精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末考试 东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的求解，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是， 故选：B． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式的计算．正确掌握同底数幂乘法法则，积乘方法则，幂乘方法则，合并同类项法则，是解题的关键．根据同底数幂乘法法则，积乘方法则，幂乘方法则，合并同类项法则，计算逐一判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限；根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由图可知点位于第四象限， 在第一象限， 在第三象限， 在第二象限， 在第四象限， 故选：D． 4. 若，则代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AB=BD， ∴∠BAD=∠BDA， ∵CD=AD， ∴∠C=∠CAD， ∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36° 故选B． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 8. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，连接，利用旋转的性质结合正方形的性质，证明，推出，，由旋转的性质易证是等腰直角三角形，求出，再求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形中， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 10. 一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 11. 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴，设，则， 在中，， ∴ ，解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得是的中点，又由是的中点，可得是的中位线，由此可得，即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵中， ，， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ， ，， ， ． 故答案为： 13. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及平方根、立方根、零指数幂、乘方和绝对值的计算．解题时需先简化各根式和绝对值，再按运算顺序计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算法则的应用，熟记单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则的内容是解此题的关键． （1）先展开乘法，然后合并同类项； （2）先计算乘方，再除法运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）96 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，推出平行四边形是矩形，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出、，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为：． 19. 如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求中转站O离C地距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作的垂直平分线与交于点O，即； （2）设，则，在中，，在中，，可得，即可求解. 【小问1详解】 解：如图；作的垂直平分线与交于点O，即； 【小问2详解】 解：由题可知：， ， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴中转站O离C地的距离为. 20. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． （1）已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． （2）在图②中以为底边画一个等腰三角形； （3）在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，，，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （3）如图所示，取格点E、F，连接 ，则四边形是正方形，即轴对称图形，也是中心对称图形． 【小问1详解】 解：如图；即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 此时四边形是正方形. 21. 在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：______； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【小问1详解】 解：， 故答案：； 【小问2详解】 解： ， 故答案为：9； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 22. 【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 23. 在菱形中，，E是对角线上一点．F是线段延长线上一点，且，连接． 【发现问题】如图①，若E是线段的中点，连接，其他条件不变，则线段和的数量关系是_______． 【探究问题】如图②，若E是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段和的数量关系是什么？请证明你的猜想； 小明发现，线段和的数量关系没有改变，可以过点E作交于点G，先证明是等边三角形，再证明，进而得证． 下面是小明的证明过程： 证明：过点E作交于点G，如图②所示： ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【解决问题】如图③，若E是线段延长线上任意一点，其他条件不变，且，，直接写出的长度． 【答案】发现问题：；探究问题：见解析；解决问题： 【解析】 【分析】发现问题：由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论； 探究问题：过点E作交于点G，先证明是等边三角形，得出，再证明是等边三角形，得出，推出，然后证明，即可得出结论； 解决问题：过点A作于点M，根据三角形外角的性质求得，然后根据含直角三角形的性质求的长，继而利用勾股定理求解， 【详解】发现问题： 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 探究问题： 证明：过点E作交于点G，如图②所示： ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴．  解决问题： 解：如图③，过点A作于点， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键． 24. 如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． （1）的长为______，的长为______； （2）连接，若将的面积分为两部分，求t的值； （3）若为等腰三角形，求t的值； （4）在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可求的长；再根据勾股定理即可求出的长，即可得到的长； （2）由题意得，求出，根据将的面积分为两部分，可得或，即或，求出或，即可解答； （3）过点作，连接，分三种情况讨论即可； （4）分，共线三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∵将的面积分为两部分，即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴t的值为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作，连接， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，， ∴（平行线间距离处处相等）， ∵， ∴， 由（1）知，由（2）知， ∴， ∵为等腰三角形， ∴分三种情况， 当时，则，解得； 当时， ∵，， ∴，即，则，解得； 当时，则， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，当为等腰三角形，t的值为或或； 【小问4详解】 解：∵点在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， 如图，当共线时，则， 同理（3）得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得； 如图，当时，设交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由对称的性质得，， ∴，， 在中，，即， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（此时，点P，点D，点M重合，舍去）， 综上，当直线与的一边平行或共线时，t的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（ ） A B. C. D. 4. 若，则代数式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 40° D. 45° 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 8. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 7 C. D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 10. 一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 11. 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为_____． 12. 如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连接，若，，则_______． 13. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____． 14. 如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 19. 如图，表示一条铁路，A、B是两个城市，它们各自到铁路所在的直线的垂直距离分别为60千米和40千米，铁路上C、D两地相距80千米．现要在铁路上C、D两地之间建一个中转站O，使它到A、B两个城市的距离相等． （1）请用圆规和无刻度的直尺在图中作出点O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求中转站O离C地的距离． 20. 图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上． （1）已知线段，以格点为顶点作一个，使，，． （2）在图②中以为底边画一个等腰三角形； （3）在图③中以为边画一个四边形，使四边形是轴对称图形，也是中心对称图形． 21. 在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：______； （2）计算：______； （3）若，求的值． 22. 【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 23. 在菱形中，，E是对角线上一点．F是线段延长线上一点，且，连接． 【发现问题】如图①，若E是线段的中点，连接，其他条件不变，则线段和的数量关系是_______． 【探究问题】如图②，若E是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段和的数量关系是什么？请证明你的猜想； 小明发现，线段和数量关系没有改变，可以过点E作交于点G，先证明是等边三角形，再证明，进而得证． 下面是小明的证明过程： 证明：过点E作交于点G，如图②所示： ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，． 又∵， ∴，． 又∵， ∴． ∴等边三角形． ∴． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【解决问题】如图③，若E是线段延长线上任意一点，其他条件不变，且，，直接写出的长度． 24. 如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． （1）长为______，的长为______； （2）连接，若将的面积分为两部分，求t的值； （3）若为等腰三角形，求t的值； （4）在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $