3.2 圆的对称性 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦圆的对称性，涵盖轴对称、中心对称、圆心角及等对等定理。通过折叠实验探究轴对称，旋转思考中心对称，结合动手操作构建从直观到抽象的学习支架，衔接圆的性质与圆心角关系。 亮点在于以“做一做”等活动培养数学眼光（几何直观），通过定理推导发展数学思维（推理能力），用符号语言规范表达。例题变式丰富，如直径相关证明题，助力学生掌握知识，教师可高效开展探究式教学。

第三章 圆 北师大版 九年级下册 3.2 圆的对称性 新课导入 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你是用什么办法解决上述问题的？与同伴进行交流. O O 利用折叠的方法，我们可以得到： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线. 探究新知 想一想 一个圆绕着它的圆心任意旋转一个角度，还能与原来的图形重合吗？ · 重合 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合.特别地， 圆是中心对称图形，对称中心为圆心. A B C D 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的概念 ∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 在等圆 ⊙O 和⊙O′ 中，分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′ 重合. 做一做 A B O O′ O（O′） A′ B′ A′ B′ A B 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由. 小红认为 A B A′ B′ O（O′） 她是这样想的： ∵ 半径 OA 与 O′A′ 重合，∠AOB = ∠A′O′B′， ∴ 半径 OB 与 O′B′ 重合. ∵ 点 A 与点 A′ 重合，点 B 与 点B′ 重合， A B A′ B′ O（O′） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ∵∠AOB=∠A′OB′ A B A′ B′ O（O′） 想一想 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （1）∵ AB=A′B′， ∴ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （2）∵ ， ∴ AB= A′B′ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. A B A′ B′ O（O′） 如图，在⊙O中， （3）∵ ， ∴ AB=A′B′ 例 如图，AB、DE 是 ⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且 . BE 与 CE 的大小有什么关系？为什么？ B O C D A E 解：BE = CE．理由是： ∵ ∠AOD =∠BOE， ∴ BE = CE． 议一议 在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流. 课堂小结 等对等定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 1. 下列语句中，不正确的是（　C　） A. 圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 当圆绕它的圆心旋转89°57' 时，不会与原来的圆重合 D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 C 课堂练习 2. 如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半 径是2，则图中阴影部分的面积是 ⁠. 2π　 3. 如图，在☉O中， ＝ ，∠A＝30°，则∠B的度数为 （　B　） A. 80° B. 75° C. 60° D. 65° B 4. （2025·大连中山区期中）如图，已知AB是☉O的直径，D 是 的中点.若∠AOC＝70°，则∠BOD的度数为 ⁠. 55°　 A. 60° B. 30° C. 40° D. 50° 变式1图 [变式1] （2025·大连期末）如图，在☉O中， ＝ ， ∠AOB＝50°，则∠COD的度数为（　D　） D 变式2图 [变式2] （2024·大连期中）如图，AB是☉O的直径， ＝ ，∠COB＝40°，则∠A的度数是 ⁠°. 55　 变式3图 [变式3] 如图，在☉O中，若C是 的中点，∠A＝50°，则 ∠BOC的度数是 ⁠. 40°　 变式4图 [变式4] 如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，AC＝ AD，∠AOD＝70°，则∠BCO的度数是 ⁠. 35°　 5. 如图，点A，B，C，D均在☉O上，且∠AOB＝∠COD， 连接AB，CD，AC，BD. 有下列结论：①AB＝CD； ②∠AOC＝∠BOD；③ ＝ ；④△AOC≌△BOD. 其中正确的结论是 .（填序号） ①②③④　 6. （教材P71例题变式）如图，AB，DE是☉O的直径，C是 ☉O上的一点，且BE＝CE，则 与 的大小有什么关系？ 为什么？ 解： ＝ .理由如下： ∵AB，DE是☉O的直径， ∴∠AOD＝∠BOE，∴ ＝ . ∵BE＝CE，∴ ＝ ，∴ ＝ . 7. 如图，在☉O中，CD为☉O的直径， ＝ ，E为OD上 任意一点（不与点O，D重合）.求证：AE＝BE. 证明：∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠AOE＝∠BOE. ∵OA，OB是☉O的半径，∴OA＝OB. 在△AOE和△BOE中， ∴△AOE≌△BOE（SAS），∴AE＝BE. 8. 如图，在☉O中， ＝2 ，则AB与2CD之间的大小关系 是（　B　） A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 B 9. 如图，已知C，D是半圆O上的三等分点，连接AC，BC， CD，OC，OD，BC和OD相交于点E. 有下列结论：① ∠CBA＝30°；②OD⊥BC；③OE＝ AC；④四边形AODC 是菱形.其中正确的结论是 .（填序号） ①②③④　 10. 若☉O的半径为3 cm，一条弦把圆周分为1∶3两部分，则 这条弦所对的圆心角的度数为 ，这条弦的长度 为 cm. 90°　 3 　 11. （教材P73习题T3变式）如图，在▱ABCD中，以点A为圆 心，AB的长为半径作圆，交AD于点F，交BC于点G，BA的 延长线交☉A于点E. 求证： ＝ . 证明：如图，连接AG. 在▱ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠GAF＝∠AGB， ∠B＝∠EAF. 在☉A中，∵AB＝AG， ∴∠AGB＝∠B，∴∠EAF＝∠GAF， ∴ ＝ . 12. 如图，已知AB是☉O的直径，M，N分别是AO，BO的中 点，CM⊥AB，DN⊥AB. 求证： ＝ . 证明：如图，连接OC，OD. ∵AB是☉O的直径，M，N分别是AO，BO的 中点，∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM＝ ∠DON，∴ ＝ . 13. 如图，MN是☉O的直径，A是半圆上的靠近点N的三等分 点，B是 的中点，P是直径MN上一动点.若MN＝2 ， 则PA＋PB的最小值为 ⁠. 2　 $