精品解析：黑龙江省哈尔滨市松北区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

松北区2025—2026学年度上学期八年级期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷为数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 2，5，8 C. 3，5，9 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边”是解题的关键． 【详解】根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． A．，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； B． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； C． ，不能摆成三角形，故该选项不符合题意； D． ，能摆成三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可. 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故答案为：C. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算的法则求解即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的乘法运算中同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则． 4. 等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 ； 故选：B． 5. 如图所示，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，判定三角形全等是解题的关键；由题意可得，则有，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴； ∴； 故选：B． 6. 如图，在与中，、相交于点O，下列四组条件中，不能证明的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、在和中， ， ∴，该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴根据，可得已有条件属于，不满足全等判定定理，无法证明，该选项符合题意； C、∵， ∴， 在和中， ， ∴，该选项不符合题意； D、在和中， ， ∴，该选项不符合题意； 故选B． 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图画线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质；由三角形内角和定理可得，由题意得：是的垂直平分线，可得，，根据即可求解. 【详解】解：∵在中，，， ∴, 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和含有角的直角三角形的特征，可求得，，，，据此即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 根据图形折叠的性质可知，， ∴． ∴． ∴． 故选：D 10. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B. 在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D. 两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形和等边三角形的性质，以及全等三角形的对称性；选项A错误，因为三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边；选项B错误，因为角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形；选项C正确，因为有一个角是的等腰三角形所有角均为60°；选项D错误，因为全等三角形不一定轴对称. 【详解】解：A、三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，简称三线合一，故A不符合题意； B、角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形，即直角三角形中角所对边等于斜边的一半，故B不符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意； D、全等三角形不一定轴对称，故D不符合题意. 故选：C. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法；根据科学记数法的定义，将小数点向右移动5位得到，因此指数为. 【详解】解：， 故答案为：. 12. 若要分式有意义，则x需满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为零. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，解得. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是___________ ． 【答案】（-3，-2） 【解析】 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得. 【详解】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变， 点P（3，-2）关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2）， 故答案为：（-3，-2）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 14. 因式分解： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 已知，，则的值为______________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握（其中m，n是正整数）是解题的关键． 16. 若是一个关于x的完全平方式，则k的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式；将表达式与完全平方公式对比，根据一次项系数求出常数项的值. 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴它可以写成， ∴比较系数，得，解得. ∴. 故答案为：9. 17. 已知在中，，是边上的高，若，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论. 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， 当为锐角时，如图所示， ∴在中，， 即， 在中，， ∴， 当为钝角时，如图所示， ∴在中，， ∴即， 在中，， ∴. 故答案为：或. 18. 如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，点D为中点，，P为上一动点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最短路径问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质等，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 作A关于对称点，连接、、、，则，，，，，结合题意易求，则为等边三角形，然后根据，推出当三点共线时，取最小值，即为的长度，最后根据得到等边的面积，即可解答． 【详解】解：作A关于的对称点，连接、、、， 则，，，，， ∴三点共线， ∴， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长度， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 20. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】因为，且，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的；当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的；也可以通过线段的等量代换运算推导出③是正确的；设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故④是正确的． 【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，故①是正确的； 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故②是不正确的； ， ， ， ，故③是正确的， 设，则， ， ， ， ， ， ， ④是正确的； 故正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及负整数指数幂和零次幂，先利用分式的运算法则对代数式进行化简，然后代入的值即可． 【详解】解： ； ， ∴原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在方格纸中，画出关于x轴对称的 （2）点M在x轴上，连接，请以为腰作等腰，且要求点D在第二象限内． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图； （1）根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可； （2）连接，则即为所求，由网格可得，得到，，所以是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形. 【小问1详解】 解：根据关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，找到的对应点顺次连接即可，如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，连接，则即为所求， 由网格可得， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是以为腰、点D在第二象限内的等腰直角三角形. 23. 已知：，，． （1）求的值． （2）写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【小问1详解】 解：∵，， 又∵ ∴. 【小问2详解】 解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 24. 已知：中，，平分，连接、，延长交于点，. （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形. 【答案】(1)见解析;(2)△ABE△ACE,△DBE 【解析】 【分析】（1）先根据SSS证明△ABE≌△ACE，证得∠DBE=∠ACD，再根据三角形外角的性质，得出∠DBE=∠DEB，即可证出结论． （2）计算出相关角度，根据等角对等边即可判定 【详解】∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE ∵AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ∴△ABE≌△ACE ，∴∠DBE=∠ACD ∵∠ADC=2∠ACD ∴∠ADC=2∠DBE ∵∠ADC=∠DBE+∠DEB ∴∠DBE=∠DEB ∴BD=ED (2)在中，∵，. ∴∠ADC=, ∠ACD=，由（1）知：∠DBE=∠ACD ∴∠DBE=∠ACD=, ∴∠DBE=∠DEB= ∴△DBE是底角为的等腰三角形. ∵AE平分∠BAC ∠ADC=, ∴∠BAE=∠CAEDBE=∠DEB ∴△ABE和△ACE是底角为的等腰三角形. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 25. 某学校在手工制作课程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织1个大号中国结比编织1个小号中国结需多用绳6米；若用800米的绳编织大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）学校决定编织以上两种中国结共15个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过558米，那么该中学最多需要编织多少个大号中国结？ 【答案】（1）编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米 （2）最多需要编织8个大号中国结 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设编织一个小号中国结需要用绳x米，根据“用800米的绳编制大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同”列出分式方程求解即可； （2）设该中学需要编织a个大号中国结，根据“两种中国结所用绳长不超过558米”列出一元一次不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设编织一个小号中国结需要用绳x米， 解得： 经检验为原方程的解 米 答：编织一个小号中国结用绳34米，编织一个大号中国结用绳40米. 【小问2详解】 解：设该中学需要编织a个大号中国结 ∵a为中国结数量， ∴a为非负整数， ∴a的最大值为8， 答：该中学最多需要编织8个大号中国结. 26. 如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交延长线于点D，点E为延长线上的一点，若． 初步探索：（1）求证：； 拓展延伸：（2）如图2，过点C作，垂足为F，过点D作，垂足为H，求证：； 灵活运用：（3）如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由，可得，由可得，结论即可得证； （2）过点C作，先证明可得，进而得到，再证明可得，结论即可得证； （3）延长相交于点N，在上截取，连接，证明得到，设，则，可得出是等腰三角形，，再证明得到，最后证明得到. 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴. （2）过点C作，如图所示： ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）延长相交于点N，在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 27. 如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36． （1）求点A的坐标； （2）点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S． （3）在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，垂直平分线的定义和性质，三角形的面积计算，全等三角形的性质和判定； （1）由题意得、、都是等腰直角三角形，利用可得点A的坐标； （2）点P的坐标为，则，由，即可得出结果； （3）延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，由，可得，由y轴垂直平分，可得，，进而得到，得出，易证明是等腰直角三角形，所以，设，利用可得，进而证明，利用，，即可求出M的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴在与中，， ∴与都为等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：∵点P的坐标为，点P为射线上的一点， ∴， 由（1）得：， ∴. 【小问3详解】 解：延长交于点G，连接，交y轴于K，作轴，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵y轴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M横坐标为4， ∴， ∴， ∴点M纵坐标为2， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松北区2025—2026学年度上学期八年级期末调研测试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷为数学试卷．满分为120分，考试时间为120分钟． 2．请考生将正确答案写在答题卡上． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 2，5，8 C. 3，5，9 D. 4，5，6 2. 以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图所示，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在与中，、相交于点O，下列四组条件中，不能证明的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 3 10. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B. 在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D. 两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 将用科学记数法表示为________． 12. 若要分式有意义，则x需满足的条件是________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是___________ ． 14. 因式分解： _______ 15. 已知，，则的值为______________． 16. 若是一个关于x的完全平方式，则k的值为________． 17. 已知在中，，是边上高，若，则________． 18. 如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 _____． 19. 如图，在中，，，，点D为中点，，P为上一动点，连接，则的最小值为________． 20. 如图，在 中，，以 为边，作 ，满足 为 上一点，连接 ，连接 ，① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确的有__________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求作图． （1）在方格纸中，画出关于x轴对称的 （2）点M在x轴上，连接，请以为腰作等腰，且要求点D在第二象限内． 23. 已知：，，． （1）求的值． （2）写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 24 已知：中，，平分，连接、，延长交于点，. （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有底角为的等腰三角形. 25. 某学校在手工制作课程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织1个大号中国结比编织1个小号中国结需多用绳6米；若用800米绳编织大中国结的数量与用680米的绳编织小中国结的数量相同． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）学校决定编织以上两种中国结共15个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过558米，那么该中学最多需要编织多少个大号中国结？ 26. 如图1，已知为等腰三角形，，作射线，交的延长线于点D，点E为延长线上的一点，若． 初步探索：（1）求证：； 拓展延伸：（2）如图2，过点C作，垂足F，过点D作，垂足为H，求证：； 灵活运用：（3）如图3在（2）的条件下，连接，，点P在线段上，，过点P作，交于点Q，交于点M，若，，求的长． 27. 如图1，等腰在平面直角坐标系中，，，若的面积是36． （1）求点A的坐标； （2）点P为射线上的一点，连接，若点P的坐标为，的面积为S，用含有t的式子表示S． （3）在（2）的条件下，如图2，当时，点M为线段上的一点，连接交y轴于点D，连接，连接交于点E，连接，若，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $