第1章三角形 期末复习单元达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第1章三角形》期末复习单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题中，属于假命题的是（    ） A．钝角三角形的内角和与锐角三角形的内角和相等 B．三角形的三个内角中至少有一个角不大于 C．三角形的两边之和大于第三边 D．互补的两个角不是锐角就是钝角 2．如图，在中，边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 4．如图，是边的垂直平分线，若，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 5．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．周末淇淇和爸爸来到某革命烈士纪念馆参观，他发现有一块如图所示的展板记录了该革命烈士的部分生平，图2是其示意图，展板长为，支撑架顶端C恰好为的中点，，射线恰好是的平分线，则点B到地面的距离为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（满分24分） 9．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．，那么．．．．．”的形式 ． 10．已知a，b，c为三角形三边的长，化简： ． 11．如图，，要利用判定，则可以添加一个条件是 ． 12．在中，，边上的中线，则边的取值范围是 ． 13．如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 14．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为 ． 15．如图，在中，，，垂足分别为，，若，，，则的长为 ．（用含有，的代数式表示） 16．如图，在中，，为边上的高，，，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．当点运动 时，． 三、解答题（满分72分） 17．如图，，分别是的高和中线． (1)若的面积为，，则 ； (2)若，求与的周长差． 18．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 19．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 20．如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 21．【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 22．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法． (1)如图1，平分，点A为上一点，过点A作 ，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，，（即点C为的中点） (2)如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． (3)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 参考答案 1．D 【分析】本题考查三角形内角和、边角关系及互补角的定义．选项A、B、C均符合三角形基本性质，为真命题；选项D中互补角有可能是两个直角，故为假命题． 【详解】解：∵ 所有三角形的内角和均为， ∴ 选项A正确； ∵ 若三角形三个内角均大于，则内角和大于，矛盾， ∴ 选项B正确； ∵ 三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 选项C正确； ∵ 互补的两个角之和为，每个角均为，均为直角，既不是钝角也不是锐角， ∴ 选项D错误， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了三角形的高的认识，先观察图，再分析出边上的高是线段，即可作答． 【详解】解：观察图，得边上的高是线段， 故选：A 3．D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查线段的中点，角平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 过点B作于点F，先求出，再根据角平分线的性质，得到，即点B到地面的距离为，即可解答． 【详解】解：过点B作于点F，如图 ∵支撑架顶端C恰好为的中点，， ∴， ∵，射线恰好是的平分线，， ∴， 即点B到地面的距离为． 故选D． 7．C 【分析】本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值． 由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接， 直线垂直平分， ， 当、、共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，，得，解得， 故的最小值为5． 故选：B． 9．如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为 “这两条直线平行”． 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 10． 【分析】本题考查了三角形三边关系及绝对值的性质．先根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负性，再依据绝对值性质去掉绝对值符号，最后合并同类项化简． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．根据需要满足的判定定理来添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴要利用判定，则可以添加一个条件是， 故答案为：． 12． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， 故答案为：． 13．18 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解：∵与的角平分线相交于点 D ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 14． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据“角边角”证明，可得，再求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．3或7 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理，注意分类讨论． 分两种情况：当点在射线上时，当点在射线上时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴此时点运动时间为； 当点在射线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴−− ， ∴此时点运动时间为． 综上所述，点运动或时，． 故答案为：或． 17．(1) (2)与的周长差为 【分析】本题考查了三角形的面积公式及中线的性质，解题的关键是利用三角形面积公式求高，结合中线定义分析周长差． （1）根据三角形面积公式，代入面积与底边长计算高； （2）由中线定义得，将两个三角形的周长相减，化简后计算边长差． 【详解】（1）解：由，代入，，得， 解得， 故答案为：． （2）解：∵ 是的中线， ∴ ，与的周长差为 ， 代入，，得， 答：与的周长差为． 18．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）易得垂直平分，得到，根据全等三角形的对应边相等，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线，， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 20．(1)3 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，在上截取，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，即可得解； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可得到结论； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21．（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 22．(1)ASA (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：，证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 23．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，，进而可得；，代入数据，即可求解； （2）同（1）的方法证明即可； （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $