精品解析：河北省唐山市迁安市第二中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 一、单选题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】，或， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用集合交运算求交集，属于简单题. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案. 【详解】由题，得，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，考查学生的运算求解能力，属于基础题目. 3. 函数f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 单调性与a、b有关 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导后，利用导数的正负进行判断函数的单调性即可 【详解】因为 f′(x)＝a2＋1>0，所以f(x)在R上单调递增． 故选：A 4. 已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆心必然在直线l上，得到 的关系式，再考虑求最大值. 【详解】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l上， 将圆的一般方程转变为标准方程： ， 圆心为 ，将圆心坐标代入直线l的方程得 ， ， ， 函数是开口向下，以 为对称轴的抛物线， 所以 ， 故选：A. 5. 如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的线性运算结合空间向量数量积的定义，得到，从而得到答案． 【详解】解：设， 则， ， 则 所以， 则与所成角为， 所以与所成角的余弦值为0． 故选：D． 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 7. 已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】若，则或，不能推出是直角三角形； 若，则，所以是直角三角形不能推出; 所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 8. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ） A. 底面半径为1 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知有圆锥的母线长为2，底面周长为，进而求得底面半径，再结合圆锥的结构特征、表面积、体积的求法依次判断各项的正误. 【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面周长为， 若底面半径为，则，A对， 表面积为，B错， 由上，圆锥的高，则圆锥体积为，C对， 由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球和内切球半径， 所以圆锥的外接球半径为，内切球半径为， 所以外接球与内切球半径比值为2，D错. 故选：AC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方差的定义可判断A；根据样本点在回归直线上求得的值可判断B；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断C；根据二项分布方差的公式以及方差的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：设的平均数为，方差为， 则，， 所以，，，的平均数为， 所以方差为 ，故选项A不正确； 对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得， 故选项B正确； 对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又， 而，所以， 则，故选项C正确； 对于D：因为服从二项分布，所以， 所以，则，故选项D正确. 故选：BCD 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的极值点，并根据极值点和零点的定义，即可判断AB，根据的特征，判断，即可求等差数列，判断C，根据导数的几何意义，求切点个数，即可判断D. 【详解】A.，得或， ，的变化情况如表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数有2个极值，故A错误； B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即， 即函数 其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确； C.当时，满足， 则， ， 同理，满足，故C正确； D.设过点作曲线的切线的切点为，则，， 则，即， 即，得，或， 有两个切点，所以过点可作曲线的两条切线，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，含项的系数为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为， 故答案为：5. 13. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可求得正数的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 直线的方程可化为，所以，. 故答案为：. 14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可. 【详解】由正弦定理，即，又，故，即. 由二倍角公式有，因为，故，所以，所以，即. 由余弦定理，结合基本不等式有，即，，故，当且仅当时取等号. 故△ABC周长的最大值为的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值； （2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，则. 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 由余弦定理得， 所以， 解得，或（舍去）， 所以，即的周长为. 16. 如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，． （Ⅰ）求直线到平面的距离； （Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） 由题意：连接交于点， ∵为矩形∴为中点 连接， 在△中，为中点，D是棱的中点 ∴ ∵， ∴平面 （2）（Ⅰ） （Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得， 以点为原点，，，方向为轴，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， , ，， ∴， 设，为面的一个法向量 ∴ ∴即，解得： 当时， ∴面的其中一个法向量 若直线与平面所成角为 ∴ 整理得 解得： ∴ 【解析】 【分析】（1）通过证明平行于平面内的一条直线，即可证明平面 （2）（Ⅰ）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，根据等体积法，得到点到平面的距离，也就得到直线到平面的距离. （Ⅱ）由几何关系，建立空间直角坐标系，设，根据线面垂直求出面的法向量，通过直线与平面所成的角的余弦值，即可求出的值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）由题意及（1）得 平面 ∴直线到平面的距离与点到平面的距离相等 连接，设点到平面的距离为 ∵， ∴由几何知识得，， 在△中， ∴△是直角三角形 ∴ 取中点，连接， 由几何知识得，，易得 ∵ ∴ ∴ ∴直线到平面的距离为 （Ⅱ）略 17. 近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若1件手工艺品3位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的2位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关的2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中1件手工艺品被1位专家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求1件手工艺品质量为B级的概率； （2）若1件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元、600元、300元，质量为D级不能外销，利润为100元. ①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件. ②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与均值. 【答案】（1） （2）①2件； ② X 900 600 300 100 P . 【解析】 【分析】（1）结合相互独立事件、独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率. （2）①设10件手工艺品中不能外销的手工艺品是件，结合二项分布的知识求得的最大值，从而得出结论. ②结合相互独立事件、独立重复试验概率计算公式，计算出分布列，并求得数学期望. 【小问1详解】 由题意知，1件手工艺品质量为B级的概率为. 【小问2详解】 ①由题意可知，1件手工艺品质量为D级的概率为， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品是件，则， 则，其中. . 由得，所以当时，， 即，由得， 所以当时，， 所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件. ②由题意可知，1件手工艺品质量为A级的概率为， 1件手工艺品质量为B级的概率为， 1件手工艺品质量为C级的概率为， 1件手工艺品质量为D级的概率为， 所以X的分布列为 X 900 600 300 100 P 则. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 设正整数数列满足． （1）若，请写出所有可能的取值； （2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数； （3）若为周期数列，求所有可能的取值. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出、即可求出，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先证明如果存在为3的倍数，根据递推公式得到都是3的倍数，再证都是3的倍数，即可得证； （3）依题意数列一定有最小值，设为，再或，即可得到当数列中出现或时数列为周期数列，即可得解； 【小问1详解】 解：因为正整数数列满足， 当时，，所以，，所以，则或，即或， 当时，或，所以或； 当时，，所以； 所以的可能取值为、、； 【小问2详解】 证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数； 如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数， 以此类推，都是3的倍数； 另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数； 综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数； 【小问3详解】 证明： 首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或； 当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾； 所以是奇数；不妨设，则是偶数，， 假设，则，与是最小值矛盾； 综上，只能是小于的正奇数，即或； 当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环； 当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环； 所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数； 经检验，当时，数列确实是周期数列； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，答题卡交回． 一、单选题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 函数f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 单调性与a、b有关 4. 已知直线是圆的一条对称轴，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图所示，平行六面体中，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（ ） A. 底面半径为1 B. 表面积为 C. 体积为 D. 外接球与内切球半径比值为3 10. 下列说法正确的有（ ） A. 已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3 B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，含项的系数为___________． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则__________． 14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC周长的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）点在边上，平分，若，求的周长. 16. 如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若，． （Ⅰ）求直线到平面的距离； （Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由． 17. 近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若1件手工艺品3位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关的2位专家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关的2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中1件手工艺品被1位专家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求1件手工艺品质量为B级的概率； （2）若1件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元、600元、300元，质量为D级不能外销，利润为100元. ①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件. ②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与均值. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 设正整数数列满足． （1）若，请写出所有可能的取值； （2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数； （3）若为周期数列，求所有可能的取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $