2.2.3一元二次不等式的解法 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的解法，通过“刹车距离”情境导入，结合知识回顾中的绝对值不等式、距离公式等内容搭建学习支架，帮助学生从已有知识自然过渡到新知。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过因式分解、配方法等探究过程发展数学思维，含参不等式分类讨论等实例强化数学语言表达。采用情境导入与探究式教学，助力学生提升解题能力，也为教师提供系统教学资源。

第二章 等式与不等式 2.2.3一元二次不等式的解法 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识回顾 1.绝对值不等式 ●当时，关于的不等式的解为或， 因此解集为 ● 的解为，因此解集为 2.绝对值的几何意义 3.数轴上两点之间的距离公式 4.中点坐标 2 知识点 1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的基本解法 3.分式不等式的解法 4.含参不等式的解法 5.恒成立问题 3 情境与问题 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间的关系分别为，. 试判断甲、乙两车有无超速现象. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式 和 即和 一般地，形如的不等式称为一元二次不等式，其中,b,c是常 数，而且.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等 4 探究新知 如何求一个一元二次不等式的解集呢？ 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式 . ① 注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说 因此，不等式①可以转化为两个不等式组 解得或，因此，不等式①的解集为. 5 探究新知 用类似的方法可以求得不等式 ②的解，但此时的依据是： 当且仅当 因为不等式②可以转化为两个不等式组 不难解得或，因此，不等式的解集为. 一般地，如果，则不等式的解集是，不等式的解集是. 观察得：二次项系数a>0且有根时，不等式的解集与绝对值不等式的解集一样，一元二次不等式小于0的解集是两个根的区间，大于0的区间是两个区间的并集. 6 探究新知 解 因为， 所以原不等式等价于， 因此所求解集为. 回到情境与问题中的不等式，可以化为 ， 因此甲车的车速；而可以化为___________________, 因此乙车的车速_______.由此可见，乙车肯定超速了. 上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？ 例1 求不等式的解集. 7 探究新知 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中 (1)的解集为______，(2)的解集为______. 对于来说，两边同时开根号可得，即 ， 因此，从而得到(3)的解集为. 尝试与发现：通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法： (1)；(2)；(3). 这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集 解集得形式与绝对值不等式解集范围类似 8 探究新知 解 因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知 或， 因此或， 所以原不等式的解集为. 例2 求下列不等式的解集： (1)； 9 解 因为， 所以原不等式可化为，即， 两边开平方得，从而可知 ， 因此， 所以原不等式的解集为. 探究新知 例2 求下列不等式的解集： (2)； 10 探究新知 解 原不等式可化为， 又因为，所以上述不等式可化为. 注意到只要，上述不等式就成立， 所以原不等式的解集为. 例2 求下列不等式的解集： (3)； 11 探究新知 解 原不等式可化为. 因为，所以上述不等式可化为， 不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为. 例2 求下列不等式的解集： (4). 由上可知，一元二次不等式()通过配方总是可以变为 或的形式，然后根据的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 12 探究新知 解 据题意知，因此， 原不等式两边同时乘以可得 且， 即且， 因此所求不等式的解集为. 例3说明，有些不等式通过等价变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解. 例3 求不等式的解集. 注意：不等式两边不能同时乘以x-2而不等式得符号不变，因为不确定x-2的正负. 13 巩固练习 1 【解析】原不等式可化为 ， 即或 解得或 , 故原不等式的解集为或 ． 2. . 【解析】原不等式可化为 ， 即,解得,故原不等式的解集为 . . 求下列不等式的解集: 14 巩固练习 【解析】原不等式可化为,两边同时开平方可得 ,所以 ,所以 . 所以不等式的解集为 【解析】令=t（t≥0),则原不等式为t2-2t-3<0, 即（t+1)(t-3)<0,解的-1<t<3,又因为t≥0,所以，t的解为0t<3,所以x的解为0x<9 故不等式的解集为 15 巩固练习 求下列不等式的解集: 【解析】原不等式等价于（x-1）(x+2)>0 解得 x<-2或者x>1 所以，原不等式得解集为{x|x<-2或x>1} 【解析】移项得解集 解得--} 总结： 16 巩固练习 求下列不等式的解集: 【解析】移项得解集 解得--} 17 巩固练习 1. 求关于的不等式 的解集. 【解析】原不等式可化为 . 当，即时，原不等式的解集为 ; 当，即时，原不等式的解集为或 ; 当，即时，原不等式的解集为或 . 18 提升练习 2. 求不等式a 的解集. 【解析】(1)当a=0时，不等式变为-2x+4>0,解集为x∈（-∞，2） （2）当a≠0时，因式分解得到（x-2)(ax-2)>0, 有两个根x1=2,x2= ①a<0时x∈（，2） ②当a>0时 ●2 < , 即0<a<1时，不等式的解集为x∈（-∞，2）∪（ ，+∞） ●2 = ，即a=1时，不等式的解集为x∈（-∞，2）∪（2，+∞） ●2 > ,即a>1时，不等式的解集为x∈（-∞，）∪（2，+∞） 综上所述，a的解集为 当a=0时，x∈（-∞，2） 当a<0时，x∈（，2） ...... 19 提升练习 3.解关于的不等式 【解析】（1）若时，则原不等式可化为，即. （2）若，原不等式可化为. ①若，原不等式可化为 ∵，∴或 ②若，原不等式可化为 若，即则 若，即则 若，即则 综上所述：...... 20 提升练习 4.不等式的解集为，则 . 【解析】因为解集为，∴ 由韦达定理可得， 解得 ∴ 5. 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得或 （舍去）, ,或 ． 故原不等式的解集为或 . 21 提升练习 7.不等式 的解集为________________________． 或 【解析】 原不等式可化为 或 即或 解得或 . 故原不等式的解集为或 . 22 提升练习 8.当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. 【解析】 当时,不等式 恒成立， 只需求出函数 的最小值，令最小值大于0即可. 二次函数的图象的对称轴为 . 当，即时，函数在处取得最小值,则, , . 当，即时，函数在处取得最小值 , ，解得, . 综上，实数的取值范围为 . 23 $