精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区2025—2026学年上学期期末考试八年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期八年级核心素养调研 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “深度求索”英语单词“”中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 4. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 7. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 8. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：______． 10. 若，则分式值为______． 11. 已知，，则________． 12. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 13. 如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 14. 如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16 先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b），其中a＝，b＝﹣2． 17. 如图，在中，点在边上，延长到点，使得，过点作，使，且、在的两侧，连接．求证：． 18. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积为的直角三角形； （2）在图②中，面积为等腰三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 20. 如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 21. 已知：线段及射线． 求作：等腰三角形，使得点在射线上． 作法一：如图①，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点（不与点重合），连接． 作法二：如图②，（Ⅰ）在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （Ⅱ）以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点； （Ⅲ）以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点； （Ⅳ）作射线交射线于点． 作法三：如图③，（Ⅰ）分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点； （Ⅱ）作直线，交射线于点，连接． 根据以上三种作法，填空： 由作法一可知：__________， 是等腰三角形． 由作法二可知：_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 22. 某校为了解暑假学生参加志愿服务的时间（单位：时）的情况，进行了抽样调查，将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理，并绘制成如下统计图表（信息不完整）． 分组统计表 组别 参加志愿服务时间/时 人数 A B 40 C D E 16 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求此次抽查的学生人数； （2）分组统计表中的值为_____，的值为_____，的值为_____． （3）请补全条形统计图； （4）求C组所对应的扇形的圆心角度数． 23. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容． 观察图，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 用等式表示图中图形的面积的运算为_____． 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，则_____； （2）若满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_____． 24. 【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级核心素养调研 数学试卷 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 结果为 ． 故选D． 2. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 3. “深度求索”英语单词“”中，字母“”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，计算字母“”在单词“”中出现的频率，需统计其出现次数与总字母数的比值． 【详解】解：单词 “”共有个字母，字母“”出现次， 字母“”出现的频率是， 故选：A． 4. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 5. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为零的性质． 分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵ 分式 有意义， ∴ 分母 ， ∴ ． 故选D． 6. 如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形面积、两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由题中已知条件，得到，求出，再由直角三角形的判定与性质得到即可确定答案． 【详解】解：在中，，，且的面积为，则， 解得， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 8. 如图，在中，于点，，，，则的长度为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． 10. 若，则分式的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值，将分式拆分为两个分数的差，再利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 11. 已知，，则________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查幂乘方和同底数幂的乘法的逆运算，根据幂的乘方和同底数幂的乘法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：18． 12. 如图，货车车高，卸货时后面挡板折落在地面处．已知点A、B、C在一条直线上，，经过测量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，中利用勾股定理列出方程，进而解答即可． 详解】解：由题意得，，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：． ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 13. 如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 14. 如图，在，于点D，于点E，与相交于点F，且．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若，则的面积为12． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．根据高的定义得到，根据同角的余角相等即可得到，故①正确；根据“”证明，故②正确；根据得到，而不一定等于，故③不正确；根据，得到，进而求出，即可求出，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴，故②正确； ∵， ∴，而不一定等于，故③不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式及完全平方公式，熟练掌握多项式除以单项式及完全平方公式是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式进行求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b），其中a＝，b＝﹣2． 【答案】4ab+10b2;36. 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将a，b的值代入计算可得． 【详解】原式=4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣9b2） =4a2+4ab+b2﹣4a2+9b2 =4ab+10b2 当a，b=﹣2时，原式=4（﹣2）+10×（﹣2）2=﹣4+10×4=﹣4+40=36． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 如图，在中，点在边上，延长到点，使得，过点作，使，且、在的两侧，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由得到，根据推出，结合，即可得证． 【详解】证明：， ， ． 又， ， 在和中， ． 18. “激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱．在某文创商店，每件“喜洋洋”的价格比“乐融融”多30元，用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是用290元购买“乐融融”吉祥物数量的2倍，求“喜洋洋”和“乐融融”两种吉祥物的单价． 【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元 【解析】 【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键． 设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元．由用880元购买“喜洋洋”吉祥物的数量是，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是，然后根据题意列出分式方程，求解后验根即可得到答案． 【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为元，则购买一个“喜洋洋”的单价为元． 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元）， 答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积为的直角三角形； （2）在图②中，是面积为等腰三角形； （3）在图③中，是面积最大等腰直角三角形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）作矩形的对角线，如图所示，即可得到面积为的直角； （2）作两个矩形的对角线，如图所示，即可得到面积为的等腰； （3）作矩形的对角线和矩形的对角线，如图所示，即可得到面积最大的等腰直角． 【小问1详解】 解：如图所示： ， 则是面积为，且是直角三角形， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： ，边上的高是， 则是面积为，且是等腰三角形， 即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ，， 在中，，则， ， 即为所求． 【点睛】本题考查在网格中用无刻度的直尺作图，涉及三角形面积公式、矩形性质、直角三角形定义、等腰三角形定义、全等三角形性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 20. 如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】（1）米 （2）大巴车超速了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； 【小问2详解】 解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 21. 已知：线段及射线． 求作：等腰三角形，使得点在射线上． 作法一：如图①，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点（不与点重合），连接． 作法二：如图②，（Ⅰ）在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （Ⅱ）以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点； （Ⅲ）以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点； （Ⅳ）作射线交射线于点． 作法三：如图③，（Ⅰ）分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点； （Ⅱ）作直线，交射线于点，连接． 根据以上三种作法，填空： 由作法一可知：__________， 是等腰三角形． 由作法二可知：_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 【答案】，等角对等边，垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【解析】 【分析】由尺规作图——作相等线段理解作法一，由尺规作图-作相等角理解作法二，由尺规作图-作垂直平分线理解作法三，再结合等腰三角形的判定、垂直平分线性质等知识求解即可得到答案． 【详解】解：由作法一可知：， 是等腰三角形． 由作法二可知：， （等角对等边）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 是等腰三角形． 故答案为：，等角对等边，垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形，涉及尺规作图-作相等线段、尺规作图-作相等角、尺规作图-作垂直平分线、等腰三角形的判定、垂直平分线性质等知识，熟记常见基本尺规作图方法步骤是解决问题的关键． 22. 某校为了解暑假学生参加志愿服务的时间（单位：时）的情况，进行了抽样调查，将收集的数据分成A、B、C、D、E五组进行整理，并绘制成如下统计图表（信息不完整）． 分组统计表 组别 参加志愿服务时间/时 人数 A B 40 C D E 16 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求此次抽查的学生人数； （2）分组统计表中的值为_____，的值为_____，的值为_____． （3）请补全条形统计图； （4）求C组所对应的扇形的圆心角度数． 【答案】（1）人 （2） （3）补全条形统计图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及统计表、条形统计图和扇形统计图信息关联，准确从三个统计图中找到相关关联数据计算是解决问题的关键． （1）由统计表中E组人数为，在扇形统计图中占比为，计算即可得到答案； （2）由（1）中得到总人数，及A、C、D组人数占比情况直接计算即可得到答案； （3）由（2）知，A、C、D组人数分别为，补全条形统计图即可得到答案； （4）由扇形统计图中，A组人数占比为，列式计算即可得到C组所对应的圆心角度数． 【小问1详解】 解：由统计表中E组人数为，在扇形统计图中占比为，可得此次抽查的学生人数为； 【小问2详解】 解：由（1）知，此次抽查的学生人数为，其中B组人数为， B组人数占比为， A组人数占比为， 则分组统计表中，，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）知，A、C、D组人数分别为，补全条形统计图如下： ； 【小问4详解】 解：， 答：C组所对应的圆心角度数为． 23. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第38页的部分内容． 观察图，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 用等式表示图中图形的面积的运算为_____． 【类比探究】观察图①，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为_____． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，则_____； （2）若满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_____． 【答案】【教材呈现】包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形；； 【类比探究】； 【尝试应用】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解题意，数形结合得到是解决问题的关键． 【教材呈现】由图直接分析它包含哪些长方形和正方形，再由图形的拆解过程可得图中图形的面积运算情况； 【类比探究】由【教材呈现】中得到的，恒等变形即可确定图①中阴影部分图形的面积和； 【尝试应用】（1）由【类比探究】知，两个正方形的面积和为，将题中代入计算即可得到答案； （2）采用换元法，令，，则，再根据代值计算即可得到答案； 【拓展延伸】如图所示，设，，根据题意得到，再将恒等变形得到，将代入计算即可得到答案． 【详解】【教材呈现】解：如图所示： 包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形； 用等式表示图中图形的面积的运算为：； 故答案为：； 【类比探究】解：如图所示： 由【教材呈现】知，， 两个正方形的面积和为：， 故答案为：； 【尝试应用】 （1）解：由【类比探究】知，两个正方形的面积和为：， ， ； 故答案为：10； （2）解：令，， ， ， ， 则， ； 【拓展延伸】 解：如图所示： 设，， ， ， 种花区域的面积和为， ， 则， 种草区域的面积和为： ， ， ， 则种草区域的面积和为， 故答案为：． 24. 【初步探索】如图①，在中，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为点、，则和的关系是______． 【变式探究】如图②，在中，，直线经过点，点、在直线上，已知，猜想、、的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】小吉同学在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边分别向外作和，其中是边上的高，延长交于点H．若，则的长为_____．（用含的代数式表示） 【答案】[初步探索]全等；[变式探究]数量关系为：，证明见解析；[拓展应用] 【解析】 【分析】[初步探索]根据题意得出，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； [变式探究]由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； [拓展应用]过点作于点，作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． 【详解】[初步探索]解：∵过点分别向直线作垂线，垂足分别为点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； [变式探究]数量关系为：； 证明：， ， 在和中， ， ， ， ； [拓展应用]解：过点作于点，作，交的延长线于点，如图③所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及垂直定义、互余、三角形外角性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形相关几何性质，灵活运用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $