问3详解】 . 设平面的法向量为， 则令，可得， 平面的一个法向量为. 由（2）可知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为.. 18. 已知椭圆和直线l：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点，若直线与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意写出关于的等式，进行联立即可求解； （2）先假设假设存在实数k，联立直线与椭圆可得，以CD为直径的圆过定点E可得，将韦达定理代入即可求解 【小问1详解】 直线l方程为， 依题意可得：，又， 解得：，， ∴椭圆的方程为； 【小问2详解】 假设存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E， 联立得， ∴，∴或①， 设，，则②， 而， ，， 要使以CD为直径的圆过点，当且仅当，故， 则， ∴，③ 将②代入③得，解得，经验证使得①成立， 综上可知，存在使得以CD为直径的圆过点E. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知数列的前n项和为，，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）已知等差数列满足，其前9项和为63．令，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）证明： ， 数列是以1为首项，为公差的等差数列 所以 可得 当时， 当时，也满足上式， （2）证明： 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合当时，求出即可； （2）用基本量法求出，利用裂项相消法求出，适当放缩即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设，，证明：． 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） （3）由（1）可知，即 ，当且仅当 时，等号成立， 由（2）可知当时，对任意的 ，，即， 所以，其中且， 在不等式 中令，可得， 所以， 所以， 所以 . 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，可得出函数的解析式，利用导数与函数单调性的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由题意可知，使得，然后对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证是否存在使得，综合可得出实数的取值范围； （3）由前两问得出 ，当且仅当 时，等号成立，当 时，，由此可得出，然后利用不等式的基本性质结合等比数列的求和公式可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以， 由题意可知，解得 ，所以，该函数的定义域为， 则， 由可得 ，由可得 . 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 若，，使得，则， 由（1）可知，， 所以，使得， ，当时，， ①当时，对任意的，， 所以函数在上单调递减，则，不合乎题意； ②当时，对任意的，， 所以函数在上单调递增，则，合乎题意； ③当时，因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $