代数推理—期末复习专项训练 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

态度决定基础 思维决定高度 ( 初三 数学期末复习 2 （代数推理 ） ) 1．已知为任意实数），则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 【解答】解：由题意，知：； 由于，所以；因此，即．故选：． 2．已知，，若，则实数的值为　3　． 【解答】解：依题意得：，解得， ，整理，得， 故， 解得． 故答案为：3． 3．已知，，，用“”表示、、的大小关系为 　　 ． 【解答】解：解法1：令，，则，，．．． 解法；； ；；． 4．已知二次函数的图象经过点 （1）求的值并写出当时的取值范围； （2）设、、在这个二次函数的图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【解答】解：（1）把代入二次函数得：，， ，抛物线的开口方向向上，对称轴是直线，把代入得：， 把代入得：，当时的取值范围是， 答：的值是，当时的取值范围是． （2）①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． 理由是当时，、、， 代入抛物线的解析式得：，，，， 当时，、、不能作为同一个三角形三边的长． ②理由是：把、、代入得： ，，， ，，，，都是的， ，， 根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边）， 当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长． 5．如图，已知一次函数图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于、，两点．点是一次函数的图象上的动点． （1）求、的值； （2）设，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．试问的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设，如果在两个实数与之间（不包括和有且只有一个整数，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）将点的坐标代入，得，则，把代入得， 则，将、代入直线得：； （2）存在．令，，则的坐标是：，；由题意，点在线段上运动（不含，， 设点，，平行于轴，、的纵坐标都是，的坐标是：，， ；而，得； 所以由关于的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决定，当，即，，的最大值是：． （3）由已知，易知，，，； 若，，由题设，，则，解不等式组的解集是：； 若，，由题设，，则，解得：； 综上：的取值范围是：，． 6．已知：关于的二次函数，点、、都在这个二次函数的图象上，其中为正整数． （1），请说明必为奇数； （2）设，求使成立的所有的值； （3）对于给定的正实数，是否存在，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求的值（用含的代数式表示）；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）点、、都在二次函数的图象上， ，，整理得： 必为奇数； （2）当时，对称轴是：，， ，化简得：， 解得：，为正整数，、2、3、4． （3）点、、都在这个二次函数的图象上，其中为正整数． ，，， 是以为底边的等腰三角形，， ， ．为大于2的偶数，存在，使是以为底边的等腰三角形，． 7．平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，、的横坐标分别为 、． （1）若轴，求的面积； （2）若是以为底边的等腰三角形，且，求的值； （3）作边长为3的正方形，使轴，点在点的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数，边与函数的图象都有交点，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，交轴于，轴，，， ； （2）、的横坐标分别为、，、的纵坐标分别为、， ，，是以为底边的等腰三角形，， ，，， ，，，，，； （3），而，直线在轴的右侧，直线与函数的图象一定有交点， 设直线与函数的图象交点为，如图2，点坐标为，正方形的边长为3， 点坐标为，点的坐标为，，，而，，即，， 点在线段上，即对大于或等于4的任意实数，边与函数的图象都有交点． 8．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在该函数的图象上，到轴、轴的距离分别为、． （1）当为线段的中点时，求的值； （2）直接写出的范围，并求当时点的坐标； （3）若在线段上存在无数个点，使为常数），求的值． 【解答】解：（1）对于一次函数，令，得到；令，得到， ，，为的中点，，则； （2）①；②设，， 当时，，解得：，此时； 当时，，解得：，此时，； 当时，不存在，综上，的坐标为或，； （3）设，，，在线段上，， ，，，，即， 有无数个点，即无数个解，，即． 9．已知两个二次函数和．对于函数，当时，该函数取最小值． （1）求的值； （2）若函数的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离； （3）若函数、的图象都经过点，过点，为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是、、、，且，求的最大值． 【解答】解：（1）由题意知：函数的对称轴为，，， （2）由题意知：△，当△时，，此时函数与轴有两个不同的交点， 由于若函数的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，，，令，或， 两个公共点间的距离为4，当△时，， 此时抛物线与轴只有一个交点，与轴只有一个交点，两个公共点间的距离，由勾股定理可求得：， （3）函数、的图象都经过点，将代入函数和函数，， ，，，函数，函数， 联立解得：，，过点作轴的平行线，与函数、的图象共有4个不同的交点，或当时，如图1， 即，令代入，，，，令代入， ，，，，， ，当，如图2，即， 令代入，，，， 令代入，，，，， 综上所述，过点，为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有4个不同的交点时，的最大值为4． 10．平面直角坐标系中，点、的横坐标分别为、，二次函数的图象经过点、，且、满足为常数）． （1）若一次函数的图象经过、两点． ①当、时，求的值； ②若随的增大而减小，求的取值范围； （2）当且、时，判断直线与轴的位置关系，并说明理由； （3）点、的位置随着的变化而变化，设点、运动的路线与轴分别相交于点、，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1）①当、时，，所以二次函数的表达式是． ，点的横坐标为1，点的横坐标为3， 把代入抛物线的解析式得：，把代入抛物线的解析式得：，，． 将点和点的坐标代入直线的解析式得：，解得：，所以的值为． ②，当时，； 当时，，随着的增大而减小，且， ，解得：，又，的取值范围为． （2）且、，，．二次函数的关系式为．把代入抛物线的解析式得：． 把代入抛物线的解析式得：．、． 点、点的纵坐标相同，轴． （3）线段的长度不变．过点、点，， ．，． 把代入，得：，．点在轴上，即， ，把代入得：． ．．线段的长度不变． 11．已知：点、、都在反比例函数的图象上，其中为正整数． （1）若，，求的值； （2）若 ①试比较的与大小，并证明你的结论；②若，求的值； （3）若，求的最小值． 【解答】解：，、，点，在反比例函数的图象上， ，，，，； （2）①， 理由：，反比例函数解析式为， 点、、都在反比例函数的图象上， ，， ， 为正整数，，，， ②，，，， ，，， ，，或（舍， 或（舍，即：； （3）如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于， 点、、， ，，，，，， ， ， ，，，， ，为正整数，当时，． 12．平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点． （1）当时，求二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）过点作直线轴，二次函数图象的顶点在直线与轴之间（不包含点在直线上），求的范围； （3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线相交于点，求的面积最大时的值． 【解答】解：（1）当时，抛物线解析式为：令，则 解得，抛物线与轴交点坐标为：，， （2）抛物线顶点坐标为 二次函数图象的顶点在直线与轴之间（不包含点在直线上）当直线在轴上方时 不等式无解 当直线在轴下方时解得 （3）由（1）点在点上方，则的面积 当时， 13．平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的的范围； （2）如图①，设函数、的图象相交于点，点的横坐标为，△的面积为16，求的值； （3）设，如图②，过点作轴，与函数的图象相交于点，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点一定在函数的图象上． 【解答】解：（1）①由已知，点在的图象上 点坐标为，坐标为把，代入解得 ②当时，图象在图象上方，且两函数图象在轴上方由图象得： （2）分别过点、作轴于点，轴于点，连 为中点点、在双曲线上 由已知点、坐标都表示为，，解得 （3）由已知，则为把代入到 解析式为 当时，点纵坐标为，点和点横坐标为 点纵坐标为点在的图象上 14．已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 【解答】解：（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：，将点的坐标代入反比例函数得：； ②由图象可以看出时，； （2）①当时，点、、的坐标分别为、、，在的下方）， 当为中点时，则，即，则； 当为中点时，则，即，故， 当为中点时，因为点一定在点的下方，故这种情况不存在； 当与重合时，到，的距离相等，则，即，或4或2． ②点的横坐标为：，当点在点左侧时，， 的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，当时，此时，从而． 当点在点右侧时，同理，当，时，（不合题意舍去） 故，．【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． 15．如图，二次函数，，，的图象分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为． （1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； （2）设直线与轴所夹的角为． ①当，且为的顶点时，求的值； ②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变； （3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，，，把代入得到． （2）①如图1中，过点作轴于，过点作于． ，，，，， ，，，，． ②如图2中，由题意轴， ，当时，，解得，，， ，，． （3）如图3中，过点作轴于，过点作于，过点作交的延长线于． 设，，点的横坐标为，，， ，，，， 整理得：，，，， ，，点是抛物线的顶点． 16．二次函数为常数）图象的顶点在轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为的形式，求的值； （3）若点在该二次函数图象上，且，过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，求的范围． 【解答】解：（1）根据顶点坐标公式可得，顶点的横坐标为：，该二次函数图象的顶点横坐标为； （2），， （3）二次函数图象顶点在轴右侧，，，设二次函数图象与轴交点分别为，，在左侧，令，则，或，，，， 点在该二次函数图象上，且，在上方， 过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，如图，， ，，． 备注：的范围还可以详述为：由题意得：，由得：， 则，抛物线和的交点在轴的下方，故， 即当时，都有成立，故，故． 17．如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且．过点的弦，为上一动点（与点不重合），，垂足为．连接、． （1）若． ①求证：；②求的值； （2）用含的代数式表示，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数． 【解答】解：（1）①连接，如图： 即，，，，， 是中点，又，是的垂直平分线，，即△是等边三角形， ； ②连接，如图： 是直径，，，，， ，，△△，， 由①知：，，； （2）连接、，如图： 是直径，，，又，△△， ，，，，，， 与（1）中②同理，可得：，； （3）由（2）得，，即， ， 若是定值，则的值与无关， 当时，的定值为1，此时与重合，如图： ，，△是等腰直角三角形，，，， 故存在半径为1的，对的任意位置，都有是定值1，此时为． 18．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． （1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由； （2）设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）函数是函数、的“组合函数”，理由如下： ，， 函数是函数、的“组合函数”； （2）①由得，，、的“组合函数”为，时，， 点在函数、的“组合函数”图象的上方，，， ，，，； ②存在时，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图象与轴交点的位置不变，，理由如下：由①知，， 函数、的“组合函数” 图象经过点， ，，， ，有， ， 令得， 变形整理得：，当，即时，，， 时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，． 19．在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接． （1）若，，求函数的表达式及△的面积； （2）当、在满足的条件下任意变化时，△的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由． 【解答】解：（1），，点，，，，点，，，，，一次函数的图象经过点、，设，则， ，函数的表达式为，，，． （2）点，，，，点，，，，， 设，则，，，， ．当、在满足的条件下任意变化时，△的面积不变化． （3）设直线与边的交点为，设直线为，代入，，得，，，当时，，， 点在的图象上． 20．已知直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴相交于点，过点作轴，垂足为． （1）若，轴，，求的值； （2）若，点的横坐标为，，求点的坐标； （3）延长、相交于点，求证：． 【解答】解：（1）如图1，抛物线的对称轴是轴，且轴， 与是对称点，是抛物线的顶点，，，是等边三角形，，，，，，， 把代入抛物线中得：； （2）如图2，过作轴于，过作，交延长线于点，交轴于， ，，，，，的横坐标为， 的横坐标为1，，，，， ，，，， ，，，，，；； （3）如图3，设，由（2）同理可知：的横坐标是的横坐标的倍， 则设，则，，过作轴于， ，，，， ，，，，，， ，，． 21．已知，点是二次函数图象上的一点，点的坐标为，直角坐标系中的坐标原点与点，在同一个圆上，圆心的纵坐标为． （1）求的值； （2）当，，三点在同一条直线上时，求点和点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，垂足为点，求证：． 【解答】解：（1）圆心的纵坐标为，设，，， ，，抛物线为． （2）在抛物线上，设，，、、在同一直线上，， ，，，，整理得到：， ，，，，当时，， 当时，．，，，，，，，． 方法二：因为在同一直线上，所以为直径．分别作轴于，轴于，证，设，，解得即可解决问题； （3）设，，，， ，，． 22．如图1，抛物线与直线，，为常数，，交于，两点，直线交轴于点．点的坐标为． （1）若，，则的坐标为 　　，　　，点的坐标为 　　； （2）已知点，，抛物线与线段有两个公共点，求的取值范围； （3）①如图1，求证：； ②如图2，设抛物线顶点为，直线交抛物线的对称轴于点，直线为常数，经过点，并交抛物线的对称轴于点，若为常数），则的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，，，代入，得， 点代入得，解得则 将点代入得，，解得故与交于、两点 ，解得或，将代入得， 故的坐标为故答案为：；； （2）如图3，要使抛物线与线段有两个公共点，由图象可知，点，， ，解得 （3）①将代入得，得， 同理，再将代入得，即， 令得，点坐标为，与交于、两点，， 可令，又，原方程可化为：， 解得或，或，得或， 将代入得，故点的坐标为， 分别过点、作轴的垂线，．如图1，轴，轴， ，，，， ，． ②值不变，理由如下：由①知，代入得，，解得 则与对称轴交于点，点的坐纵坐标为 点的坐标为， 如图2，过点，点作交于，交于点， 点坐标为，，， ，，， ，，不变． 23．在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于、（点在点的左边），与轴相交于点．直线与抛物线相交于，、，两点、不重合），与直线交于点，． （1）若，，， ①求线段的长； ②当时，证明：的值不会随着的变化而变化； （2）若点在直线的上方， ①求的取值范围； ②令，一定存在一个的值，对于任何符合的、均可以使得恒为定值，求的值以及的取值范围． 【解答】（1）①解：，，， ②证明：，抛物线的对称轴为：，，当时，； （2）①解：如图， 当，时，点在的下方， 当，时，点在的下方， 如图3， 当时，点在的上方，综上所述：当时，点在的上方； ②解：如图4， 当时，，，，， ，，，， ，，恒为定值，， ，，， ，，，，， ，． 24．设一次函数和二次函数． （1）求证：，的图象必有交点； （2）若，，的图象交于点，、，，其中，设，为图象上一点，且，求的值； （3）在（2）的条件下，如果存在点，在的图象上，且，求的取值范围． 【解答】（1）证明：当时，得，化简为：， △，方程有解，，的图象必有交点； （2）解：当时，，化简为：，， ，，，，，当时，， 化简为：，，，， 解得，（等于，或，，； （3）解：点，在的图象上，． 点，在的图象上，．，， ，化简得，由（2）得， ，，，，的取值范围为． 25．已知一次函数的图象过点，、是二次函数图象上的两点． （1）若该二次函数图象的对称轴是直线，分别求出一次函数和二次函数的表达式； （2）当点、在二次函数的图象上运动时，满足，求的值； （3）点、的位置随着的变化而变化，设点、的运动路线分别与直线交于点、，当时，求的值． 【解答】解：（1）对称轴为，，，解得， 二次函数的表达式为：， 将点和代入一次函数，得到，解得：， 一次函数的表达式为；一次函数表达式：，二次函数的表达式：； （2）将、两点分别代入，得到，，，， ，整理得：①， 过点，代入得：，将代入①式得：，即或， 当时，；当时，，综上所述，或． （3）解：将代入二次函数，得 ，， 又一次函数过点，代入得：，，， ，，把代入得，把代入， ，解得或3． 26．已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若点，在图象上，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是否存在点在函数上，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：二次函数的图象经过点，， ，，，， ； （2）解：由（1）知，，点，在图象，， ，，， ，，，，； （3）解：存在；由（2）知，，由（1）知，，，，， ，，，①，点在函数上， ②，联立①②解得，或，，，，即． 27．已知一次函数，为常数，且． （1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值． （2）若，点，在该一次函数图象上，求证：． 【解答】（1）解：此一次函数的图象经过，两点，，解得； （2）证明：一次函数，为常数，且的图象经过点，， ，，，，，． 28．如图（1），已知点是抛物线的顶点，矩形中，顶点、在该抛物线上（其中点在第一象限），顶点、在轴上，连接线段、、，、交于点． （1）若点坐标为，则点、、坐标分别为 ，　　、　　 ，　　、　　 ，　　（可用含的代数式表示）． （2）如图（1），①求证：； ②连接．求证：． （3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题： ①如图（1），抛物线中字母、满足什么条件才能使．并说明理由； ②如图（2），抛物线中字母、、满足什么条件才能使．请直接写出结论． 【解答】解：（1）点坐标为，四边形是矩形，点横坐标是，点在该抛物线上， ，点与点关于轴对称，，抛物线的对称轴为轴， 顶点，故答案为：，，，，0，1； （2）①，，，，，， ，△是直角三角形，； ②，，，，， ，，，， △△，，； （3）①，，，，，，，；，，，； ②设，，设，则，， ，，，；， ，，，，． 29．如图，点在抛物线上，过作轴的平行线交抛物线于另一点，点为抛物线上的任一点． （1）若点的横坐标为，且为直角三角形时，求点的坐标； （2）当点变化时，是否总存在点，使得是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点纵坐标的取值范围； （3）若为直角三角形，边上的高为， ①的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度； ②若将抛物线的关系式由换成，其余条件不发生改变，试猜想与的关系，并证明． 【解答】解：（1）点的横坐标为，，轴，，设， 为直角三角形，，即， （舍或，，或，； （2）不是总存在，理由如下：设，，，则，，， 即，（舍或， 当时，，此时是直角三角形； （3）①的大小不改变，理由如下：由（2）可知，，或，， 点的纵坐标为，边上的高为，； ②设，，则，， 即，（舍或， ，，． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求这个抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，过点且平行于轴的直线，与直线相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若点是抛物线上之间的动点（不与、重合），连接并延长交于点． ①当时，求点的坐标； ②如图2，连接并延长交于点，在点运动的过程中，的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由． 【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为，把代入可得， 解得，，抛物线的解析式为：； （2）①如图1中，过点作于点． 设，，，，，，， ，，，，直线的解析式为，； ②结论：的值是定值．理由：设，， ，直线的解析式为：，点，， 直线的解析式为：，点，，， ，． 31．如图，已知点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，、在轴的两侧，、的纵坐标分别为、． （1）若，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值． 【解答】解：（1）轴，、在轴的两侧，、的纵坐标分别为、其中，，，，， ，，， 又四边形为平行四边形 （2），，，解得：，的值为1 32．如图，已知直线与反比例函数交于、两点，点在点的左边，与轴、轴分别交于点、点，轴于，轴于． （1）若，，求，两点的坐标（用表示）． （2）如图1，若，、，，写出与的大小关系，并证明． （3）如图2，、分别为反比例函数与图象上的点，轴．若，且，之间的距离为5，则　3　． 【解答】解：（1），．，．，则，解得：或， 当时，，当时，，、． （2）联立，整理得，，． （3）设，、，，则设 ，、 ，，则 ，．、之间的距离为5， ．故答案为：． 33．已知点，，，在一次函数的图象上． （1）若，求的值； （2）若，，．试比较和的大小，并说明理由． 【解答】解：（1）点，，，在一次函数的图象上， ，，，，，， ，； （2），理由如下：，， ，解得：．．， 一次函数中随的增大而减小．又，． 34．设抛物线与轴交于点和． （1）若，求，的值； （2）若，求证：抛物线的顶点在直线上； （3）抛物线上有两点，和，，若，且，试比较与的大小． 【解答】解：（1）当时，把代入，解得，抛物线的解析式为：，令代入，或，， （2）抛物线的对称轴为：直线，把代入， 抛物线的顶点坐标为，把代入，， 顶点在直线上， （3）由题意可知：抛物线的对称轴为：直线，△，解得：或， ，，，，离对称轴较近， 当时，，当时，， 35．如图，平面直角坐标系中，点，函数的图象经过的顶点和边上的点． （1）的值； （2）若△的面积等于6，求的值； （3）若为函数的图象上一个动点，过点作直线轴于点，直线与轴上方的的一边交于点，设点的横坐标为，且，当时，求的值． 【解答】解：（1）函数的图象经过的顶点和边上的点， ，，； （2）如图，连接，，过作轴于，过作轴于，， ，，，，，，； （3）①如图1，点在上， ．即，直线的解析式为，设点的横坐标为， ，过点作直线轴于点．，，，， ，，或（舍， ②如图2， 当点在上时，点，四边形是平行四边形，，， 由题意知，．，，，，， ③如图3，4， 当点在上时，，，直线解析式为， ，，，，， 或（舍或或（舍， 的值为，，或． 36．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，它的顶点为点． （1）写出点的坐标　　． （2）点在对称轴上，位于点上方，且，以为顶点的二次函数的图象过点． ①试说明二次函数的图象过点； ②点在二次函数的图象上，到轴的距离为，当点的坐标为　　时，二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于； ③如图2，已知，过点作轴的平行线，分别交二次函数、的图象于点、、、（点、在对称轴左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，交二次函数的图象于点，若，求实数的值． 【解答】解：（1），顶点的坐标为．故答案为：． （2）①点在对称轴上，位于点上方，且，点的坐标为， 二次函数与的图象的对称轴均为， 点、关于直线对称，二次函数的图象过点． ②二次函数的顶点坐标，且图象上有且只有三个点到轴的距离等于， ，解得：．令中，即， 解得：，，，点的坐标为，、，或． 故答案为：，、，或． ③（方法一）设过点平行轴的直线交对称轴于点，直线也是二次函数的图象的对称轴．二次函数过点、，且顶点坐标为， 二次函数．设，则，，，， ，，，即．， ．、关于直线对称，，． 设，则的坐标为，的坐标为， 由题意得：，解得：或（舍去）．故当，实数的值为1． （方法二）令，解得：，点，． 二次函数过点、，且顶点坐标为，二次函数． 令，解得：， 点，，点，． 当时，，点，． ，，，， ，， 整理得：， 解得：，经检验后可得是方程的解．故当，实数的值为1． 37．阅读下列材料： 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则，． 解决下列问题： 已知：，，均为非零实数，且，关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根为2． （1）填空：　　0，　 　0，　 　0；（填“”，“ ”或“” （2）利用阅读材料中的结论直接写出方程的另一个实数根（用含，的代数式表示）； （3）若实数使代数式的值小于0，问：当时，代数式的值是否为正数？写出你的结论并说明理由． 【解答】解：（1），，，至少有一个为正，，， ①当，时候，则，所以，与矛盾，不合题意； ②当，时候，所以可能等于0，，；故答案为：，，． （2）由题意可知：，解得：另一根；（4分） （3）答：当时，代数式的值是正数． 理由如下：设抛物线，则由题意可知，它经过，点． ，，抛物线开口向上，且，即点在点左侧．（5分） 设点的坐标为，点的坐标为． 代数式的值小于0，点在抛物线上，且点的纵坐标为负数． 点在轴下方的抛物线上．（如图），即．，即． 以下判断与的大小关系：，，， ．．．（6分） ，两点都在抛物线的对称轴的右侧，随的增大而增大，，即． 当时，代数式的值是正数．（7分） 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，．连接，为线段上一动点，过点作轴，分别交轴、、于点、、． （1）若点坐标为． ①求直线的函数关系式； ②若为中点，求点坐标． （2）在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 【解答】解：（1）①点在直线上，，， 直线的解析式为，，轴，，，， ，，设直线的解析式为，则有，解得，， 直线的解析式为； ②设，则，，，，， ，，； （2）结论：．理由：如图，过点作轴于点．设， ，，，，， ，，，直线的解析式为， 设，则，，，， ． 39．为提高学生的社会实践能力，某校要求学生“五一”假期间在家长的带领下参加社会实践活动．小军决定每天和爷爷一起去菜场买菜． （1）5月2日小军发现蔬菜的价格为12元千克，比5月1日的价格提高了，5月1日蔬菜的价格为 　10　元千克； （2）爱动脑筋的小军在上面问题的启发下思考了这样一个问题：若蔬菜通过两种不同的方案进行了两次价格调整： 方案1：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 方案2：两次提价的百分率都是；其中，，． 以上两种方案中哪种方案的提价较多？请运用所学数学知识帮小军解决这个问题． 【解答】解：（1）设5月1日蔬菜的价格为 元千克，根据题意得，解得， 所以5月1日蔬菜的价格为10元千克；故答案为10； （2）设蔬菜的原价为元千克； 方案1：两次调整后的价格为元， 方案2：两次调整后的价格为元， ，，，，，方案2的提价较多． 40．已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； （3）如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 【解答】解：（1）由题意得：； （2），理由：如图1，由点、的坐标知，， 的横坐标为，则点，，过点作轴的平行线交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，当时，， 即，，， ，则； （3）连接，设点，则点，，，， ，，，即，即， 解得：，即点在直线上． 41．为反比例函数的图象在第一象限的点． （1）轴于点，，求的值； （2）如图延长至点，使得，过点、作轴，轴，两条直线交于点，若是反比例函数的图象上点，求与的关系式． 【解答】解：（1）为反比例函数的图象在第一象限的点，且，， （2）设点坐标为，，，，， 是反比例函数的图象上点，，． 42．已知抛物线． （1）若抛物线经过原点和，求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若将（1）中的抛物线向右平移个单位； ①当时，平移后的抛物线和原抛物线都随的增大而增大，直接写出的取值范围； ②平移后的抛物线与原抛物线交于点，与轴的另一交点为，若，试判断、、三点是否在同一直线上，若不在同一直线上，请判断点在直线的上方还是下方，并说明理由． （3）抛物线经过，，，两点，若，当时，都有，求的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，，则，则点，； （2）①平移后抛物线的对称轴为直线，当时，平移后的抛物线和原抛物线都随的增大而增大，只需要平移后的抛物线随的增大而增大即可，故，则； ②若，则抛物线的表达式为：， 联立上式和原抛物线的表达式得：，解得：，即点； 则点，由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即点在直线的下方； （3）抛物线经过，，，两点，， ，，，， ，，则，，， ，． 43．我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）已知关于的二次函数，写出它的“反序对称”函数，　　． （2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数． ①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线在轴的下方，求直线与轴间距离的最大值． 【解答】解：（1）由新定义知，，，，则“反序对称”函数为， 故答案为：； （2）由点、的坐标知，轴，则由中点坐标公式得：函数的对称轴为直线， 则，则函数， ①经过两个定点，理由：由新定义得：，令，则或， 则定点坐标为：、； ②由点、的坐标知，轴，将点的坐标代入函数表达式得：，故直线与轴间距离的最大值为． 44．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式． （2）如图2，若点是抛物线顶点，连接、、，求△面积． （3）如图3，点是第四象限抛物线上的另一动点，交轴于点，交轴于点．在点、运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）将点的坐标代入函数表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）设点，、，，由点、的坐标得，直线的表达式为：，如图3，则点，则，由题意，点， 即，则△面积； （3）经过定点，理由：设点，、，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，则， 同理可得：，则，故， 设直线的解析式为，当时，，， 代入①化简得：，所以过定点． 45．已知二次函数，为常数，与轴交于点，点为二次函数图象上一动点，以为直径作，过点，为常数）作直线垂直于轴． （1）若，，且与直线交于、两点． ①填空：当点与点重合时，点的坐标为 　　，的取值范围为 　　； ②是否存在实数，使的长为定值，若存在，求出的值，若不存在请说明理由； （2）若不论如何运动，与直线始终相切，当时，求的值． 【解答】解：（1）①当，时，，，为直径，为圆心， ，与圆有两个交点，，故答案为：，； ②存在；设点坐标为，则，， 圆的半径为：，点到的距离为， 根据垂径定理可得：， 为定值，，； （2），，设，，，， 到的距离为，根据切线的性质可知：， 整理得：，无论取何值，等式恒成立，，，，． 46．综合与实践 【研究素材】二次函数的图象与轴交于点，与轴分别交于，两点． 小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路，并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务．（为了方便研究，规定点在点的右边） 【探究1】确定【素材】中的度数 【任务1】证明：； 【探究2】改变相交的对象研究 若二次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象分别交于，两点． 【任务2】若“”成立，求的值； 【探究3】改变表达式的系数研究 若二次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象分别交于，两点． 【任务3】若“”成立，当时，求与之间的关系式； 【任务4】当时，若直线与轴交于点，连结交轴于点，试比较 与的大小，并说明理由． 【解答】【任务1】证明：如图，连接、， 由题意可知、、，，， ，． 【任务2】解：如图，过点作轴的平行线，过作，过作， ，，， ，设点的横坐标为，点的横坐标为，则、是方程的两个根， 即，，，，， ，，． 【任务3】解：同任务2可得，，， ，令，，、是方程的两个根， ，，，，； 【任务4】解：，理由如下：时，令，， 设，，直线，令，，，， ，，，，，， ，，． 47．如图所示，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点在第一象限．设点的横坐标为． （1）若，，求点和点的坐标； （2）若，点落在反比例函数图象上，求的值； （3）若点落在反比例函数图象上，设点的横坐标为，试判断是否为定值？并说明理由． 【解答】解：（1）若，，则点，， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ，，，，， ，，．则点，； （2）由题意得，点，由（1）知：，． 则点，，将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； （3）为定值，理由：由题意得，点，由（1）知：，． 则点，，将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：，而，则，为定值． 48．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 【解答】（1）①证明：直线的表达式为，直线的表达式为都过原点，且点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，根据两个反比例函数图象都是中心对称图形，，，四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； ②解：将函数与联立方程组得：，解得，， ，，，，同理求得：，， 如图1，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ，． （2）解：设，，，，，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，，， 设直线解析式为：，代入点、坐标得：，，直线的解析式为：， 同理可得解析式为：，直线与交于原点，交点坐标为． （3）证明：设，，，，，， ，即，，即，， ，，，，， ，，，，，，，， 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点； 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点；与的交点坐标为． 49．已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． （1）求的值； （2）若点，，都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当，时，求的取值范围． 【解答】解：（1）反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ，，； （2）①点，，都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ，，，，，代入得，， 解得，； ②，，，，，． 50．已知，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象上的一个动点． （1）如图1，当时，点在第一象限内； ①求点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点的坐标； （2）如图2，过点作交抛物线于点与不重合），连接，，直线与交于点，点的横坐标为，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，二次函数为， ①令，，点的坐标为，令，则， 解得或，，， 设直线的函数解析式为，直线过点，，， 解得，直线的函数表达式． ②如图，过点作平行于轴的直线，交线段于点， ，，，，，， 由面积是面积的4倍，得， 设，则点，， 解得，或． （2）二次函数，令，则，， 令，则，解得，，，， 设点的坐标为，，点的坐标为，，直线与不重合，，且，且，，，点，， 如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，， 设交轴于点，，轴，，， ，，，， ，， ，，点的坐标为，， 设直线的表达式为，，解得， 直线 的表达式为，同理直线的表达式为， ，解得，点的横坐标为，， ，为定值． 51．对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）下列两个数：①8，②6，其中不是“2次幂差数”的是 　②　 （填序号）； （2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【解答】解：（1）设，，则，因为， 因为数，数非负整数，所以有或，解得：（不合题意，舍去）或， 所以，所以8是“2次幂差数”；设，，则， 因为，因为数，数非负整数，所以有或， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去），所以6不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数，所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加1为奇数，所以为奇数，所以为奇数． （3）已知，，代入得：， 即，，因为为非负整数，要使最小， 则时，，． 52．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，为抛物线顶点，为对称轴左侧图象上一动点，连接，过点作交于点，过点作交抛物线于点，过点作于点． （1）求抛物线的表达式； （2）证明：随着点的变化，始终存在． 【解答】（1）解：由题意，将，代入二次函数解析式得，， ．抛物线的表达式为． （2）证明：由题意，，对称轴是直线，顶点． 又设，， ，，，． ，，．， ．．．．． 53．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． （1）求的面积； （2）若时，求的值； （3）如图，当时，过顶点作直线交轴于点，点与点关于点对称，点、分别在线段、上，若线段与抛物线有且只有一个交点与轴不平行），求的值． 【解答】解：（1）当时，，解得或，，， ，，，的面积； （2），，，当时，，，， ，，解得或； （3）过点作交于点，过点作交于点， ，，当时，，解得或， ，，，， 点与点关于点对称，，设直线的解析式为，， 解得，直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为，设直线的解析式为， 当时，△，， ，，又，，， ，，， 当时，解得，当时，解得， ，，， ． 54．已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； （2）连结，若，求△的面积； （3）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，△的面积是否会发生变化？若不变，求出△的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 【解答】解：设点，则， （1）由点的坐标得，直线的表达式为：，联立和函数的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 当四边形是平行四边形时，，即，整理得：； （2）由（1）知，，则点，，则△的面积； （3）不变化，理由：，则直线的表达式为：， 联立和函数的表达式得：，解得：，则， ，为常数． 方法2：过点作轴交于，与轴交于，设，，则，，， ，，四边形是平行四边形，，， ，，，△△，， ，，，解得， 、异号，，，． 55．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数． （1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：，，为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的、、的数是一组勾股数． （2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，、为正整数，时，、、构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且，求该直角三角形另两边的长． 【解答】解：（1）， ，，为正整数， 、、是一组勾股数； （2）解：，，，，是直角三角形，且为直角边，，，，，直角三角形的一边长为37， 分三种情况讨论， ①当时，，解得（不合题意，舍去） ②当时，，解得（不合题意舍去）； ③当时，， 解得，，、是互质的奇数，，把代入①②得，，． 综上所述：当时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 态度决定基础 思维决定高度 ( 初三数学期末复习2 （代数推理） ) 1．已知为任意实数），则、的大小关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 2．已知，，若，则实数的值为　　． 3．已知，，，用“”表示、、的大小关系为 　 　 ． 4．已知二次函数的图象经过点 （1）求的值并写出当时的取值范围； （2）设、、在这个二次函数的图象上， ①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由； ②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 5．如图，已知一次函数图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于、，两点．点是一次函数的图象上的动点． （1）求、的值； （2）设，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．试问的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设，如果在两个实数与之间（不包括和有且只有一个整数，求实数的取值范围． 6．已知：关于的二次函数，点、、都在这个二次函数的图象上，其中为正整数． （1），请说明必为奇数；（2）设，求使成立的所有的值； （3）对于给定的正实数，是否存在，使是以为底边的等腰三角形？如果存在，求的值（用含的代数式表示）；如果不存在，请说明理由． 7．平面直角坐标系中，点、分别在函数与的图象上，、的横坐标分别为、． （1）若轴，求的面积； （2）若是以为底边的等腰三角形，且，求的值； （3）作边长为3的正方形，使轴，点在点的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数，边与函数的图象都有交点，请说明理由． 8．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在该函数的图象上，到轴、轴的距离分别为、． （1）当为线段的中点时，求的值； （2）直接写出的范围，并求当时点的坐标； （3）若在线段上存在无数个点，使为常数），求的值． 9．已知两个二次函数和．对于函数，当时，该函数取最小值． （1）求的值； （2）若函数的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离； （3）若函数、的图象都经过点，过点，为实数）作轴的平行线，与函数、的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是、、、，且，求的最大值． 10．平面直角坐标系中，点、的横坐标分别为、，二次函数的图象经过点、，且、满足为常数）． （1）若一次函数的图象经过、两点． ①当、时，求的值； ②若随的增大而减小，求的取值范围； （2）当且、时，判断直线与轴的位置关系，并说明理由； （3）点、的位置随着的变化而变化，设点、运动的路线与轴分别相交于点、，线段的长度会发生变化吗？如果不变，求出的长；如果变化，请说明理由． 11．已知：点、、都在反比例函数的图象上，其中为正整数． （1）若，，求的值； （2）若 ①试比较的与大小，并证明你的结论； ②若，求的值； （3）若，求的最小值． 12．平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点． （1）当时，求二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）过点作直线轴，二次函数图象的顶点在直线与轴之间（不包含点在直线上），求的范围； （3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线相交于点，求的面积最大时的值． 13．平面直角坐标系中，横坐标为的点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，一次函数的图象经过点． （1）设，点在函数、的图象上． ①分别求函数、的表达式； ②直接写出使成立的的范围； （2）如图①，设函数、的图象相交于点，点的横坐标为，△的面积为16，求的值； （3）设，如图②，过点作轴，与函数的图象相交于点，以为一边向右侧作正方形，试说明函数的图象与线段的交点一定在函数的图象上． 14．已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数、的图象都经过点． ①求，的值； ②直接写出当时的范围； （2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点． ①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值； ②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值． 15．如图，二次函数，，，的图象分别为、，交轴于点，点在上，且位于轴右侧，直线与在轴左侧的交点为． （1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； （2）设直线与轴所夹的角为． ①当，且为的顶点时，求的值； ②若，试说明：当、、各自取不同的值时，的值不变； （3）若，试判断点是否为的顶点？请说明理由． 16．二次函数为常数）图象的顶点在轴右侧． （1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含的代数式表示）； （2）该二次函数表达式可变形为的形式，求的值； （3）若点在该二次函数图象上，且，过点作轴的平行线，与二次函数图象的交点在轴下方，求的范围． 17．如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且．过点的弦，为上一动点（与点不重合），，垂足为．连接、． （1）若． ①求证：； ②求的值； （2）用含的代数式表示，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数． 18．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． （1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由； （2）设函数与的图像相交于点． ①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围； ②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．在平面直角坐标系中，点、，的位置和函数、的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点，边与函数、的图象分别相交于点、，一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，连接． （1）若，，求函数的表达式及△的面积； （2）当、在满足的条件下任意变化时，△的面积是否变化？请说明理由； （3）试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？并说明理由． 20．已知直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴相交于点，过点作轴，垂足为． （1）若，轴，，求的值； （2）若，点的横坐标为，，求点的坐标； （3）延长、相交于点，求证：． 21．已知，点是二次函数图象上的一点，点的坐标为，直角坐标系中的坐标原点与点，在同一个圆上，圆心的纵坐标为． （1）求的值； （2）当，，三点在同一条直线上时，求点和点的坐标； （3）当点在第一象限时，过点作轴，垂足为点，求证：． 22．如图1，抛物线与直线，，为常数，，交于，两点，直线交轴于点．点的坐标为． （1）若，，则的坐标为 　　，　　，点的坐标为 　　； （2）已知点，，抛物线与线段有两个公共点，求的取值范围； （3）①如图1，求证：； ②如图2，设抛物线顶点为，直线交抛物线的对称轴于点，直线为常数，经过点，并交抛物线的对称轴于点，若为常数），则的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 23．在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于、（点在点的左边），与轴相交于点．直线与抛物线相交于，、，两点、不重合），与直线交于点，． （1）若，，， ①求线段的长；②当时，证明：的值不会随着的变化而变化； （2）若点在直线的上方， ①求的取值范围； ②令，一定存在一个的值，对于任何符合的、均可以使得恒为定值，求的值以及的取值范围． 24．设一次函数和二次函数． （1）求证：，的图象必有交点； （2）若，，的图象交于点，、，，其中，设，为图象上一点，且，求的值； （3）在（2）的条件下，如果存在点，在的图象上，且，求的取值范围． 25．已知一次函数的图象过点，、是二次函数图象上的两点． （1）若该二次函数图象的对称轴是直线，分别求出一次函数和二次函数的表达式； （2）当点、在二次函数的图象上运动时，满足，求的值； （3）点、的位置随着的变化而变化，设点、的运动路线分别与直线交于点、，当时，求的值． 26．已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若点，在图象上，求的值； （3）在（2）的条件下，若，是否存在点在函数上，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 27．已知一次函数，为常数，且． （1）若此一次函数的图象经过，两点，求的值． （2）若，点，在该一次函数图象上，求证：． 28．如图（1），已知点是抛物线的顶点，矩形中，顶点、在该抛物线上（其中点在第一象限），顶点、在轴上，连接线段、、，、交于点． （1）若点坐标为，则点、、坐标分别为　　 ，　　、　　 ，　　、　　 ，　　（可用含的代数式表示）． （2）如图（1），①求证：； ②连接．求证：． （3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题： ①如图（1），抛物线中字母、满足什么条件才能使．并说明理由； ②如图（2），抛物线中字母、、满足什么条件才能使．请直接写出结论． 29．如图，点在抛物线上，过作轴的平行线交抛物线于另一点，点为抛物线上的任一点． （1）若点的横坐标为，且为直角三角形时，求点的坐标； （2）当点变化时，是否总存在点，使得是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点纵坐标的取值范围； （3）若为直角三角形，边上的高为， ①的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度； ②若将抛物线的关系式由换成，其余条件不发生改变，试猜想与的关系，并证明． 30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，且经过点． （1）求这个抛物线相应的函数表达式； （2）如图1，过点且平行于轴的直线，与直线相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若点是抛物线上之间的动点（不与、重合），连接并延长交于点． ①当时，求点的坐标； ②如图2，连接并延长交于点，在点运动的过程中，的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由． 31．如图，已知点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，、在轴的两侧，、的纵坐标分别为、． （1）若，求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的值． 32．如图，已知直线与反比例函数交于、两点，点在点的左边，与轴、轴分别交于点、点，轴于，轴于． （1）若，，求，两点的坐标（用表示）． （2）如图1，若，、，，写出与的大小关系，并证明． （3）如图2，、分别为反比例函数与图象上的点，轴．若，且，之间的距离为5，则　　． 33．已知点，，，在一次函数的图象上． （1）若，求的值； （2）若，，．试比较和的大小，并说明理由． 34．设抛物线与轴交于点和． （1）若，求，的值； （2）若，求证：抛物线的顶点在直线上； （3）抛物线上有两点，和，，若，且，试比较与的大小． 35．如图，平面直角坐标系中，点，函数的图象经过的顶点和边上的点． （1）的值；（2）若△的面积等于6，求的值； （3）若为函数的图象上一个动点，过点作直线轴于点，直线与轴上方的的一边交于点，设点的横坐标为，且，当时，求的值． 36．如图1，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，它的顶点为点． （1）写出点的坐标　　． （2）点在对称轴上，位于点上方，且，以为顶点的二次函数的图象过点． ①试说明二次函数的图象过点； ②点在二次函数的图象上，到轴的距离为，当点的坐标为　　时，二次函数的图象上有且只有三个点到轴的距离等于； ③如图2，已知，过点作轴的平行线，分别交二次函数、的图象于点、、、（点、在对称轴左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，交二次函数的图象于点，若，求实数的值． 37．阅读下列材料： 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则，． 解决下列问题： 已知：，，均为非零实数，且，关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根为2． （1）填空：　 　0，　 　0，　 　0；（填“”，“ ”或“” （2）利用阅读材料中的结论直接写出方程的另一个实数根（用含，的代数式表示）； （3）若实数使代数式的值小于0，问：当时，代数式的值是否为正数？写出你的结论并说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点．点为直线上第一象限内一点，过作轴于点，于点．点在线段上，．连接，为线段上一动点，过点作轴，分别交轴、、于点、、． （1）若点坐标为． ①求直线的函数关系式； ②若为中点，求点坐标． （2）在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由． 39．为提高学生的社会实践能力，某校要求学生“五一”假期间在家长的带领下参加社会实践活动．小军决定每天和爷爷一起去菜场买菜． （1）5月2日小军发现蔬菜的价格为12元千克，比5月1日的价格提高了，5月1日蔬菜的价格为 　　元千克； （2）爱动脑筋的小军在上面问题的启发下思考了这样一个问题：若蔬菜通过两种不同的方案进行了两次价格调整： 方案1：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是； 方案2：两次提价的百分率都是；其中，，． 以上两种方案中哪种方案的提价较多？请运用所学数学知识帮小军解决这个问题． 40．已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接，，若点在抛物线上，且的横坐标为，连接，与相等吗？请说明理由； （3）如图2，点是线段上任意一点不与，重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，作的外接圆，延长交于点．试说明点在某条定直线上． 41．为反比例函数的图象在第一象限的点． （1）轴于点，，求的值； （2）如图延长至点，使得，过点、作轴，轴，两条直线交于点，若是反比例函数的图象上点，求与的关系式． 42．已知抛物线． （1）若抛物线经过原点和，求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）若将（1）中的抛物线向右平移个单位； ①当时，平移后的抛物线和原抛物线都随的增大而增大，直接写出的取值范围； ②平移后的抛物线与原抛物线交于点，与轴的另一交点为，若，试判断、、三点是否在同一直线上，若不在同一直线上，请判断点在直线的上方还是下方，并说明理由． （3）抛物线经过，，，两点，若，当时，都有，求的取值范围． 43．我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“反序对称”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）已知关于的二次函数，写出它的“反序对称”函数，　　． （2）对于任意非零实数，，点与点，始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“反序对称”函数． ①函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； ②若直线在轴的下方，求直线与轴间距离的最大值． 44．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求抛物线解析式． （2）如图2，若点是抛物线顶点，连接、、，求△面积． （3）如图3，点是第四象限抛物线上的另一动点，交轴于点，交轴于点．在点、运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 45．已知二次函数，为常数，与轴交于点，点为二次函数图象上一动点，以为直径作，过点，为常数）作直线垂直于轴． （1）若，，且与直线交于、两点． ①填空：当点与点重合时，点的坐标为 　　，的取值范围为 　　； ②是否存在实数，使的长为定值，若存在，求出的值，若不存在请说明理由； （2）若不论如何运动，与直线始终相切，当时，求的值． 46．综合与实践 【研究素材】二次函数的图象与轴交于点，与轴分别交于，两点． 小亮对素材进行了深入的研究，提出研究思路，并布置了相关任务，请你根据小亮的研究完成下列任务．（为了方便研究，规定点在点的右边） 【探究1】确定【素材】中的度数 【任务1】证明：； 【探究2】改变相交的对象研究 若二次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象分别交于，两点． 【任务2】若“”成立，求的值； 【探究3】改变表达式的系数研究 若二次函数的图象与轴交于点，与一次函数的图象分别交于，两点． 【任务3】若“”成立，当时，求与之间的关系式； 【任务4】当时，若直线与轴交于点，连结交轴于点，试比较 与的大小，并说明理由． 47．如图所示，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连接，以为一边作正方形，使点在第一象限．设点的横坐标为． （1）若，，求点和点的坐标； （2）若，点落在反比例函数图象上，求的值； （3）若点落在反比例函数图象上，设点的横坐标为，试判断是否为定值？并说明理由． 48．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 49．已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． （1）求的值； （2）若点，，都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当，时，求的取值范围． 50．已知，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象上的一个动点． （1）如图1，当时，点在第一象限内； ①求点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点的坐标； （2）如图2，过点作交抛物线于点与不重合），连接，，直线与交于点，点的横坐标为，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 51．对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）下列两个数：①8，②6，其中不是“2次幂差数”的是 　　 （填序号）； （2）若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 52．如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，为抛物线顶点，为对称轴左侧图象上一动点，连接，过点作交于点，过点作交抛物线于点，过点作于点． （1）求抛物线的表达式； （2）证明：随着点的变化，始终存在． 53．已知抛物线与轴交于点、（点在点的左边），与轴交于点，顶点为． （1）求的面积； （2）若时，求的值； （3）如图，当时，过顶点作直线交轴于点，点与点关于点对称，点、分别在线段、上，若线段与抛物线有且只有一个交点与轴不平行），求的值． 54．已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点． （1）过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值； （2）连结，若，求△的面积； （3）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，△的面积是否会发生变化？若不变，求出△的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由． 55．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数． （1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：，，为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的、、的数是一组勾股数． （2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，、为正整数，时，、、构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且，求该直角三角形另两边的长． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 16 学科网（北京）股份有限公司 $