精品解析：宁夏回族自治区固原市多校联考2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

2025-2026学年(上)期末测试题 八年级数学 一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项只有一项符合题目要求) 1. 中华民族创造了灿烂的文化，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中、是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：边上的高有两个条件：①经过点，②垂直． 只有A符合要求． 故选：A． 3. 如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使、、在一条直线上（如图），可以证明，得，∴测得的长就是的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握正确的方法判断两个三角形全等是解决本题的关键． 根据题意得，再利用证明即可． 【详解】解：由题意得， ∴在和中， ， ∴， 故选B． 4. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍。根据题意列方程为，其中表示（ ） A. 规定的时间 B. 慢马的速度 C. 快马的速度 D. 快马需要的时间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由快、慢马的速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需的时间与规定时间之间的关系，可得出表示x规定的时间． 【详解】解：根据题意列方程为， ∴， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度， ∵需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所的时间比规定时间少3天， ∴x表示规定的时间， 故选：A． 5. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 6. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8． 【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°， ∵∠BED+∠DEA=180°， ∴∠BED=90°． 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE． ∴BC=3ED=24． ∴DE=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键． 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过观察方程，分母有 和 ，其中，则把方程两边乘以去分母即可得到答案． 【详解】解： 把方程两边同时乘以得， 故选：B． 8. 我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共计分) 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 若是完全平方式，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的特征计算即可． 【详解】解：∵是完全平方式，， ∴． 故答案为：． 11. 若，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先相乘，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后得出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，能正确根据同底数幂的乘法进行计算是解此题的关键． 12. 已知，，则____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 【详解】解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 14. 如图，在中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若的面积等于8，则的面积等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形的中线与面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABD=S△ABC=4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDE=S△ABD=×4=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 15. 已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点 P 的坐标是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的意义和对称的特点，熟练掌握横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离是解决问题的关键． 根据点P关于y轴对称点在第四象限，可知点P在第三象限，再结合第三象限点的坐标的特征和点到坐标轴的距离定义，即可求解． 【详解】解：设点， ∵点P关于y轴对称的点在第四象限， ∴点P在第三象限， ∴， ∵点P到x轴距离为2，到y轴距离为3， ∴，， ∴，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 16. 如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为_____． 【答案】(6a＋15)(cm2) 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算. 【详解】矩形的面积为： 故答案为. 【点睛】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式. 三、解答题(本题共10小题， 其中17~22题每小题6分， 23~24题每小题8分， 25~26题每小题10分， 共72分) 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，有理数的乘方、积的乘方运算、零指数幂的性质以及绝对值的化简，熟练掌握各运算的法则和性质是解题的关键． 先分别计算乘方、积的乘方、零指数幂、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据分式的性质，分式的混合运算先化简，再代入计算即可． 【详解】解： = = = =， 当时，原式=． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 小问2详解】 解：． 20. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， ， 的周长为． 21. 如图，，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 由可得，，由可得，，使用两边一夹角的判定定理证明全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 22. 如图，小明周末和爸爸妈妈一起去六盘山国家森林游玩，爸爸妈妈用手指着远处的几个有特色的景点，对小明说：“景点在景点的南偏西方向，景点在景点的南偏东方向，且．你能不能求出的度数？”请你帮小明进行解答． 【答案】能求出的度数， 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的识别，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握方向角与平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 先根据方向角求出的度数，再利用三角形内角和求出的度数，结合方向角对应的角度计算的度数． 【详解】解：由题意得， ∵在中，， ∴ ， ∵为正北方向，为正南方向， ∴， ∴ ∴能求出的度数， 23. 固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源的旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 【答案】出租车的速度为． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设大巴车速度为 ，则出租车速度为，根据两者的时间差构建方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设旅游大巴车速度为，则出租车速度为， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴出租车速度为． 答：出租车的速度为． 24. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 ． 25. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算； （1）根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可； （2）设三位数，则去括号合并化简即可说明小红的猜想是正确的． 【小问1详解】 解：猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． ； 【小问2详解】 设三位数，则： ， 能被整除， 能被整除， 小红的猜想是正确的． 26. 如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①试说明． ②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由． （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值． 【答案】（1）①见解析；②， （2），或，． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，求出，利用证明和全等，可得，然后求出即可； （2）分和两种情况，分别根据全等三角形的性质得出方程解答即可． 【小问1详解】 ，，． 理由：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①若， 则，， 由可得：， ∴， 由可得：， ∴； ②若， 则，， 由可得：， ∴， 由可得：， ∴， 综上所述，当与全等时，x和t的值分别为：，或，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明和全等解答，解决此题注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年(上)期末测试题 八年级数学 一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项只有一项符合题目要求) 1. 中华民族创造了灿烂的文化，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中、是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，过顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使、、在一条直线上（如图），可以证明，得，∴测得的长就是的长，判定的理由是（ ） A B. C. D. 4. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天。已知快马的速度是慢马的2倍。根据题意列方程为，其中表示（ ） A. 规定的时间 B. 慢马的速度 C. 快马的速度 D. 快马需要的时间 5. 如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共计分) 9. 分解因式：__________． 10. 若是完全平方式，则值为_______． 11. 若，，，则______． 12. 已知，，则____________． 13. 一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为______． 14. 如图，在中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若的面积等于8，则的面积等于______． 15. 已知点P到x轴，y轴的距离分别是2和3，且点P关于y轴对称的点在第四象限，则点 P 的坐标是_____________ 16. 如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为_____． 三、解答题(本题共10小题， 其中17~22题每小题6分， 23~24题每小题8分， 25~26题每小题10分， 共72分) 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，． （1）请画出关于y轴对称的； （2）求的面积． 20. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 21. 如图，，，， 求证：． 22. 如图，小明周末和爸爸妈妈一起去六盘山国家森林游玩，爸爸妈妈用手指着远处的几个有特色的景点，对小明说：“景点在景点的南偏西方向，景点在景点的南偏东方向，且．你能不能求出的度数？”请你帮小明进行解答． 23. 固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 24. 有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… （1）求整式A； （2）写出原习题正确的解答过程． 25. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 26. 如图（1），，，，垂足分别为A，B，．点P在线段上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时， ①试说明． ②此时，线段和线段有怎样的关系，请说明理由． （2）如图（2），若“，”改为“”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有和全等，求出此时的x，t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $