精品解析：山东省德州市齐河县三校联考2025-2026学年上学期第二次阶段性总结九年级数学试题

2025-2026学年九年级第一学期第二次阶段性总结数学试题 一．选择题（共10题，每题4分） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 10 m n 42 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A. B. C. D. 与m，n的取值有关 4. 如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，，三个接触点，则该球的半径是（ ）． A. 10 B. 8 C. 12 D. 14 5. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　） A. 0.8米 B. 0.86米 C. 0.96米 D. 1米 6. 某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 8. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 20 二．填空题（共5题，每题4分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 13. 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有________． 14. 如图，AB，CD都与轴垂直，垂足分别为B，D，点C在双曲线上．若∠AOC=90°，，，则的值是____． 15. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______． 三．解答题（共8题，共90分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的样本容量是__________，扇形统计图中D类所对应的圆心角为__________度； （2）将条形统计图补充完整； （3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； （3）在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 19. 如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累： 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． 任务： （1）仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：与相切于点D； （3）若，劣弧的长为，求度数． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 21. 已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完． （1）设A型号消毒水每瓶定价为元（为大于30的整数），用含的代数式填空： ①A型号消毒水的销量为______瓶； ②B型号消毒水的总进价为______元； ③B型号消毒水的销量为______瓶． （2）求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； （3）若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价． 22. 【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 23. 如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第一学期第二次阶段性总结数学试题 一．选择题（共10题，每题4分） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心对称图形，故该选项符合题意； C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区200名九年级男生，他们的身高统计如下： 组别 人数 10 m n 42 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（　　） A. B. C. D. 与m，n的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】解：样本中身高不低于180cm的频率， ∴估计他的身高不低于180cm的概率是． 故选A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 4. 如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，，三个接触点，则该球的半径是（ ）． A. 10 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆的圆心为点，连接，其中交于点，先根据垂径定理可得，，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点，连接，其中交于点， 由题意得：，点是的中点， ∴， ∴， 设该球的半径是，则， ∴， 在中，，即， 解得， 即该球的半径是． 故选：A． 5. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，和相交于点O，点A，B之间的距离为1.2米，，根据图2中的数据可得点C，D之间的距离为（　　） A. 0.8米 B. 0.86米 C. 0.96米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】∵， ， ， ， ， 答：点，之间的距离为0.96米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6. 某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程求解，解题关键是理解题意． 设亲友团人数为，集体照冲印份（每人一份），每张合影冲印2份（每人一份），合影张数为，总冲印照片数为，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵ 集体照1张，每人需1份，冲印张； ∵ 每两位合影1张，共张，每张冲印2份，冲印张； ∴ 总冲印照片数； ∵ ， ∴ ，（负值已舍）， 故选：C． 7. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 由m，n为方程的解，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程，得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：C． 8. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 9. 如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 二．填空题（共5题，每题4分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数的值，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，下列结论：①；②；③；④；⑤方程有两个相等的实数根．⑥，其中正确的有________． 【答案】②⑤⑥ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质求出，，进而可判断①；根据二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥． 【详解】解：①抛物线的开口向下：，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴：； ∴，故①错误； ②∵抛物线与轴有两个交点：，故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴与时y的值相等， ∵时，， ∴时，， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④对称轴为直线， ∴，故④错误； ⑤∵顶点坐标：， ∴当且仅当时，， ∴有两个相等的实数根．故⑤正确； ⑥由图可知：， ∴， ∴；故⑥正确； 综上：正确的是②⑤⑥． 故答案为：②⑤⑥． 14. 如图，AB，CD都与轴垂直，垂足分别为B，D，点C在双曲线上．若∠AOC=90°，，，则的值是____． 【答案】-4 【解析】 【分析】证明△COD∽△OAB，根据相似三角形的性质求出，然后利用反比例函数系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴∠AOB＋∠OAB＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠COD＋∠AOB＝90°， ∴∠COD＝∠OAB， 又∵∠ABO＝∠CDO＝90°， ∴△COD∽△OAB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：－4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15. 如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OP，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短，连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接OP． ∵PA⊥PB，OA=OB， ∴OP=AB，当OP最短时，AB最短． 连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3， ∴AB的最小值为2OP=6． ∵点、点关于原点对称， ∴OA=OB=3， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP． 三．解答题（共8题，共90分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，． 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：A（非常好）、B（良好）、C（一般）、D（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的样本容量是__________，扇形统计图中D类所对应的圆心角为__________度； （2）将条形统计图补充完整； （3）现准备从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）20；36 （2） 补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，条形统计图、扇形统计图、圆心角，列举法求概率等知识，从统计图中获取正确的信息是解题的关键 （1）由统计图可知：样本容量为，扇形统计图中D类所对应的圆心角为，计算求解即可； （2）由题意知，类女生有（人），然后补图即可； （3）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知：样本容量为， 扇形统计图中D类所对应的圆心角为， 故答案为20；36． 【小问2详解】 解：由题意知，类女生有（人） 【小问3详解】 解：由题意知画树状图如下： ∴一共有6种等可能的情况，其中一男一女的情况有3种， ∴所选两位同学恰好是一男一女的概率为． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； （3）在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 【答案】（1） 所作如图所示： ∴由坐标系可知：点的坐标为； （2）所作如图所示；点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行作图； （3）根据（2）及扇形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴线段所扫过的面积为． 19. 如表是小宇同学的错题积累本的部分内容，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日 错题积累： 在中，，平分交于点D，O是上一点，且经过B，D两点，分别交于点E，F． 任务： （1）仅使用直尺和圆规，根据题目要求补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：与相切于点D； （3）若，劣弧的长为，求度数． 【答案】（1） 根据题目要求补全图形如下： （2） 证明：连接，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切于点D； （3） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，圆的切线判定定理，弧长公式． （1）先作的角平分线，再作的垂直平分线交于，最后以为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，由平分，得，又因为，所以，即得，，从而，，即可得出结论； （3）设，根据，劣弧的长为，求出，进而得，再根据得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵，劣弧的长为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴． 20. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 21. 已知A型号消毒水每瓶进价是20元，B型号消毒水每瓶进价是30元．某经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售（销量都是整数），当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶；B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完． （1）设A型号消毒水每瓶定价为元（为大于30的整数），用含的代数式填空： ①A型号消毒水的销量为______瓶； ②B型号消毒水的总进价为______元； ③B型号消毒水的销量为______瓶． （2）求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； （3）若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出A型号消毒水每瓶有几种定价． 【答案】（1）①；②；③ （2）销售A，两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元 （3）A型号消毒水每瓶有4种定价 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）设销售A，两种型号消毒水的总利润为元，根据题意列出w与x的函数关系式，然后求出x的范围，根据x的范围求出w的最大值即可； （3）根据，得出，求出x的范围，结合x为3的整数倍求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①A型号消毒水的销量为瓶； ②B型号消毒水的总进价为元； ③B型号消毒水的销量为瓶． 故答案为：①；②；③． 【小问2详解】 解：设销售A，两种型号消毒水的总利润为元，依题意得： ， ∵， ∴，且为3的整数倍； ∴当时，取最大值，且， 答：销售A，两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元； 【小问3详解】 解：∵销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元， ∴， 即， 解得：， 结合解析（2）中， ∴， ∵为3的整数倍， ∴或或或，共有4种定价， 答：A型号消毒水每瓶有4种定价． 【点睛】本题主要考查了列代数式，二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，根据总利润单个利润销售量，求出函数关系式． 22. 【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】 （1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1） 略 （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； （3）在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点Q的横坐标为2或 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想． （1）将代入，计算即可； （2）连接，设，根据列出二次函数表达式，根据二次函数性质即可求得求出点M的坐标； （3）在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T，证明，可推出，运用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组即可求得答案，过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S，求出点S的坐标，再求得直线的解析式，联立方程组即可求得答案． 【小问1详解】 解：将代入，得： ， 解得： ， 所以抛物线的函数表达式：； 【小问2详解】 解：存在，，理由如下： 连接， ， 设， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积最大， 把代入中得： ， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T， 则， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：或， ∴； 过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍）或， ∴ 综上，点Q的横坐标为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $