2025-2026学年人教版七年级数学上册期末压轴卷

保密★启用前 期末压轴卷2025-2026学年上学期人教版七年级数学 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）2026的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 2．（本题3分）历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．（本题3分）某文具原价为每件m元．为迎接开学季，每件降6元，在此基础上新生还可以享受八折优惠．若一名新生购买一件该文具，则应付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（本题3分）《北史·列女传》：“吾闻闻名不如见面，小人未见礼教，何足责哉．”《水浒传》第三回：“鲁提辖连忙还礼，说道：‘闻名不如见面，见面胜似闻名！’”其中“闻名不如见面”的意思是只听名声不如见面更能了解，如图是正方体的表面展开图，则“名”字相对的字是（   ） A．不 B．如 C．见 D．面 6．（本题3分）若关于x的方程的解为，则k的值为（    ） A．1 B．7 C． D．0 7．（本题3分）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，，，的长是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知与是同类项，那么m，n的值分别是（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向可以描述为（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 10．（本题3分）某小型工厂有个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮个或小齿轮个，已知个大齿轮和个小齿轮可以配成一套，设安排个工人生产大齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 11．（本题3分）下列方程的解法中，正确的个数是（    ） ①方程移项，得； ②方程去括号，得； ③方程 去分母，得； ④将方程 的分母化为整数，得 A．1 B．2 C．3 D．4 12．（本题3分）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作 ． 14．（本题4分）对于任意有理数a、b，定义一种新运算◇：，如．则的值为 ． 15．（本题4分）如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字型图案盖住图1中的7个数，若“工”字型图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为 ． 16．（本题4分）如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过 后的距离为． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 18．（本题10分）计算： (1) (2) 19．（本题10分）解方程： (1)； (2)． 20．（本题10分）某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，， (1)求小芳周三的学习积分是多少？ (2)小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？ (3)这一周小芳的分数累计为多少分？ 21．（本题10分）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 22．（本题12分）如图，已知线段与、两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算： (1)画直线、射线； (2)延长线段，在的延长线上截取，使（保留作图痕迹）； (3)若，，点为线段的中点，则线段________ 23．（本题12分）2026年寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动，并只能参加一种促销活动： 方式一：全场消费金额满100元，立减50元； 方式二：全场打六折． (1)洋洋发现了一套心仪的图书，标价94元，在收银台，洋洋看见有一些精美笔记本作为附属商品，标价每本8元，洋洋如果多买一本笔记本，是否比只购买图书便宜？购买两本笔记本是否比只购买图书便宜？ (2)若商品标价为元，试分别写出两种促销方式需要支付的金额，猜想如何依据图书的原价选择省钱的购买方式，并通过计算验证你的想法． 24．（本题12分）【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 25．（本题12分）综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段，C为线段上的一个动点，点D、E分别是、的中点． ①若，则线段的长为_______． ②设，求线段的长． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 探究应用：（3）如图3，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置．从12点整开始，两动点M、N分别从点A和点B出发，M点按照…的路线移动，N点按照…的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点O时为1厘米/分钟，远离点O时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M、N的运动方向立刻反向．请直接写出动点M、N第一次、第二次相遇的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 期末压轴卷2025-2026学年上学期人教版七年级数学答案解析 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）2026的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的基本概念，掌握 “正数的绝对值是它本身” 是解题的关键；2026是正数，因此其绝对值是它本身． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 2．（本题3分）历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年11月10日，该片累计票房已突破3017000000元．其中数据3017000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3017000000用科学记数法表示为， 故选：A． 3．（本题3分）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵选项A∶，计算正确； 选项B∶，计算错误； 选项C∶和不是同类项，不能合并，错误； 选项D∶和，不是同类项，不能合并，错误． 故选：A． 4．（本题3分）某文具原价为每件m元．为迎接开学季，每件降6元，在此基础上新生还可以享受八折优惠．若一名新生购买一件该文具，则应付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，先降价6元，再打八折，应付款为降价后价格的． 【详解】解：∵原价为m元，每件降6元后价格为元，又享受八折优惠， ∴应付款为元． 故选：A． 5．（本题3分）《北史·列女传》：“吾闻闻名不如见面，小人未见礼教，何足责哉．”《水浒传》第三回：“鲁提辖连忙还礼，说道：‘闻名不如见面，见面胜似闻名！’”其中“闻名不如见面”的意思是只听名声不如见面更能了解，如图是正方体的表面展开图，则“名”字相对的字是（   ） A．不 B．如 C．见 D．面 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的侧面展开图进行求解即可． 【详解】解：由图可知：“名”字相对的字是“如”； 故选B． 6．（本题3分）若关于x的方程的解为，则k的值为（    ） A．1 B．7 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 把代入方程，求出即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 解得． 故选：B． 7．（本题3分）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，点N是线段的中点，，，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，因为点M是线段的中点，点N是线段的中点，所以，，因为，可得，，，则，又因为，可得的长，即得的长． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．（本题3分）已知与是同类项，那么m，n的值分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项定义，相同字母的指数相等，列方程求解m和n. 本题考查了同类项的定义，熟练掌握定义，根据定义列方程解答是解题的关键. 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ， 解得，， 故选：A. 9．（本题3分）如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向可以描述为（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据题意可得：，，从而利用角的和差关系可得，然后根据角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 解：∵为北偏东， ∴， ∵为南偏西， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴的方向为北偏西． 故选：B． 10．（本题3分）某小型工厂有个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮个或小齿轮个，已知个大齿轮和个小齿轮可以配成一套，设安排个工人生产大齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此倍大齿轮数等于倍小齿轮数，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为，则生产小齿轮的工人数为． 大齿轮数量为，小齿轮数量为， 又配套条件为个大齿轮与个小齿轮一套， ， 故选：B． 11．（本题3分）下列方程的解法中，正确的个数是（    ） ①方程移项，得； ②方程去括号，得； ③方程 去分母，得； ④将方程 的分母化为整数，得 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解法，包括移项、去括号、去分母和分母整数化等步骤，需逐一判断每个解法的正确性． 【详解】解：①方程，移项应得，而原说法中得，错误； ②方程，去括号得，正确； ③方程，去分母应得，即，而原说法中得，错误； ④方程，分母化为整数应得，而解法中右边为，错误； ∴正确的个数是1个， 故选：A． 12．（本题3分）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作 ． 【答案】元 【分析】本题考查了正负数表示意义相反的量，收入记为正，则支出记为负． 【详解】解：由题意，收入500元记作元，支出与收入意义相反，故支出300元记作元． 故答案为：元． 14．（本题4分）对于任意有理数a、b，定义一种新运算◇：，如．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据新运算的定义列式，再计算乘法，然后计算加减法即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 15．（本题4分）如图1是2025年元月的日历，用图2中的“工”字型图案盖住图1中的7个数，若“工”字型图案盖住的7个数的和为154，则“工”字图中最大的数为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设“工”字图中最大的数为x，根据日历的特点用含x的式子表示出其它6个数，再根据这7个数的和为154建立方程求解即可． 【详解】解：设“工”字图中最大的数为x，则其它6个数分别为， 由题意得，， 解得， ∴“工”字图中最大的数为30， 故答案为：30． 16．（本题4分）如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过 后的距离为． 【答案】0.9或1.1或或． 【分析】设经过t秒后PQ距离为0.5cm，然后分情况分别进行考虑：①当P、Q在AB上且P在Q左侧时；②当P、Q在AB上且P在Q右侧时；③当Q从A返回还未到B时；④当Q从A返回运动并超过B点时；⑤当Q超过P时． 【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm， ①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示： 由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s， ②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示： 由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s， ③Q到达A所用时间为5÷3=s， 当Q从A返回还未到B时，如图3所示： 由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意； ④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示： 此时Q从B-A-B用时为：s， 由题意得：， 解得：s； ⑤当Q超过P时，如图5所示： 由题意得：， 解得：s， 综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或， 故答案为：0.9或1.1或或． 【点睛】本题考查两点间的距离，解一元一次方程，涉及列代数式，分类讨论的思想，解题的关键是分哪几种情况讨论． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）已知四个数：，，，． (1)化简得__________，__________，__________，__________． (2)把这四个数在数轴上分别表示出来： (3)用“”把连接起来是__________． 【答案】(1)，3，1， (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． （1）根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可． （2）根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可． 【详解】（1）解：化简a，b，c，d得，，，． 故答案为：，3，1，； （2） 解：． （3）解：用“”把a，b，c，d连接起来是：． 故答案为：． 18．（本题10分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括加减运算、乘方、除法及绝对值． （1）直接计算加减混合运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法和加减运算． 【详解】（1） ； （2） 19．（本题10分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法和步骤． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1； （2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化1． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 20．（本题10分）某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，， (1)求小芳周三的学习积分是多少？ (2)小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？ (3)这一周小芳的分数累计为多少分？ 【答案】(1)小芳周三的积分为分 (2)星期天的积分最少为分，星期一的积分最多为分 (3)小芳一周的积分为分 【分析】（1）根据正负数的计算得出结论即可； （2）根据正负数的计算得出结论即可； （3）根据正负数的计算得出结论即可． 【详解】（1）解：（分）， 答：小芳周三的积分为分； （2）解：星期天的积分最少为（分）， 星期一的积分最多为（分），； （3）解：（分）， （分）， 答：小芳一周的积分为分． 【点睛】本题主要考查正负数的概念及计算，熟练掌握正负数的概念及计算是解题的关键 21．（本题10分）已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案 (1)求多项式A． (2)若值与n的取值无关，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据求得A； （2）先根据（1）中的值，求出，将含n的项合并，并使n的系数等于0，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，, ， ； （2），， ， 值与n的取值无关， ， ． 22．（本题12分）如图，已知线段与、两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算： (1)画直线、射线； (2)延长线段，在的延长线上截取，使（保留作图痕迹）； (3)若，，点为线段的中点，则线段________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查直线、射线的定义及画法，，用尺规作线段及线段中点的有关计算，需要注意的是画射线时，一个端点不可出头． （1）画直线需要画线时超出A、B点，画射线时D点为端点，不可超出D点； （2）以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于E点，可以得； （3）先求得的长度，再根据线段中点的定义即可求得． 【详解】（1）解：如图，直线、射线即为所求 （2）解：如图，线段即为所求， （3）解：∵，，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴． 故答案为：3． 23．（本题12分）2026年寒假即将来临，某商场特别关注“寒假经济”带来的效益，在青少年商品专场适时开展商品促销活动，并只能参加一种促销活动： 方式一：全场消费金额满100元，立减50元； 方式二：全场打六折． (1)洋洋发现了一套心仪的图书，标价94元，在收银台，洋洋看见有一些精美笔记本作为附属商品，标价每本8元，洋洋如果多买一本笔记本，是否比只购买图书便宜？购买两本笔记本是否比只购买图书便宜？ (2)若商品标价为元，试分别写出两种促销方式需要支付的金额，猜想如何依据图书的原价选择省钱的购买方式，并通过计算验证你的想法． 【答案】(1)多买一本笔记本比只购买一套图书便宜，多买两本笔记本比只购买一套图书贵 (2)方式一：；方式二： 当时，方式一促销活动省钱；当时，两种促销活动费用一样多；当时，方式二促销活动省钱，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用． （1）只购买图书则只能使用方式二，购买笔记本则应使用方式一，分别求出每种情况的价格，进而比较即可； （2）求出两种方式各自的费用，进而列方程解答即可． 【详解】（1）解：只购买一套图书采用方式二促销活动的费用为： （元）； 多买一本笔记本采用方式一促销活动的费用为： （元）； ， ∴多买一本笔记本比只购买一套图书便宜． 多买两本笔记本采用方式一促销活动的费用为： （元）， ， ∴多买两本笔记本比只购买一套图书贵； （2）解：若商品标价为元， 采用方式一促销活动的费用为：元， 采用方式二促销活动的费用为：元， 解方程得，， ∴当时，方式一促销活动省钱； 当时，两种促销活动费用一样多； 当时，方式二促销活动省钱． 24．（本题12分）【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 见解析 （4）能 （5） 【分析】本题主要考查了数的整除性、代数式的拆分与整式的加减，熟练掌握将数拆分为含9（或9的倍数）的部分与数字和部分的方法是解题的关键． （1）将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质补全证明； （2）根据能被整除的数的数字和特征，结合是偶数确定的值； （3）类比能被整除的证明方法，将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质证明； （4）先表示出四位数与三位数，计算出差后拆分为含的倍数的部分与数字和的部分，判断是否能被整除； （5）根据能被整除的数的数字和特征，计算五位数的数字和，结合的取值范围确定的值． 【详解】（1）证明： ， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除， 故答案为：；． （2）解：∵ 三位数能被3整除， ∴ 能被3整除， ∴ 的可能值为9、12、15， 解得、、， 又∵ 是偶数， ∴ ． （3）证明：∵ ， 又∵ 和能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． （4）解：能被3整除． 理由：四位数 ， 三位数 ， 则差为： ， ∵ 能被3整除， ∴ 四位数与三位数的差能被3整除． （5）解：∵ 五位数能被9整除， ∴ 数字和能被9整除， ∴ （是个位数）， 解得． 25．（本题12分）综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段，C为线段上的一个动点，点D、E分别是、的中点． ①若，则线段的长为_______． ②设，求线段的长． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 探究应用：（3）如图3，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置．从12点整开始，两动点M、N分别从点A和点B出发，M点按照…的路线移动，N点按照…的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点O时为1厘米/分钟，远离点O时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M、N的运动方向立刻反向．请直接写出动点M、N第一次、第二次相遇的时间． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）分钟，分钟． 【分析】本题考查了线段的和差与线段中点，角度的计算与角平分线的定义，有理数混合运算的应用，掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据线段的和差以及线段中点计算即可； ②根据线段的和差以及线段中点计算即可； （2）根据角度的和差以及角平分线的定义计算即可； （3）设运动时间为分钟，先求出M、N第一次相遇的时间，再求出当时针与分针第一次共线时，点M、N的运动时间，然后结合速度计算到达端点的时间和距离，求出点M、N第二次相遇的时间即可． 【详解】解：（1）①，， ， 点D、E分别是、的中点， ，， ； ②设，则， 点D、E分别是、的中点， ，， ； （2）射线平分，射线平分， ，， ； （3）设运动时间为分钟， 当时，点到达点处并继续向点运动，此时点在上且距点 处， 再经过分钟，M、N第一次相遇， 即点M、N第一次相遇的时间为分钟； 当时针与分针第一次共线时，点M、N的运动时间为分钟， 点M、N第一次相遇时，相遇点位于线段上，且与点距离为， 则再经过分钟，点到达点，同时点到达点后转向点运动，与点的距离为， 之后点向点运动，点继续向点运动， 再经过分钟，时针与分针第一次共线，动点M、N的运动方向立刻反向，此时点在线段上向点运动，且与点距离为，点在上向点运动，且与点的距离为， 反方向运动后，点经过分钟到达点，点经过分钟到达点， 分钟，即当点到达点时，点在线段上向点运动，且与点距离为， 再经过分钟，M、N第二次相遇， 即点M、N第二次相遇的时间为分钟． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $