精品解析：吉林省长春净月高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

净月高新区2025-2026学年度上学期期末质量调研 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3. 如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 4. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作线段垂直平分线，三角形等边对等角，相似三角形的判定，熟悉尺规作图及垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意可知垂直平分，结合直角三角形的性质、相似三角形的判定定理来逐一分析选项即可． 【详解】根据尺规作图可知垂直平分， ， ， ，即， 又， ， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B正确，不符合题意； 与不一定相等，则不一定能得到，故C不正确，符合题意； 垂直平分， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 6. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）． A. 朝上的点数是的概率 B. 朝上的点数是奇数的概率 C. 朝上的点数大于的概率 D. 朝上的点数是的倍数的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在左右，因此可以判断各选项． 【详解】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在左右． A选项：朝上的点数是的概率为，故选项A不符合题意； B选项：朝上的点数是奇数（含）的概率为，故选项B不符合题意； C选项：朝上的点数大于（含）的概率为，故选项C不符合题意； D选项：朝上的点数是的倍数（含）的概率为，即朝上的点数是的倍数的概率与之最接近，故选项D符合题意． 故选：D． 7. 矩形在平面直角坐标系中位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作轴交轴于点，通过角度关系证明，由对应边成比例，计算得出、的长度，最终得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴并交轴于点，如下图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故点的坐标为， 故选：C． 8. 已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 11. 如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．先通过平行线分线段成比例定理求出、的值，再证明四边形为平行四边形，最后求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ，即． ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴四边形为， ∴，． ∴． 故答案为：． 12. 抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由和时的值都是，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线，由时可知抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴即可求出另一个交点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 根据对称性，另一个交点的横坐标为，纵坐标为0， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 13. 将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①设，根据所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理求出的值，通过绕直角顶点旋转至，得出，得到，，证明，最后运用相似性质即可求解； ②由①的得，通过换角证明，即可求解； ③延长交与点，作交于点，作交于点，证明，得出，最后进行算出面积比较即可； ④通过，先求出和，再设，求出和的值，最后求出四边形的最大值即可． 【详解】解：①∵，，设， ∴， ∴． ∵绕直角顶点旋转至 ∴， ∴，，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故①符合题意； ②∵由①得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故②符合题意； ③延长交与点，作交于点，作交于点． ∵由①可得， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵由①可得，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴． 故③不符合题意； ④∵由①得，， 又∵， ∴，． ∴． ∵由③得， 又∵设， ∴． ∴， ∴当时，四边形的面积有最大值，． 故④不符合题意． 综上符合题意得有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积等，掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，． 17. 随着“雪假”的来临，吉林省各大滑雪场面向中小学生出台了“3小时免费滑雪”优惠政策．甲、乙两位同学都想在12月5日去体验滑雪，他们分别在净月潭滑雪场（A）、长春莲花山滑雪场（B）、长春天定山滑雪场（C）中任选一个去体验，假设他们选择任意滑雪场的可能性均等且互不影响．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率． 【答案】甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图或列表表示出所有等可能的结果数，以及甲、乙两位同学去同一个滑雪场的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】画树状图如下： 列表如下： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择同一滑雪场的结果有3种， P（甲乙同去一个滑雪场） 答：甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率为． 18. 随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 【答案】该配送站的月平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该配送站的月平均增长率为，利用该配送站月订单量该配送站月订单量（该配送站的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该配送站的月平均增长率为． 根据题意，得， ， ， ， 解得：（舍），， 经检验，是方程的解，符合题意． 答：该配送站的月平均增长率为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的作图，掌握相似三角形的性质是作图的关键． （1）先连接，与的交点为的中点，连接，证明，从而得出； （2）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作； （3）先延长点在方格中横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作． 【小问1详解】 解：点E为所求作； 【小问2详解】 解：如图，与的交点为所求作； 【小问3详解】 解：如图，与的交点为所求作． 20. 如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． （1）求证：； （2）的值为 ． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【小问1详解】 解：证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 21. 数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出 ；此次试验中实心球达到的最大高度是 ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点． （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩： ．（填“”“”或“”） 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到对称轴，然后根据对称性求得，找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值； （2）已知顶点坐标，利用待定系数法代入顶点式即可求出函数解析式； （3）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，得出和，再比较即可． 【详解】解：（1）∵根据表格可知，当与时相等，所以对称轴为直线， ∴故当时，其对称点为，， ∴顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是； （2）∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴为第二次试验抛物线的顶点为， ∴设第二次试验的抛物线的解析式为， ∵把代入，得， ∴； （3）设第一次抛物线为， ∵把代入，得， 解得， ∴， ∵在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴； 在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 22. 【问题初探】如图，在中，若是的角平分线，则线段有什么数量关系？小智发现，过点作，交的延长线于点，由平分，可得出是等腰三角形，再通过证明，根据相似三角形的性质即可得到．下面是小智的部分证明过程： 证明：过点作，交的延长线于点． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 补全证明过程 ∴． （1）补全上面的证明过程； 【方法应用】 （2）如图，在中，，，是边上一点，，则的值为 ； （3）如图，在中，，是边上一点，，，则的值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【详解】解：（1）补全证明过程： ∵，， ∴， ∴； （2）如图，过作交延长线于点， 则，， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：． （3）如图，设的边上的高为，作边上的高，作边上的高， 则， ， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形面积计算公式、相似三角形的判定与性质和锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为 ； （2）当时，求点到的距离； （3）当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； （4）当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴． 【小问2详解】 过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问4详解】 ∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 综上为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）连接，当时，求证：； （3）设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （4）连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）或； （4）或4． 【解析】 【分析】（1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； 【小问4详解】 解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 净月高新区2025-2026学年度上学期期末质量调研 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 3. 如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 4. 图①是八年级下物理教材中一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）． A. 朝上的点数是的概率 B. 朝上的点数是奇数的概率 C. 朝上的点数大于的概率 D. 朝上的点数是的倍数的概率 7. 矩形在平面直角坐标系中位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是______ 10. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 11. 如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为__________． 12. 抛物线（a、b、c是常数，a≠0）上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 … 则该二次函数图象与x轴除外的交点坐标是__________． 13. 将两个直角三角形按如图所示方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 14. 如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 随着“雪假”的来临，吉林省各大滑雪场面向中小学生出台了“3小时免费滑雪”优惠政策．甲、乙两位同学都想在12月5日去体验滑雪，他们分别在净月潭滑雪场（A）、长春莲花山滑雪场（B）、长春天定山滑雪场（C）中任选一个去体验，假设他们选择任意滑雪场的可能性均等且互不影响．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学去同一个滑雪场的概率． 18. 随着无人配送技术的持续迭代升级，该服务已在部分地区落地推行．年月，某无人配送站订单量为万单，通过技术优化与路线调整，月订单量增长至万单，若月平均增长率保持不变，求该配送站的月平均增长率． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 20. 如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． （1）求证：； （2）值为 ． 21. 数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出 ；此次试验中实心球达到的最大高度是 ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点． （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩： ．（填“”“”或“”） 22. 【问题初探】如图，在中，若是的角平分线，则线段有什么数量关系？小智发现，过点作，交的延长线于点，由平分，可得出是等腰三角形，再通过证明，根据相似三角形的性质即可得到．下面是小智的部分证明过程： 证明：过点作，交的延长线于点． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 补全证明过程 ∴． （1）补全上面的证明过程； 【方法应用】 （2）如图，在中，，，是边上一点，，则的值为 ； （3）如图，在中，，是边上一点，，，则的值为 ． 23. 如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为 ； （2）当时，求点到的距离； （3）当点在边上运动，被的边平分时，的面积是 ； （4）当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）连接，当时，求证：； （3）设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （4）连接，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $