河南省湘豫名校联考2025-2026学年高三上学期12月质量检测巩固训练数学试题

湘豫名校联考 2025年12月高三上学期质量检测巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量，，若，则 （ ） A. 3 B. 5 C. D. 4. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为、，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列和满足，且，则 （ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 19 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为F，过原点O的直线l与C的右支交于点P．若，，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为R的单调函数，且对任意的，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 在正方体中，P为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 设函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______． 13. 设a，b为正数，且，则的最小值为______． 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，，． （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）求． 16. 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试的数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的数学成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取50人的数学成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下频率分布直方图： （1）求a的值，并估计该校历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法从甲样本数据中分数落在区间和内的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人分数落在区间内的人数X的分布列及数学期望． 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若没有极值点，求a的取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，F为AB上一点，且． （1）证明：平面CDF； （2）设底面ABC是边长为7的等边三角形，点P到底面ABC的距离为，且点P在底面ABC上的射影恰好在线段CF上． （i）求二面角的正切值； （ii）若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，求该球表面积的最小值． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，为第一象限内上的动点，，直线，的斜率之积为． （1）求的方程； （2）求四边形面积的最大值； （3）直线与直线交于点，过点且与平行的直线交直线于点，证明：点E在一定直线上，并求出该定直线的方程． 湘豫名校联考 2025年12月高三上学期质量检测巩固训练 数学 注意事项： 1.本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】60 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 由，得． 所以是首项为1，公差为1的等差数列，则， 所以． （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）X的分布列为 X 0 1 2 P 【17题答案】 【答案】（1）单调递减区间是和，单调递增区间是 （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：如图，设G为AE与CF的交点，连接DG．过点E作，交CF于点Ｍ． 因为E为BC的中点，且，所以，故． 又D为PA的中点，所以DG为的中位线，故． 因为平面 CDF，平面CDF， 所以平面CDF． （2）（i）； （ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：由得直线的方程为， 又直线的方程为， 由解得， 即， 因为，所以， 所以直线的方程为， 又， 所以直线的方程为， 由消去可得： ，整理得， 由，得， 所以， 故点在一定直线上，其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $